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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Richtungsableitung
Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Richtungsableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:12 Mo 21.07.2008
Autor: Raiden28

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion [mm] f(x,y)=ln(\wurzel{x^2+y^2}. [/mm] Berechnen Sie die Richtungsableitung an der Stelle [mm] (x_{0},y_{0})=(1,1) [/mm] in Richtung [mm] v=(1,1)^T [/mm]

Die Formel lautet ja [mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}(f(a+t*v)-f(a)). [/mm]
Eingesetzt dann [mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}f(\vektor{1 \\ 1}+\vektor{t \\ t})-f(\vektor{1 \\ 1}) [/mm]
und somit [mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}+ln(\wurzel{(1+t)^2+(1+t)^2}-ln\wurzel{1+1} [/mm]

[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}+ln\wurzel{2}+ln(1+t)-ln\wurzel{2} [/mm]

[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}+ln(1+t) [/mm]

[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}=\infty [/mm]

So richtig gerechnet?

        
Bezug
Richtungsableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 Mo 21.07.2008
Autor: Merle23


> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x,y)=ln(\wurzel{x^2+y^2}.[/mm]
> Berechnen Sie die Richtungsableitung an der Stelle
> [mm](x_{0},y_{0})=(1,1)[/mm] in Richtung [mm]v=(1,1)^T[/mm]
>  Die Formel lautet ja [mm]\limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}(f(a+t*v)-f(a)).[/mm]
> Eingesetzt dann [mm]\limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}f(\vektor{1 \\ 1}+\vektor{t \\ t})-f(\vektor{1 \\ 1})[/mm]
>  
> und somit [mm]\limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}+ln(\wurzel{(1+t)^2+(1+t)^2}-ln\wurzel{1+1}[/mm]
>  

Du machst hier aus 'nem "Mal" ein "Plus".

> [mm]\limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}+ln\wurzel{2}+ln(1+t)-ln\wurzel{2}[/mm]
>  
> [mm]\limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}+ln(1+t)[/mm]
>  
> [mm]\limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}=\infty[/mm]
>  
> So richtig gerechnet?

Bezug
                
Bezug
Richtungsableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Mo 21.07.2008
Autor: Raiden28

Huch. Also dann:


[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*(ln(\wurzel{(1+t)^2+(1+t)^2}-ln\wurzel{1+1}) [/mm]

[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*(ln\wurzel{2}+ln(1+t)-ln\wurzel{2}) [/mm]

[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*ln(1+t) [/mm]

[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*0=0 [/mm]



Bezug
                        
Bezug
Richtungsableitung: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 Mo 21.07.2008
Autor: Loddar

Hallo Raiden!


> [mm]\limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*(ln(\wurzel{(1+t)^2+(1+t)^2}-ln\wurzel{1+1})[/mm]
>  
> [mm]\limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*(ln\wurzel{2}+ln(1+t)-ln\wurzel{2})[/mm]

[aeh] Wie kommst Du auf diesen Ausdruck?

  

> [mm]\limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*ln(1+t)[/mm]
>  
> [mm]\limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*0=0[/mm]

[notok] Das ist ein unbestimmter Ausdruck der Art [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] . Dem kann man z.B. mit MBde l'Hospital zu Leibe rücken.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Richtungsableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Mo 21.07.2008
Autor: Raiden28

Ich hab folgendes gerechnet:

[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*(ln\wurzel{2*(1+t)^2}-ln\wurzel{2}) [/mm]

[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*(ln(\wurzel{2}*\wurzel{(1+t)^2})-ln\wurzel{2}) [/mm] mit logarithmengesetze

[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*(ln\wurzel{2}+ln\wurzel{(1+t)^2})-ln\wurzel{2}) [/mm]

[mm] \limes_{t\rightarrow0\ }\bruch{1}{t}*(ln(1+t)) [/mm]




Bezug
                                        
Bezug
Richtungsableitung: richtig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:19 Mo 21.07.2008
Autor: Loddar

Hallo Raiden!


[ok] Stimmt, das hätte ich auch sehen können ...


Gruß
Loddar


Bezug
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