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| Aufgabe | | Berechnen sie für [mm] f:\IR^2\rightarrow \IR, (x,y)\rightarrow 3x^2y^3-x-y [/mm] die Richtungsableitung bzgl. der Richtung [mm] v= \frac {(2,1)} {\|(2,1)\|} [/mm] in (2,5). |
Hi,
die Definition für die Richtungsableitung (falls der Limes existiert) ist ja:
[mm] D_vf(x) = \lim_{t \to \infty} \frac {f(x+tv)-f(x)} {t} [/mm]
und über den Gradienten kann mans alternativ wohl auch ausrechnen. Aber ich versteh nicht ganz wie man den Vektor und den Punkt in die Formel einsetzen kann und das ganze dann ausrechnen. Beim rechnen mit Vektoren und Punkten hab ich noch ne arge Schwachstelle.
Gruß almigtybald
P.S.: Ich hab grad Probleme mit der Matheraum Homepage, ich kann nichts über die Suchmaske finden, es wird immer null Ergebnisse angezeigt. Früher hat ich das Problem auch manchmal, aber jetzt kann ich wie gesagt überhaupt keinen Beitrag mehr über die Suchmaske finden. Meine eigenen auch nicht. Ich weiß auch nicht, ob dieser Beitrag überhaupt für andere sichtbar ist. Ist das ein bekanntes Problem mit der matheraum HP?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Mo 29.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Berechnen sie für [mm]f:\IR^2\rightarrow \IR, (x,y)\rightarrow 3x^2y^3-x-y[/mm]
> die Richtungsableitung bzgl. der Richtung [mm]v= \frac {(2,1)} {\|(2,1)\|}[/mm]
> in (2,5).
> Hi,
>
> die Definition für die Richtungsableitung (falls der Limes
> existiert) ist ja:
>
> [mm]D_vf(x) = \lim_{t \to \infty} \frac {f(x+tv)-f(x)} {t}[/mm]
>
Das t muss gegen Null gehen.
> und über den Gradienten kann mans alternativ wohl auch
> ausrechnen. Aber ich versteh nicht ganz wie man den Vektor
> und den Punkt in die Formel einsetzen kann und das ganze
> dann ausrechnen. Beim rechnen mit Vektoren und Punkten hab
> ich noch ne arge Schwachstelle.
>
Du hast oben die Formel für den Differenzenquotienten.
Setze da einfach das v und den Punkt ein, also v = [mm] \frac{(2,1)}{\|(2,1)\|} [/mm] und x = (2,5).
Das x in der Definition der Funktion oben und das x im Differenzenquotienten sind unterschiedliche Sachen - wahrscheinlich ist es, was dich verwirrt hat.
Du musst also [mm] \lim_{t \to 0} \frac{f(\vektor{2 \\ 5}+t * \vektor{2 \\ 1} / \| \vektor{2 \\ 1} \| )-f(\vektor{2 \\ 5})}{t} [/mm] berechnen.
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Erstmal Danke für die Hilfe,
ich hab mir nochmal Vektorrechnung angeschaut und mich dann an dem Ausdruck versucht um den Limes zu berechnen. Die Euklidische Norm von [mm] \|{2 \choose 1}\| [/mm] ist [mm] \sqrt{5} [/mm] also erhalte ich:
[mm] \lim_{n \to 0} \frac {f({2 \choose 5} + \frac {t{2 \choose 1}} {\sqrt {5}}) - f{2 \choose 5}} {t} =
\lim_{n \to 0} \frac {f{\frac{t}{\sqrt{5}}2+2 \choose \frac {t} {\sqrt {5}} +5} - f{2 \choose 5}} {t} =
\lim_{n \to 0} \frac {3(2+\frac {2t}{\sqrt {5}})^2(5+\frac {t} {\sqrt {5}})^3 - (2+\frac{2t} {\sqrt{5}}) - {5+\frac{t} {\sqrt {5}})-1493}} {t}
[/mm]
jetzt hab ich das alles aus multipliziert und erhalte:
[mm]
\lim_{t \to 0} \frac {\frac {12t^5} {25 \sqrt{5}} + \frac {72t^4}{25} + \frac {372t^3}{5 \sqrt{5}} + 372t^2 + \frac {1803t}{\sqrt{5}}} {t} = \frac {1803} {\sqrt{5}}
[/mm]
Also ist [mm] \frac{1803}{\sqrt{5}} [/mm] die Richtungsableitung.
Stimmt das so?
Gruß almightybald
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Hallo almighty...
> Erstmal Danke für die Hilfe,
>
> ich hab mir nochmal Vektorrechnung angeschaut und mich dann
> an dem Ausdruck versucht um den Limes zu berechnen. Die
> Euklidische Norm von [mm] $\left|\right|{2 \choose 1}\left|\right|$ [/mm] ist [mm] $\sqrt{5}$ [/mm] also
> erhalte ich:
>
> [mm] $\lim\limits_{\red{t} \to 0} \frac{f(\vektor{2\\5} + t\frac{\vektor{2\\1}}{\sqrt {5}}) - f(\vektor{2\\5})}{t} [/mm] =
[mm] \lim\limits_{\red{t} \to 0} \frac {f(\vektor{\frac{2t}{\sqrt{5}}+2\\ \frac {t} {\sqrt {5}} +5}) - f(\vektor{2 \\5})}{t} =\lim\limits_{\red{t} \to 0} \frac {3(2+\frac {2t}{\sqrt {5}})^2(5+\frac {t} {\sqrt {5}})^3 - (2+\frac{2t} {\sqrt{5}}) - \red{(}{5+\frac{t} {\sqrt {5}})-1493}}{t}$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> jetzt hab ich das alles aus multipliziert und erhalte:
>
> [mm]
\lim_{t \to 0} \frac {\frac {12t^5} {25 \sqrt{5}} + \frac {72t^4}{25} + \frac {372t^3}{5 \sqrt{5}} + 372t^2 + \frac {1803t}{\sqrt{5}}} {t} = \frac {1803} {\sqrt{5}}
[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ich habe DERIVE das nachrechnen lassen, der kommt auf [mm] $.....+\frac{3897}{\sqrt{5}}$, [/mm] also im GW [mm] $\frac{3897}{\sqrt{5}}$
[/mm]
>
> Also ist [mm]\frac{1803}{\sqrt{5}}[/mm] die Richtungsableitung.
>
> Stimmt das so?
>
> Gruß almightybald
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Di 30.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Mittlerweile ist Dir bekannt , das Dein berechneter Wert nicht stimmt.
Einfacher gehts über die Formel
$D_vf(x) = gradf(2,5)*v $
damit komme ich ebenfalls auf
$D_vf(x) = [mm] \frac{3897}{\sqrt{5}} [/mm] $
FRED
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