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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Mikke |
Hallo zusammen!
hab nur ne kleine Frage wo ich keine antwort zu weiß.
und zwar ist die funktion f: [mm] \IR^{2} [/mm] --> [mm] \IR [/mm] definiert durch
f(x,y) = [mm] \bruch{sin( x^{3}+ y^{3}}{x^{2}+ y^{2}} [/mm] für (x,y) [mm] \not=(0,0)
[/mm]
Für welche Richtungen v gilt [mm] D_{v}f(0,0)=(grad [/mm] f(0,0) |v)??
ist f in (0,0) überhaupt differenzierbar?
wär schön wenn mir wer helfen könnte...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 Do 16.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> hab nur ne kleine Frage wo ich keine antwort zu weiß.
> und zwar ist die funktion f: [mm]\IR^{2}[/mm] --> [mm]\IR[/mm] definiert
> durch
> f(x,y) = [mm]\bruch{sin( x^{3}+ y^{3}}{x^{2}+ y^{2}}[/mm] für (x,y)
> [mm]\not=(0,0)[/mm]
>
> Für welche Richtungen v gilt [mm]D_{v}f(0,0)=(grad[/mm] f(0,0)
> |v)??
> ist f in (0,0) überhaupt differenzierbar?
Ich verstehe nicht so ganz, was das |v bedeuten soll... Könnte man das Ganze nicht über die Definition der partiellen Diffbarkeit zeigen? (also [mm] \lim_{h\to 0}...)
[/mm]
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Do 16.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Als zuerst mal gilt doch für die Richtungsableitung:
[mm] D_{v} f(x)=\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(x+tv)-f(x)}{t}
[/mm]
Also:
[mm] D_{v} f(0,0)=\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(tv)-f(0,0)}{t}
[/mm]
Wenn man jetzt davon ausgeht, dass f(0,0)=0 definiert wäre (weiß nicht, darüber hast du in deinem Posting nichts geschrieben), dann folgt:
[mm] D_{v} f(0,0)=\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(tv)}{t}= \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{sin((tv_1)^3+(tv_2)^3)}{t^3*v_1^2+t^3*v_2^2}
[/mm]
L'Hopital anwenden (oder wie auch immer er geschrieben wird)
= [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{cos((tv_1)^3+(tv_2)^3)*3*t^2(v_1+v_2)}{3t^2*v_1^2+3*t^2*v_2^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{v_1^3+v_2^3}{v_1^2+v_2^2}
[/mm]
=> Auf jeden Fall existiert die Richtungableitung für (0,0)
Die Antwort auf deine erste Frage ist: für welche v das gilt ist für alle für die ||v||=1 gilt.
Aber ich lern selbst noch, daher ist das mit Vorsicht zu genießen *g*
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:57 Do 16.06.2005 | | Autor: | Mikke |
hi! danke schon mal kannst du vielleicht noch erläutern wieso das für alle
[mm] $\parallel [/mm] v [mm] \parallel=1$ [/mm] gilt??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Sa 18.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mikke!
Es tut mir leid, dass dir keiner deine Frage in dem von dir vorgesehenen Fälligkeitszeitraum beantworten konnte. Vielleicht hast du ja beim nächsten Mal mehr Glück! ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]")
Viele Grüße
Stefan
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