Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie dort, wo sie existieren, die Richtungsableitungen der folgenden Funktionen:
a) [mm] f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}, n\ge1 [/mm] mit [mm] f(x_1,...,x_n)=(x_1^2,...,x_n^2)^\alpha, [/mm] wobei [mm] \alpha>0.
[/mm]
b) [mm] g:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R} [/mm] mit [mm] g(x_1,x_2)=\begin{cases} x_1ln(x_1^2+x_2^2) & (x_1,x_2)\not=(0,0) \\ 0, & x_1=x_2=0 \end{cases} [/mm] |
Hallo,
ich bin mir bei der Aufgabe etwas unsicher. Wir hatten bisher nur Richtungsableitungen in einem bestimmten Punkt. Da hier keiner gegeben ist, weiß ich nicht so genau, wie ich hier vorgehen soll.
Kann mir vielleicht jemand helfen?
Danke,
Kasperkopf
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
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Hiho,
> ich bin mir bei der Aufgabe etwas unsicher. Wir hatten
> bisher nur Richtungsableitungen in einem bestimmten Punkt.
Nichts anderes sollst du hier auch machen.
Du hast einen bestimmten, aber beliebigen Punkt [mm] x_0 [/mm] gegeben und sollst die Richtungsableitung bestimmen.
Dabei wirst du darauf stoßen, für welche [mm] x_0 [/mm] der Grenzwert existiert und für welche nicht.
Erstmal: Wie ist die Richtungsableitung denn definiert?
Dann setzt du halt keine fixe Zahl ein, sondern lässt dein [mm] x_0 [/mm] stehen und rechnest so weiter, als wäre dein [mm] x_0 [/mm] ein fester Wert.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 So 07.07.2013 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend:
beide Funktionen, f und g, sind auf [mm] \IR^n \setminus \{0\}, [/mm] bzw. [mm] \IR^2 \setminus \{0\} [/mm] differenzierbar.
Also ex. die Richtungsableitungen in jedem Punkt dieser Menge (für jede Richtung).
Es bleiben also "die Nullpunkte" zu untersuchen.
FRED
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Guten Morgen,
erst mal danke, für die Antworten.
> Ergänzend:
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> beide Funktionen, f und g, sind auf [mm]\IR^n \setminus \{0\},[/mm]
> bzw. [mm]\IR^2 \setminus \{0\}[/mm] differenzierbar.
>
> Also ex. die Richtungsableitungen in jedem Punkt dieser
> Menge (für jede Richtung).
>
> Es bleiben also "die Nullpunkte" zu untersuchen.
Hier muss ich nochmal nachfragen. Ich kann also den Punkt als x=(0,0) festlegen, wenn ich als Begründung deine Ergänzung verwende? Oder habe ich das jetzt falsch verstanden?
>
> FRED
Grüße Kasperkopf
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 So 07.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen,
>
> erst mal danke, für die Antworten.
>
>
>
> > Ergänzend:
> >
> > beide Funktionen, f und g, sind auf [mm]\IR^n \setminus \{0\},[/mm]
> > bzw. [mm]\IR^2 \setminus \{0\}[/mm] differenzierbar.
> >
> > Also ex. die Richtungsableitungen in jedem Punkt dieser
> > Menge (für jede Richtung).
> >
> > Es bleiben also "die Nullpunkte" zu untersuchen.
>
> Hier muss ich nochmal nachfragen. Ich kann also den Punkt
> als x=(0,0) festlegen, wenn ich als Begründung deine
> Ergänzung verwende?
Ja, bei g.
Bei f ist es (0,0,,,0) [mm] \in \IR^n.
[/mm]
FRED
> Oder habe ich das jetzt falsch
> verstanden?
>
>
> >
> > FRED
>
>
> Grüße Kasperkopf
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> Ja, bei g.
>
> Bei f ist es (0,0,,,0) [mm]\in \IR^n.[/mm]
>
> FRED
Ok, danke.
Ich habe leider immer noch Probleme. Ich habe ja dann die Formel [mm] \bruch{d}{dt}|_{t=0}\ f(x+tv)=\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(x+tv)-f(x)}{t}=\limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(tv)}{t}. [/mm] Wenn ich dann einsetze, dann erhalte ich doch [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{(tv_1^2+...+tv_n^2)^{\alpha}}{t}, [/mm] oder? Wie genau muss ich dann hier weiter machen? Wir hatten bisher nur Beispiele mit [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2, [/mm] wo dann eine Fallunterscheidung gemacht wurde mit [mm] v_1=0,v_2=1 [/mm] (oder andersrum), [mm] v_1=1=v_2 [/mm] und [mm] v_1\not=0\not=v_2. [/mm] Muss ich hier auch eine Fallunterscheidung machen? Und wie genau würden die Fälle dann hier aussehen, weil das ja bis [mm] v_n [/mm] geht? Oder muss ich jetzt einfach davon den Grenzwert bestimmen?
Bei g bin ich mir schon unsicher, wie die eingesetzte Formel aussieht. [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{tv_1*ln(tv_1^2+tv_2^2)}{t} [/mm] Stimmt das so?
Wäre nett, wenn du mir nochmal helfen würdest.
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 So 07.07.2013 | | Autor: | fred97 |
[mm] v_1^2+v_2^2+....+v_n^2=1
[/mm]
FRED
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> [mm]v_1^2+v_2^2+....+v_n^2=1[/mm]
Sorry, aber das verstehe ich jetzt nicht so ganz.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Mo 08.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
v ist ein Einheitsvektor, oder kann auf jeden fall als solcher gewählt werden.
Gruss leduart
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