Richtungsableitung im Punkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:34 Di 07.04.2015 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | Für welche Einheitsvektoren [mm] v\in\IR,v=(cos\theta,sin\theta) [/mm] mit [mm] \theta\in[2,\pi) [/mm] existiert die Richtungsableitung von f im Punkt (0,0) in Richtung v?
[mm] f:\IR^2->\IR, f(x,y):=\begin{cases} \bruch{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}
[/mm]
Hinweis: Wenden Sie die Formel [mm] 2*sin\theta*cos\theta=sin2\theta [/mm] an. |
Hi!
Also ich suche hier ja nach folgender Ableitung:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial v}(0,0) [/mm] = [mm] \partial_vf(0,0) [/mm] mit [mm] v=(cos\theta,sin\theta)
[/mm]
Nach einem Satz aus der Vorlesung gilt nun folgende Gleichung (allgemein):
[mm] \partial_vf(a) [/mm] = [mm] \nabla [/mm] f(a)*v
Also benötige ich den Nabla Vektor!
dieser ist, wenn ich alles richtig gemacht habe:
[mm] f_x(0,0) [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t+0,0)-f(0,0)}{t}=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{0*t-0}{t}=0
[/mm]
analog [mm] f_y(0,0)=0
[/mm]
also [mm] \nabla [/mm] f(a) = (0,0)
das heißt dann ja, dass [mm] \nabla [/mm] f(a)*v immer den Nullvektor als Ergebniss liefert, oder?
was sagt mir das jetzt aus?
was muss ich jetzt weiter machen?
und wie sollte mir der Hinweis hier helfen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:58 Mi 08.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Für welche Einheitsvektoren
> [mm]v\in\IR,v=(cos\theta,sin\theta)[/mm] mit [mm]\theta\in[2,\pi)[/mm]
> existiert die Richtungsableitung von f im Punkt (0,0) in
> Richtung v?
>
> [mm]f:\IR^2->\IR, f(x,y):=\begin{cases} \bruch{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
>
> Hinweis: Wenden Sie die Formel
> [mm]2sin\thetacos\theta=sin2\theta[/mm] an.
> Hi!
>
> Also ich suche hier ja nach folgender Ableitung:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial v}(0,0)[/mm] = [mm]\partial_vf(0,0)[/mm] mit
> [mm]v=(cos\theta,sin\theta)[/mm]
>
> Nach einem Satz aus der Vorlesung gilt nun folgende
> Gleichung (allgemein):
> [mm]\partial_vf(a)[/mm] = [mm]\nabla[/mm] f(a)*v
Wenn Du schon einen Satz aus der Vorlesung bemühst, so informiere Dich auch über die Voraussetzungen !! Obige Formel gilt nur, wenn f in a (total) differenzierbar ist.
Die Funktion f aus der Aufgabenstellung ist aber in a=(0,0) nicht differenzierbar.
Schau also nach, für welche
$ [mm] v=(cos\theta,sin\theta) [/mm] $
der Grenzwert
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(tv)-f(0,0)}{t}
[/mm]
ex. und für welche nicht.
FRED
> Also benötige ich den Nabla Vektor!
>
> dieser ist, wenn ich alles richtig gemacht habe:
>
> [mm]f_x(0,0)[/mm] = [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t+0,0)-f(0,0)}{t}=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{0*t-0}{t}=0[/mm]
>
> analog [mm]f_y(0,0)=0[/mm]
>
> also [mm]\nabla[/mm] f(a) = (0,0)
>
> das heißt dann ja, dass [mm]\nabla[/mm] f(a)*v immer den Nullvektor
> als Ergebniss liefert, oder?
>
> was sagt mir das jetzt aus?
> was muss ich jetzt weiter machen?
> und wie sollte mir der Hinweis hier helfen??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:56 Mi 08.04.2015 | | Autor: | dodo1924 |
Mist, hab ich wohl übersehen :P
Okay, neuer Ansatz:
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(tv)-f(0,0)}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{\bruch{t*cos\theta*t*sin\theta}{(t*cos\theta)^2+(t*sin\theta)^2}}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{\bruch{t*cos\theta*t*sin\theta}{t^2*(cos\theta^2+sin\theta^2)}}{t}
[/mm]
nun gilt: [mm] cos^2\theta+sin^2\theta [/mm] =1, also
[mm] =\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{\bruch{t^2*cos\theta*sin\theta}{t^2}}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{t^2*cos\theta*sin\theta}{t^3} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{cos\theta*sin\theta}{t}
[/mm]
und hier hab ich ja wieder das Problem, dass eine division duch 0 nicht möglich ist!
Frage: macht es hier sinn, wenn ich sage, dass [mm] \theta\in [/mm] { [mm] 0,\pi,\bruch{3\pi}{2},2\pi [/mm] } sein muss?
wenn das nämlich der fall ist, gilt immer [mm] cos\theta*sin\theta=0
[/mm]
dann wäre ja [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{cos\theta*sin\theta}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{0}{t} [/mm] = 0
PS: Habe wieder den Hinweis nicht benötigt, was wahrscheinlich darauf schlißen lässt, dass ich irgendwo einen Fehler habe :P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Mi 08.04.2015 | | Autor: | meili |
Hallo,
bist du sicher, dass du den Hinweis richtig wiedergegeben hast, und es nicht
[mm] $sin2\theta [/mm] = [mm] 2sin\theta cos\theta$
[/mm]
heißen soll.
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:39 Mi 08.04.2015 | | Autor: | dodo1924 |
Hi!
Nein, steht so im Übungszettel wie angegeben!
Hättest du einen Ansatz wo ich ihn verwenden kann?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:46 Mi 08.04.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo dodo,
> Hi!
> Nein, steht so im Übungszettel wie angegeben!
> Hättest du einen Ansatz wo ich ihn verwenden kann?
nein tut es sicher nicht.
Schau dir den Hinweis mal genau an, dann wirst du feststellen, dass der angezeigte Hinweis nicht dem auf dem Übungszettel entspricht, da du einen Fehler im Code gemacht hast.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:55 Mi 08.04.2015 | | Autor: | dodo1924 |
Sorry, hab das total übersehen ^^
Da hat ein * gefehlt! Jetzt müsste es passen ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:45 Mi 08.04.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo meili,
der Hinweis entspricht genau deinem.
Allerdings hat der Fragesteller ein \ vergessen im Code, so dass der Hinweis falsch dargestellt wird.
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Mi 08.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Mist, hab ich wohl übersehen :P
>
> Okay, neuer Ansatz:
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(tv)-f(0,0)}{t}[/mm] =
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{\bruch{t*cos\theta*t*sin\theta}{(t*cos\theta)^2+(t*sin\theta)^2}}{t}[/mm]
> = [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{\bruch{t*cos\theta*t*sin\theta}{t^2*(cos\theta^2+sin\theta^2)}}{t}[/mm]
>
> nun gilt: [mm]cos^2\theta+sin^2\theta[/mm] =1, also
>
> [mm]=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{\bruch{t^2*cos\theta*sin\theta}{t^2}}{t}[/mm]
> = [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{t^2*cos\theta*sin\theta}{t^3}[/mm]
> = [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{cos\theta*sin\theta}{t}[/mm]
>
> und hier hab ich ja wieder das Problem, dass eine division
> duch 0 nicht möglich ist!
>
> Frage: macht es hier sinn, wenn ich sage, dass [mm]\theta\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{
> [mm]0,\pi,\bruch{3\pi}{2},2\pi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} sein muss?
> wenn das nämlich der fall ist, gilt immer
> [mm]cos\theta*sin\theta=0[/mm]
>
> dann wäre ja [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{cos\theta*sin\theta}{t}[/mm]
> = [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{0}{t}[/mm] = 0
>
> PS: Habe wieder den Hinweis nicht benötigt, was
> wahrscheinlich darauf schlißen lässt, dass ich irgendwo
> einen Fehler habe :P
Es gilt (mit Deinen obigen Überlegungen):
$ [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(tv)-f(0,0)}{t} [/mm] $ ex.
[mm] \gdw
[/mm]
$v [mm] \in\{(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)\}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mi 08.04.2015 | | Autor: | dodo1924 |
Dann ist die Aufgabe gelöst :)
Wie sieht jetzt dann trotzdem die Lösung aus, in welcher ich den Hinweis [mm] 2*sin\theta*cos\theta [/mm] = [mm] sin2\theta [/mm] gebrauchen muss??
Geht es eventuell noch einfacher?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:52 Mi 08.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Dann ist die Aufgabe gelöst :)
>
> Wie sieht jetzt dann trotzdem die Lösung aus, in welcher
> ich den Hinweis [mm]2*sin\theta*cos\theta[/mm] = [mm]sin2\theta[/mm]
> gebrauchen muss??
> Geht es eventuell noch einfacher?
Der GW
$ [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{cos\theta\cdot{}sin\theta}{t} [/mm] $
existiert , genau dann wenn [mm] cos\theta\cdot{}sin\theta=0 [/mm] ist.
Das ist genau dann der Fall, wenn [mm] cos\theta [/mm] =0 oder [mm] sin\theta=0 [/mm] ist.
Wegen [mm] cos^2\theta+sin^2\theta=1, [/mm] bedeutet dies:
[mm] cos\theta [/mm] =0 und [mm] sin\theta=\pm [/mm] 1
oder
[mm] cos\theta [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1 oder [mm] sin\theta=1
[/mm]
DEr Hinweis ist völlig überflüssig !
FRED
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