Richtungsableitungen < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Di 15.06.2010 | | Autor: | Torste |
| Aufgabe | Sei
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)= \mbox{ (0,0)} \end{cases}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass alle Richtungsableitungen [mm] \partial_h [/mm] f(0,0) existieren und berechnen Sie sie. |
Hallo,
ich hoffe es kann mir jemand helfen und mir erklären, wie ich hierbei vorzugehen habe.
Ich weiß, dass für die Richtungsbaleitungen gilt:
[mm] \partial_h f(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+hv1,0+hv2)-f(0,0)}{h}
[/mm]
Das ist ja einfach nur in die Defintion eingesetzt.
Aber wie kann ich jetzt zeigen, dass dies immer existert und wie berechne ich das?!
Kann mir bitte jemand helfen?
Danke schonmal Torste
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Torste,
> Sei
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3}{x^2+y^2}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y)= \mbox{ (0,0)} \end{cases}.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass alle Richtungsableitungen [mm]\partial_h[/mm]
> f(0,0) existieren und berechnen Sie sie.
> Hallo,
> ich hoffe es kann mir jemand helfen und mir erklären, wie
> ich hierbei vorzugehen habe.
>
> Ich weiß, dass für die Richtungsbaleitungen gilt:
> [mm]\partial_h f(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+hv1,0+hv2)-f(0,0)}{h}[/mm]
>
> Das ist ja einfach nur in die Defintion eingesetzt.
> Aber wie kann ich jetzt zeigen, dass dies immer existert
> und wie berechne ich das?!
Einfach die Definitiion von f in
[mm]\partial_h f(0,0)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+hv1,0+hv2)-f(0,0)}{h}[/mm]
einsetzen.
> Kann mir bitte jemand helfen?
> Danke schonmal Torste
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Di 15.06.2010 | | Autor: | Torste |
Das hier kann gelöscht werden - sollte ein Frage werden!
sry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Di 15.06.2010 | | Autor: | Torste |
Stimmt - ich denke diese doch eigentlich banale antwort hat mir sehr geholfen. Danke!
Wie muss ich das denn machen, wenn ich jetzt zeigen will, dass f in allen (x,y) $ [mm] \not= [/mm] $ (0,0) differenzierbar ist, aber eben nicht in (0,0)?
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Hallo Torste,
> Stimmt - ich denke diese doch eigentlich banale antwort
> hat mir sehr geholfen. Danke!
>
> Wie muss ich das denn machen, wenn ich jetzt zeigen will,
> dass f in allen (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0) differenzierbar ist, aber
> eben nicht in (0,0)?
Zeige, daß einer der beiden oder beide Grenzwerte
[mm]\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f\left(h,0\right)-f\left(0,0\right)}{h}[/mm]
[mm]\limes_{h \rightarrow 0}\bruch{f\left(0,h\right)-f\left(0,0\right)}{h}[/mm]
nicht existieren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Di 15.06.2010 | | Autor: | Torste |
Das hatte ich sogar schonmal versucht
der erste würde dann ja folgendes ergeben:
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}=
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{\bruch{h^3}{h^2}}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{h^3}{h^3}=1
[/mm]
Dieser würde also existieren, aber:
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}=
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{0}{h^3}
[/mm]
der hier nicht, weil der Nenner dann ja Null wird, wir aber nichts mehr verändern können.
Aber das ist ja jetzt noch lange nicht die komplette Lösung, sondern nur der zweite Teil, nämlich, dass f nicht in (0,0) differenzierbar ist, oder!?
Ich dachte ich muss jetzt mit der folgenden Definition für die Dfferenzierbarkeit arbeiten:
f ist differenzierbar in a, wenn es ein lineare Abbildung [mm] L:\IR^n->\IR [/mm] gibt, sodass
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(a-h)-f(a)-L(h)}{||h||}=0 [/mm] gilt.
Man kann dann ja auch L als das Differential Df|a betrachten, aber ich weiß eben nicht wie ich mit dieser Definition ansetzten kann - könntest du(oder auch jemnad anderes) mir das vielleicht mal erklären oder mir dazu einen Tipp geben?
Vielen dank schonmal für die Hilfe von eben
Torste
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Di 15.06.2010 | | Autor: | Torste |
Kann man nicht sowieso gleich annehmen, dass Df|a=L gilt, weil man dann gar keine lineare Abbildung mehr finden müsste...?
Es wäre echt nett, wenn mir noch jemand antworten würde, adnn könnte ich das gleich nochmal ordentlich ausprbieren!
danke schonmal
Torste
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Mi 16.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir wissen schon: gradf(0,0) = (1,0). Somit kommt für L nur in Frage:
[mm] $L(h)=h_1$, [/mm] wobei [mm] $h=(h_1,h_2)$
[/mm]
Damit ist (nachrechnen !)
[mm] $\bruch{f(h)-f(0,0)-L(h)}{||h||}= -\bruch{h_1h_2^3}{(h_1^2+h_2^2)^{3/2}}$
[/mm]
Ist nun [mm] h_1=h_2>0, [/mm] so ist
[mm] $\bruch{f(h)-f(0,0)-L(h)}{||h||}= -\bruch{1}{2 \wurzel{2}}$
[/mm]
Was sagt Dir das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Mi 16.06.2010 | | Autor: | Torste |
Hallo,
Erstmal vielen dank: einige Zusammenhänge sind mir jetzt erst durch das nachrechen und durchdenken deiner Beiträge erstmals klar geworden - fred97.
Das war schonmal wirklich klasse.
Aber der Dank geht natürlich auch an schachuzipus!
Jetzt zum inhaltlichen:
Deine eine frage zum Widerspruchsbeweis war wohl eher rhetorisch gemeint - ich möchte sie aber dennoch nochmal kurz aufgreifen!
es kann natürlich unmöglich gelten, dass für alle v gilt
[mm] $v_1=v_1^3$.
[/mm]
Damit ensteht ein Widerspruch und die Annahme ist falsch, f ist also nicht in (0,0) differnzierbar.
Das konnte ich auch gut nachvollziehen und nachprüfen.
Jetzt zum obigen Teil.
1.) Statt $ [mm] \bruch{f(h)-f(0,0)-L(h)}{||h||}= -\bruch{h_1h_2^3}{(h_1^2+h_2^2)^{3/2}} [/mm] $ komme ich auf:
$ [mm] \bruch{f(h)-f(0,0)-L(h)}{||h||}= -\bruch{h_1h_2^2}{(h_1^2+h_2^2)^{3/2}} [/mm] $ - also nur eine 2 im Exponeten anders!
2.) Wie kommt man auf die Idee jetzt anzunehmen [mm] $h_1=h_2$ [/mm] - und wzu, denn im Endeffekt kommen wir ja jetzt auf etaws ziemlich blödes, nämlich, dass der betrachtete Teil ungleich NUll ist und der Limes müsste doch gegen Null gehen, damit unser f in den übrigen Punkten differenzierbar ist, oder nicht!?
3.)ZU:Was sagt Dir das ?
Es würde mir sagen, dass f nicht differnzierbar ist, aber das wollte ich doch jetzt garnicht - eigentlich müsste doch Null rauskommen, oder nicht?
das verwirrt mich noch etwas - weil wir ja jetzt eigentlich garnicht mehr (0,0) betrachten sollten...
Dankende Grüsse
Torste
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Mi 16.06.2010 | | Autor: | Torste |
Könnte mir bitte jemand versuchen meine Fragen zu beantworten, sodass ich weiter an der Aufgabe arbeiten kann?
Es muss ja auch nicht alles beantwortet werden, aber vielleicht zumindest ein Teil?
Danke
Torste
EDIT:
Eine kleine Erkentniss hatte ich glaube ich doch:
Ich sollte jetzt also anhand der Rechnung sehen, dass f nicht differenzierbar ist in (0.0) - das waren jetzt also zwei Wege das zu zeigen.
Um jetzt zu zeigen, dass f in (x,y) mit ungleich null diffbar ist, soll ich jetzt [mm] (v_1,v_2) [/mm] ,statt (x,y) nehmen.
Torste
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Do 17.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Erstmal vielen dank: einige Zusammenhänge sind mir jetzt
> erst durch das nachrechen und durchdenken deiner Beiträge
> erstmals klar geworden - fred97.
> Das war schonmal wirklich klasse.
> Aber der Dank geht natürlich auch an schachuzipus!
>
> Jetzt zum inhaltlichen:
> Deine eine frage zum Widerspruchsbeweis war wohl eher
> rhetorisch gemeint - ich möchte sie aber dennoch nochmal
> kurz aufgreifen!
> es kann natürlich unmöglich gelten, dass für alle v
> gilt
> [mm]v_1=v_1^3[/mm].
> Damit ensteht ein Widerspruch und die Annahme ist falsch,
> f ist also nicht in (0,0) differnzierbar.
> Das konnte ich auch gut nachvollziehen und nachprüfen.
>
> Jetzt zum obigen Teil.
> 1.) Statt [mm]\bruch{f(h)-f(0,0)-L(h)}{||h||}= -\bruch{h_1h_2^3}{(h_1^2+h_2^2)^{3/2}}[/mm]
> komme ich auf:
> [mm]\bruch{f(h)-f(0,0)-L(h)}{||h||}= -\bruch{h_1h_2^2}{(h_1^2+h_2^2)^{3/2}}[/mm]
> - also nur eine 2 im Exponeten anders!
Du hast recht, da hab ich mich verschrieben.
> 2.) Wie kommt man auf die Idee jetzt anzunehmen [mm]h_1=h_2[/mm] -
Ich wähle eine spezielle Annäherung an (0,0) , um zu zeigen, dass
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h)-f(0,0)-L(h)}{||h||}
[/mm]
nicht existiert.
> und wzu, denn im Endeffekt kommen wir ja jetzt auf etaws
> ziemlich blödes, nämlich, dass der betrachtete Teil
> ungleich NUll ist und der Limes müsste doch gegen Null
> gehen, damit unser f in den übrigen Punkten
> differenzierbar ist
In den übrigen Punkten ????? Was meinst Du damit ?
Es geht doch nur um die Differenzierbarkeit in (0,0) !!!
f ist in (0,0) differenzierbar [mm] \gdw \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(h)-f(0,0)-L(h)}{||h||}=0
[/mm]
Existiert dieser Limes nicht oder ist er [mm] \ne0, [/mm] so ist eben f in (0,0) nicht differenzierbar
FRED
> , oder nicht!?
> 3.)ZU:Was sagt Dir das ?
> Es würde mir sagen, dass f nicht differnzierbar ist, aber
> das wollte ich doch jetzt garnicht - eigentlich müsste
> doch Null rauskommen, oder nicht?
> das verwirrt mich noch etwas - weil wir ja jetzt
> eigentlich garnicht mehr (0,0) betrachten sollten...
>
> Dankende Grüsse
> Torste
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 Do 17.06.2010 | | Autor: | Torste |
Dann dankeschön...
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Hallo Torste,
> Das hatte ich sogar schonmal versucht
> der erste würde dann ja folgendes ergeben:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}=[/mm]
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\bruch{h^3}{h^2}}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{h^3}{h^3}=1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dieser würde also existieren, aber:
>
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}=[/mm]
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{0}{h^3}[/mm]
>
> der hier nicht, weil der Nenner dann ja Null wird, wir aber
> nichts mehr verändern können. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der obige GW existiert sehr wohl, es ist doch wohl [mm] $\lim\limits_{h\to 0}\frac{0}{h^3}=\lim\limits_{h\to 0}0=0$
[/mm]
Also stimmen die beiden GWe nicht überein, damit ist $f$ in $(0,0)$ nicht diffbar.
>
> Aber das ist ja jetzt noch lange nicht die komplette
> Lösung, sondern nur der zweite Teil, nämlich, dass f
> nicht in (0,0) differenzierbar ist, oder!?
Ja!
>
> Ich dachte ich muss jetzt mit der folgenden Definition für
> die Dfferenzierbarkeit arbeiten:
> f ist differenzierbar in a, wenn es ein lineare Abbildung
> [mm]L:\IR^n->\IR[/mm] gibt, sodass
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(a-h)-f(a)-L(h)}{||h||}=0[/mm]
> gilt.
Ich erinnere mich dunkel, dass dies die Def. von totaler Diffbarkeit ist...
Fehlen soweit ich sehen kann, die RIchtungsableitungen ...
Da hast du m.E einen Dreher drin.
Die Richtungsableitung von $f$ in [mm] $x=(x_1,x_2)$ [/mm] entlang [mm] $v=(v_1,v_2)$ [/mm] mit $||v||=1$ ist definiert als
[mm] $D_vf((x_1,x_2))=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f((x_1,x_2)+h(v_1,v_2))-f((x_1,x_2))}{h}$
[/mm]
Also ist die Richtungsableitung in $(0,0)$ entlang [mm] $v=(v_1,v_2)$ [/mm] mit $||v||=1$
[mm] $D_vf((0,0))=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f((0,0)+h(v_1,v_2))}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f((hv_1,hv_2))}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot{}\frac{h^3v_1^3}{h^2(v_1^2+v_2^2)}$
[/mm]
Rechne das mal aus und bedenke dabei [mm] $||v||=\ldots=1$
[/mm]
> Man kann dann ja auch L als das Differential Df|a
> betrachten, aber ich weiß eben nicht wie ich mit dieser
> Definition ansetzten kann - könntest du(oder auch jemnad
> anderes) mir das vielleicht mal erklären oder mir dazu
> einen Tipp geben?
> Vielen dank schonmal für die Hilfe von eben
> Torste
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:10 Mi 16.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Torste,
>
> > Das hatte ich sogar schonmal versucht
> > der erste würde dann ja folgendes ergeben:
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(h,0)-f(0,0)}{h}=[/mm]
> >
> >
> [mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{\bruch{h^3}{h^2}}{h}=\limes_{h\rightarrow0}\bruch{h^3}{h^3}=1[/mm]
>
> >
> > Dieser würde also existieren, aber:
> >
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(0,h)-f(0,0)}{h}=[/mm]
> > [mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{0}{h^3}[/mm]
> >
> > der hier nicht, weil der Nenner dann ja Null wird, wir aber
> > nichts mehr verändern können.
>
> Der obige GW existiert sehr wohl, es ist doch wohl
> [mm]\lim\limits_{h\to 0}\frac{0}{h^3}=\lim\limits_{h\to 0}0=0[/mm]
>
> Also stimmen die beiden GWe nicht überein, damit ist [mm]f[/mm] in
> [mm](0,0)[/mm] nicht diffbar.
Hallo schachuzipus,
[mm]f[/mm]ist in [mm](0,0)[/mm] nicht diffbar, das ist O.K., aber so wie oben kannst Du nicht argumentieren.
Die beiden Grenzwerte sind gerade die Ableitungen [mm] f_x(0,0) [/mm] und [mm] f_y(0,0).
[/mm]
Dass sie verschieden ausfallen ist noch kein Beinbruch
FRED
>
> >
> > Aber das ist ja jetzt noch lange nicht die komplette
> > Lösung, sondern nur der zweite Teil, nämlich, dass f
> > nicht in (0,0) differenzierbar ist, oder!?
>
> Ja!
>
> >
> > Ich dachte ich muss jetzt mit der folgenden Definition für
> > die Dfferenzierbarkeit arbeiten:
> > f ist differenzierbar in a, wenn es ein lineare
> Abbildung
> > [mm]L:\IR^n->\IR[/mm] gibt, sodass
> >
> > [mm]\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(a-h)-f(a)-L(h)}{||h||}=0[/mm]
> > gilt.
>
>
> Ich erinnere mich dunkel, dass dies die Def. von totaler
> Diffbarkeit ist...
>
> Fehlen soweit ich sehen kann, die RIchtungsableitungen ...
>
> Da hast du m.E einen Dreher drin.
>
> Die Richtungsableitung von [mm]f[/mm] in [mm]x=(x_1,x_2)[/mm] entlang
> [mm]v=(v_1,v_2)[/mm] mit [mm]||v||=1[/mm] ist definiert als
>
> [mm]D_vf((x_1,x_2))=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f((x_1,x_2)+h(v_1,v_2))-f((x_1,x_2))}{h}[/mm]
>
> Also ist die Richtungsableitung in [mm](0,0)[/mm] entlang
> [mm]v=(v_1,v_2)[/mm] mit [mm]||v||=1[/mm]
>
> [mm]D_vf((0,0))=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f((0,0)+h(v_1,v_2))}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f((hv_1,hv_2))}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}\cdot{}\frac{h^3v_1^3}{h^2(v_1^2+v_2^2)}[/mm]
>
> Rechne das mal aus und bedenke dabei [mm]||v||=\ldots=1[/mm]
>
>
> > Man kann dann ja auch L als das Differential Df|a
> > betrachten, aber ich weiß eben nicht wie ich mit dieser
> > Definition ansetzten kann - könntest du(oder auch jemnad
> > anderes) mir das vielleicht mal erklären oder mir dazu
> > einen Tipp geben?
> > Vielen dank schonmal für die Hilfe von eben
> > Torste
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Mi 16.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} [/mm] 0/h=0
existiert also.
(du hast grad versucht zu beweisen dass die konstante fkt f(x)=k nicht differenzierbar ist!
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:17 Mi 16.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir wissen schon (schachuzipus hats vorgemacht):
Für $ [mm] v=(v_1,v_2) [/mm] $ mit $ ||v||=1 $ ist die Richtungsableitung von f in (0,0) gegeben durch
$D_vf(0,0) = [mm] v_1^3.$
[/mm]
Somit ist insbesondere
[mm] $\nabla [/mm] f(0,0)= (1,0)$
Wäre nun f in (0,0) differnzierbar, so gilt (nach einem Satz der Vorlesung):
$D_vf(0,0) = [mm] \nabla [/mm] f(0,0)*v$
Es wäre also für jedes $ [mm] v=(v_1,v_2) [/mm] $ mit $ ||v||=1 $:
[mm] $v_1= \nabla f(0,0)*v=D_vf(0,0)=v_1^3$
[/mm]
Kann das sein ??
FRED
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