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| Aufgabe | Skizzieren Sie zu den Differentialgleichungen in (a) und (b) die Richtungsfelder und beschriften Sie Ihre Zeichnung. Verwenden Sie dafür die angegebenen Wertetabelle. Zeichnen Sie sodann die Lösung für den angegebenen Startwert ein. Eine Rechnung ist dabei nicht erforderlich.
(a) [mm]\dot{x}=x(t)sin(t)[/mm]
(b) [mm]\dot{x}=tsin(t)[/mm] |
Wobei auf der Abszisse t und auf der Ordinate x abgetragen wird.
Wie gehe ich nun dabei vor um das Richtungsfeld zu zeichnen!?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
es ist ja offensichtlich eine Wertetabelle mit angegeben. Diese muss zusammengehörige Einträge für t, x und [mm] \dot x [/mm] enthalten.
(Wenn die Wertetabelle nicht gegeben ist, lässt sie sich auch leicht aufstellen, indem für Punkte (t, x) im interessanten Bereich die zugehörige Steigung mit Hilfe der angegebenen Differentialgleichungen berechnet wird.)
An jedem Punkt (t, x), der in der Wertetabelle geben ist, zeichnet man nun einen kurzen Pfeil (= eine kurze Gerade) mit der Steigung [mm] \dot x [/mm] ein. (Dies ist das gesuchte Richtungsfeld.)
Als nächstes zeichnet man den gegebenen Startpunkt in dieses Richtungsfeld ein. Vom Startpunkt ausgehend kann nun auch die zugehörige Lösung eingezeichnet werden: Die Pfeile des Richtungsfelds geben die Steigung für die Lösung an. Sie sind somit Tangenten an die Lösungskurve bzw. wenn die Lösungskurve nicht durch einen gegeben Punkt (t, x) aus der Wertetabelle verläuft, dienen die nächsten Punkte und Pfeile des Richtungsfeldes der Orientierung beim Zeichnen. Somit kann eine Lösungskurve skizziert werden.
Grüße
franzzink
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Hallo!
Sorry die Wertetabelle habe ich vergessen abzuschreiben. Hier ist sie.
x 0 0.5 1 1.5
sin(x) 0 0.479 0.841 0.997
Mehr war in dieser Aufgabe nicht gegeben.
Hier nochmal die beiden Aufgaben
(a) [mm]\dot{x}(t) = x(t)sin(t)[/mm]
(b) [mm]\dot{x}(t) = sin(t)[/mm]
Mir ist schon klar dass ich die Werte für x,t nehmen muss und an der entsprechenden Stelle die Steigung der Differentialgleichung ausrechnen muss. Allerdings verstehe ich nicht wie ich bspw. bei (a) das x(t) auf der rechten Seite bestimmen muss/soll!?
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Hallo,
x(t) muss nicht bestimmt werden, um das Richtungsfeld zeichnen zu können.
Man bestimmt einfach x-Werte und t-Werte, an denen ein Pfeil eingezeichnet werden soll, zum Beispiel:
[mm] x_j [/mm] = 0, [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] 1, [mm] \bruch{3}{2} [/mm] (genau wie in der Wertetabelle)
[mm] t_i [/mm] = - 2 s, - 1 s, 0, 1 s, 2 s, 3 s (gegebenenfalls auch andere Werte; sie müssen zum Startpunkt der Aufgabe passen.)
Jetzt kann man an jedem Punkt [mm] (t_i, x_j) [/mm] einen Pfeil einzeichnen, ohne dabei - wie schon erwähnt - x(t) bestimmen zu müssen.
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