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| Aufgabe | Man betrachte die Funktion f:[0,1] [mm] \to [/mm] [0,1] definiert durch [mm] f(x):=\begin{cases} \bruch{1}{q}, & \mbox{für } x=\bruch{p}{q}\in \IQ\backslash {0} \mbox {mit} ggT(p,q)=1 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \mbox{ oder} x\in \IR \backslash \IQ \end{cases} [/mm] 1. Man skizziere den Graphen der Funktion f.
2. Man zeige: f ist in allen Punkten der Menge [mm] ]0,1]\cap \IQ [/mm] unstetig
3. Man zeige: f ist in allen Punkten der Menge {0} [mm] \cup ([0,1]\backslash \IQ) [/mm] stetig |
zu 1.
Leider hab ich momentan keine Ahnung, wie ich meine Skizze vor mir, euch am besten zeig - ich versuchs am besten mal so:
q=1: P(1|1)
q=2: [mm] P(\bruch{1}{2}|\bruch{1}{2})
[/mm]
q=3: [mm] P(\bruch{1}{3}|\bruch{1}{3}), P(\bruch{2}{3}|\bruch{1}{3})
[/mm]
q=4: [mm] P(\bruch{1}{4}|\bruch{1}{4}), P(\bruch{3}{4}|\bruch{1}{4})
[/mm]
q=5: [mm] P(\bruch{1}{5}|\bruch{1}{5}), P(\bruch{2}{5}|\bruch{1}{5}), P(\bruch{3}{5}|\bruch{1}{5}), P(\bruch{4}{5}|\bruch{1}{5})
[/mm]
q=6: [mm] P(\bruch{1}{6}|\bruch{1}{6}), P(\bruch{5}{6}|\bruch{1}{6})
[/mm]
...
[mm] p,q\in \IN [/mm] reicht das, ? Oder auch [mm] p,q\in \IQ?
[/mm]
(Ich meine nein, weil man auch schon in [mm] \IN [/mm] sieht, dass die Funktionen nicht stetig sind (Schule: Ich kann die Funktion nicht zeichen, ohne den Stift abzusetzen))
zu 2.
Die folgende Lösung hab ich aus einem Lehrbuch, ist das damit schon bewiesen:
Sei [mm] x_n [/mm] eine Folge mit [mm] x_n\in [/mm] [0,1] und sei [mm] a\in ]0,1]\cap \IQ.
[/mm]
[mm] x_n [/mm] ist irrational und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] =a
[mm] \Rightarrow f(x_n)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist in allen Punkten unstetig
zu 3.
Wenn ich die Aufgabe richig versteh, ist damit x=1 bzw. x=0 gemeint, da sich diese (wieder die doch so einfache Schuldefinition) ohne abzusetzten/die Linie unterbrechen zeichen lässt. Aber wie beweis ich das korrekt ??? mit rationalität ???
Die schlechte Darstellung der Klammer tut mir leid, aber ich bekomm einfach die Klammern nicht richig gesetzt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 03.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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