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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Sa 30.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Weil hier irgendwie gerade nicht so viel los ist, dachte ich, ich könnte mal ein paar Fragen stellen, die für jemanden, der Ahnung hat, sicher ganz schön zu beantworten sind. Ich sehe die Sachen nämlich immer viel zu "mathematisch" - halte mich zu sehr an die Definition, so dass ich mir die Sachen nicht wirklich vorstellen kann. Hier also was, was ich eigentlich schon längst wissen müsste:
Das Riemann-Integral wird doch als Grenzwert über die Summen gebildet, oder? Da war doch was mit Grenzwert der Obersummen = Grenzwert der Untersummen...
Und was gibt es für Standard-Beispiele für Riemann-integrierbare bzw. nicht integrierbare Funktionen?
Und vielleicht kann mir auch noch jemand kurz den größten Unterschied zum Lebesgue-Integral sagen!?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Sa 30.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
an der banane hast du wohl gefallen gefunden 
mal ein paar worte zu deinen fragen (ich bin bestimmt nicht der kompetenteste in dieser hinsicht - also wenn jemand was ergänzen ober verbessern will, soll er das bitte tun).
> Das Riemann-Integral wird doch als Grenzwert über die
> Summen gebildet, oder? Da war doch was mit Grenzwert der
> Obersummen = Grenzwert der Untersummen...
du zerlegst das intervall über das du integriern willst in einzelen teilintervalle und approximierst die funktion in jedem teilintervall durch ihr maximum bzw. minimum und erhälst somit für eine feste zerlegung eine ober- und untersumme. verfeinerst du die zerlegung nun und konvergiert ober- und untersumme für beliebige zerlegungen gegen den selben grenzwert, so ist die funktion riemann-integreribar und der gemeinsmae grenzwert ist der wert des riemannintegrals!
> Und was gibt es für Standard-Beispiele für
> Riemann-integrierbare bzw. nicht integrierbare
> Funktionen?
man kann zeigen, dass alle stetigen funktionen, funktionen deren unstetigkeitsstellen eine lebesgue-nullmenge sind, sowie monotone funktionen auf abgeschlossenen intervallen riemannintegrierbar sind.
uneigentlich riemanintegrierbar ist z.b. auch die funktioen [m] f(x) = \frac{\sin x}{x} [/m] auf [m] [1, \infty[ [/m]. diese funktion ist aber nicht lebesgue-integrierbar.
> Und vielleicht kann mir auch noch jemand kurz den größten
> Unterschied zum Lebesgue-Integral sagen!?
das ist ja im prinzip ein ganz anderes konzept. der größte unterschied ist aber der, dass der kuchen anders aufgschnitten wird: beim rieman integral wird das urbild unterteilt - beim lebesgue-integral das bild.
dadurch wird der integral-begriff stärker: alle auf einem kompakten-intervall riemann-integrierbaren funktionen sind auch lebesgue-integrierbar. aber z.b. ist die funktion [m] g(x) = \begin{cases} 1 & \textrm{ für } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \textrm{ für } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} [/m] auf [m] [0, 1] [/m] lebesgue-integrierbar, jedoch nicht riemann-integrierbar (zweiteres sieht man ganz leich: in jedem noch so kleinen intervall, das mehr als einen punkt umfasst liegt ein [m] x [/m] mit dem funktionswert [m] 1 [/m] und eine [m] x [/m] mit dem funktionswert [m] 0 [/m] - somit ist die obersumme für jede zerlegueng gleich [m] 1 [/m] und die untersumme gleich [m] 0 [/m] - die können also nie im leben den selben grenzwert haben.
hoffe das hat dir ein bisschen geholfen.
grüße
andreas
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