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Forum "Integration" - Riemann-Integral bestimmen!
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Riemann-Integral bestimmen!: Korrektur, Tipp, Hilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:40 Mi 03.08.2011
Autor: Carlo

Aufgabe
Entscheide für [mm] \integral_{-2}^{1}{ \bruch{1}{\wurzel{|x+1|}} dx} [/mm] ,
ob es sich um ein gewöhnliches Riemann-Integral, um ein konvergentes uneigentliches Riemann-Integral oder um ein divergentes uneigentliches Riemann-Integral handelt. Gib in den ersten beiden Fällen den Wert des Integrals an.

Hallo nochmal ;-) ,

also es handelt sich hier um ein uneigentliches Integral, denn das Integral hat in x= -1 eine Polstelle.

[mm] \integral_{-2}^{-1}{ \bruch{1}{\wurzel{|x+1|}} dx} [/mm] und [mm] \integral_{-1}^{1}{ \bruch{1}{\wurzel{|x+1|}} dx} [/mm]

Das erste Integral konvergiert nach meiner Rechnung gegen -2, wobei es gegen 2 konvergieren muss :S, meine Rechnung: (2 [mm] \wurzel{|-1+1|}) [/mm] - (2 [mm] \wurzel{|-2+1|} [/mm] )

Das zweite Integral konvergiert gegen 2 [mm] \wurzel{2}. [/mm]

Das ganze Integral ist ein konvergentes uneigentliches Integral mit dem Wert -2 + 2 [mm] \wurzel{2} [/mm] (nach meiner Rechnung) und 2+ 2 [mm] \wurzel{2} [/mm] (das richtige Ergebnis)

Was habe ich falsch gemacht? Sind meine Aussagen richtig ?
        
Bezug
Riemann-Integral bestimmen!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:11 Do 04.08.2011
Autor: felixf

Moin!

> Entscheide für [mm]\integral_{-2}^{1}{ \bruch{1}{\wurzel{|x+1|}} dx}[/mm]
> ,
>  ob es sich um ein gewöhnliches Riemann-Integral, um ein
> konvergentes uneigentliches Riemann-Integral oder um ein
> divergentes uneigentliches Riemann-Integral handelt. Gib in
> den ersten beiden Fällen den Wert des Integrals an.
>  Hallo nochmal ;-) ,
>  
> also es handelt sich hier um ein uneigentliches Integral,
> denn das Integral hat in x= -1 eine Polstelle.
>
> [mm]\integral_{-2}^{-1}{ \bruch{1}{\wurzel{|x+1|}} dx}[/mm] und
> [mm]\integral_{-1}^{1}{ \bruch{1}{\wurzel{|x+1|}} dx}[/mm]
>  
> Das erste Integral konvergiert nach meiner Rechnung gegen
> -2, wobei es gegen 2 konvergieren muss :S, meine Rechnung:
> (2 [mm]\wurzel{|-1+1|})[/mm] - (2 [mm]\wurzel{|-2+1|}[/mm] )

Da hast du dich verrechnet: die Stammfunktion ist nicht richtig. Sie stimmt nur fuer $x [mm] \ge [/mm] -1$. Fuer $x [mm] \le [/mm] -1$ loest sich der Betrag zu $-x - 1$ auf und nicht zu $x + 1$.

> Das zweite Integral konvergiert gegen 2 [mm]\wurzel{2}.[/mm]

[ok]

> Das ganze Integral ist ein konvergentes uneigentliches
> Integral mit dem Wert -2 + 2 [mm]\wurzel{2}[/mm] (nach meiner
> Rechnung) und 2+ 2 [mm]\wurzel{2}[/mm] (das richtige Ergebnis)

Wenn du den Vorzeichenfehler oben korrigierst, bekommst du auch das richtige Ergebnis.

LG Felix

Bezug
                
Bezug
Riemann-Integral bestimmen!: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:26 Do 04.08.2011
Autor: Carlo


> Moin!
>  
> > Entscheide für [mm]\integral_{-2}^{1}{ \bruch{1}{\wurzel{|x+1|}} dx}[/mm]
> > ,
>  >  ob es sich um ein gewöhnliches Riemann-Integral, um
> ein
> > konvergentes uneigentliches Riemann-Integral oder um ein
> > divergentes uneigentliches Riemann-Integral handelt. Gib in
> > den ersten beiden Fällen den Wert des Integrals an.
>  >  Hallo nochmal ;-) ,
>  >  
> > also es handelt sich hier um ein uneigentliches Integral,
> > denn das Integral hat in x= -1 eine Polstelle.
> >
> > [mm]\integral_{-2}^{-1}{ \bruch{1}{\wurzel{|x+1|}} dx}[/mm] und
> > [mm]\integral_{-1}^{1}{ \bruch{1}{\wurzel{|x+1|}} dx}[/mm]
>  >  
> > Das erste Integral konvergiert nach meiner Rechnung gegen
> > -2, wobei es gegen 2 konvergieren muss :S, meine Rechnung:
> > (2 [mm]\wurzel{|-1+1|})[/mm] - (2 [mm]\wurzel{|-2+1|}[/mm] )
>  
> Da hast du dich verrechnet: die Stammfunktion ist nicht
> richtig. Sie stimmt nur fuer [mm]x \ge -1[/mm]. Fuer [mm]x \le -1[/mm] loest
> sich der Betrag zu [mm]-x - 1[/mm] auf und nicht zu [mm]x + 1[/mm].
>  
> > Das zweite Integral konvergiert gegen 2 [mm]\wurzel{2}.[/mm]
>  
> [ok]
>  
> > Das ganze Integral ist ein konvergentes uneigentliches
> > Integral mit dem Wert -2 + 2 [mm]\wurzel{2}[/mm] (nach meiner
> > Rechnung) und 2+ 2 [mm]\wurzel{2}[/mm] (das richtige Ergebnis)
>  
> Wenn du den Vorzeichenfehler oben korrigierst, bekommst du
> auch das richtige Ergebnis.
>  
> LG Felix
>  


Aber wenn ich (2 [mm]\wurzel{|-1+1|})[/mm] - (2 [mm]\wurzel{|-2+1|}[/mm] )  das erste Integral ausrechne, dann bekomme ich 0 heraus, dann müsste ich doch 0-2 rechnen. Ich komme wieder auf -2 :S
Bezug
                        
Bezug
Riemann-Integral bestimmen!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:40 Do 04.08.2011
Autor: leduart

Hallo
nochmal für x+1<0 ersetzest du |x+1|=-x-1 deine stammfunktion ist dann [mm] -2\wurzel{-x-1} [/mm]
du hast den letzten post anscheinend gar nicht beachtet?
Gruss leduart

Bezug
                                
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Riemann-Integral bestimmen!: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:51 Do 04.08.2011
Autor: Carlo

Oh es tut mir Leid :(

Danke nochmal!
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