www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integration" - Riemann-integrierbar
Riemann-integrierbar < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Riemann-integrierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Di 24.06.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo,

ich möchte zeigen, dass
f : [0,1] [mm] \to \IR [/mm] , [mm] f(x)\begin{cases} 0, & \mbox{falls } \bruch{1}{x} \in \IN \\ 1, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]
Riemann-integrierbar ist.

Habe ich mir f richtig vorgestellt, dass es eine konstante Funktion mit Wert 1
ist außer im Punkt 1, dort nimmt sie den Wert 0 ein?
Wenn dem so ist, dann würde ich das wie folgt zeigen:
Die beiden Funktionen
[mm] f_n [/mm] (x) := 1 für alle n [mm] \in \IN [/mm] und
[mm] h_n(x) [/mm] := 0 für x=1, sonst 1
gilt
[mm] h_n \le [/mm] f [mm] \le f_n [/mm]

Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg? [verwirrt]

Danke,
Anna

        
Bezug
Riemann-integrierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Di 24.06.2008
Autor: Somebody


> Hallo,
>  
> ich möchte zeigen, dass
>  f : [0,1] [mm]\to \IR[/mm] , [mm]f(x)\begin{cases} 0, & \mbox{falls } \bruch{1}{x} \in \IN \\ 1, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>  
> Riemann-integrierbar ist.
>  
> Habe ich mir f richtig vorgestellt, dass es eine konstante
> Funktion mit Wert 1
>  ist außer im Punkt 1, dort nimmt sie den Wert 0 ein?

In diesem Falle wäre die Aufgabe doch trivial: Eine mit Ausnahme von endlich vielen Stellen auf einem kompakten Intervall stetigen Funktion wäre sicher Riemann-integrierbar. Ich bin fast sicher, dass dies schon gezeigt wurde und wie selbstverständlich zur Lösung dieser Aufgabe verwendet werden darf.

Nein, ich denke: $f(x)$ ist $1$, mit Ausnahme von abzählbar unendlich(!) vielen Stellen, an denen $f(x)=0$ ist, nämlich an den Stellen [mm] $x=1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,\ldots,1/n,\ldots$ [/mm]

>  Wenn dem so ist, dann würde ich das wie folgt zeigen:
>  Die beiden Funktionen
>  [mm]f_n[/mm] (x) := 1 für alle n [mm]\in \IN[/mm] und
> [mm]h_n(x)[/mm] := 0 für x=1, sonst 1
>  gilt
>  [mm]h_n \le[/mm] f [mm]\le f_n[/mm]
>  
> Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg? [verwirrt]

Wenn Du die Funktionen

[mm]f_n(x) := \begin{cases} f(x) & \text{falls $1/n\leq x$}\\ 1 & \text{sonst} \end{cases}[/mm]

betrachtest, so haben sind die auf $[0;1]$ mit Ausnahme von endlich vielen Stellen [mm] $1,1/2,\ldots, [/mm] 1/n$ stetig, also Riemann-integrierbar. Da sich [mm] $f_n(x)$ [/mm] und $f(x)$ nur im Intervall $[1;1/n]$ um maximal $1$ unterscheiden können, sollte man aus der Riemann-Integrierbarkeit der [mm] $f_n$ [/mm] schliessen können, dass sich Ober- und Unterintegral von $f$ für beliebig kleines [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] um nicht mehr als [mm] $\varepsilon$ [/mm] von einander unterscheiden können.

Bezug
                
Bezug
Riemann-integrierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:32 Di 24.06.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo Somebody,

DANKE für Deine Antwort!

> In diesem Falle wäre die Aufgabe doch trivial: Eine mit
> Ausnahme von endlich vielen Stellen auf einem kompakten
> Intervall stetigen Funktion wäre sicher
> Riemann-integrierbar. Ich bin fast sicher, dass dies schon
> gezeigt wurde und wie selbstverständlich zur Lösung dieser
> Aufgabe verwendet werden darf.

Es wurde gezeigt, dass für ein nichtleeres, kompaktes Invervall I
gilt: C(I) [mm] \subset [/mm] R(I) .


> Nein, ich denke: [mm]f(x)[/mm] ist [mm]1[/mm], mit Ausnahme von abzählbar
> unendlich(!) vielen Stellen, an denen [mm]f(x)=0[/mm] ist, nämlich
> an den Stellen [mm]x=1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,\ldots,1/n,\ldots[/mm]

Ach klar. Denkfehler meinerseits.
Wie wäre es denn so?

[mm] f_n, h_n [/mm] :[0,1] [mm] \to \IR [/mm] mit
[mm] f_n [/mm] (x) := [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls} x \in [0,\bruch{1}{n}] \\ f(x), & \mbox{sonst}\end{cases} [/mm]
[mm] h_n [/mm] (x) := [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls} x \in [0,\bruch{1}{n}] \\ f(x), & \mbox{sonst}\end{cases} [/mm]
Dann sind [mm] f_n [/mm] und [mm] h_n [/mm] Treppenfunktionen.
Passende Zerlegung wäre [mm] [0,\bruch{1}{n}],]\bruch{1}{n},\bruch{1}{n-1}[,...[1,1] [/mm]
Dann gilt [mm] h_n \le [/mm] f [mm] \le f_n [/mm]
und es ist
[mm] Int_{[0,1]} (f_n [/mm] - [mm] h_n)=-\bruch{1}{n} [/mm] =0 für n [mm] \to \infty. [/mm]
Somit ist gezeigt, dass f Riemann-integrierbar.

Gruß,
Anna

Bezug
                        
Bezug
Riemann-integrierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:22 Di 24.06.2008
Autor: Somebody


> Hallo Somebody,
>  
> DANKE für Deine Antwort!
>  
> > In diesem Falle wäre die Aufgabe doch trivial: Eine mit
> > Ausnahme von endlich vielen Stellen auf einem kompakten
> > Intervall stetigen Funktion wäre sicher
> > Riemann-integrierbar. Ich bin fast sicher, dass dies schon
> > gezeigt wurde und wie selbstverständlich zur Lösung dieser
> > Aufgabe verwendet werden darf.
>  
> Es wurde gezeigt, dass für ein nichtleeres, kompaktes
> Invervall I
>  gilt: C(I) [mm]\subset[/mm] R(I) .
>  
>
> > Nein, ich denke: [mm]f(x)[/mm] ist [mm]1[/mm], mit Ausnahme von abzählbar
>  > unendlich(!) vielen Stellen, an denen [mm]f(x)=0[/mm] ist,

> nämlich
> > an den Stellen [mm]x=1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,\ldots,1/n,\ldots[/mm]
>  
> Ach klar. Denkfehler meinerseits.
>  Wie wäre es denn so?
>  
> [mm]f_n, h_n[/mm] :[0,1] [mm]\to \IR[/mm] mit
>  [mm]f_n[/mm] (x) := [mm]\begin{cases} 1, & \mbox{falls} x \in [0,\bruch{1}{n}] \\ f(x), & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
>  
> [mm]h_n[/mm] (x) := [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{falls} x \in [0,\bruch{1}{n}] \\ f(x), & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
>  
> Dann sind [mm]f_n[/mm] und [mm]h_n[/mm] Treppenfunktionen.
>  Passende Zerlegung wäre
> [mm][0,\bruch{1}{n}],]\bruch{1}{n},\bruch{1}{n-1}[,...[1,1][/mm]
>  Dann gilt [mm]h_n \le[/mm] f [mm]\le f_n[/mm]
>  und es ist
>  [mm]Int_{[0,1]} (f_n[/mm] - [mm]h_n)=-\bruch{1}{n}[/mm] =0 für n [mm]\to \infty.[/mm]

nicht eher

[mm]Int_{[0,1]} (f_n - h_n)=\red{+}\bruch{1}{n} \red{\rightarrow 0} \quad\text{für $n\to \infty$?}[/mm]

aber gut: dies sind Details.

> Somit ist gezeigt, dass f Riemann-integrierbar.

[ok]

Bezug
                                
Bezug
Riemann-integrierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:32 Di 24.06.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo Somebody,

>  >  [mm]Int_{[0,1]} (f_n[/mm] - [mm]h_n)=-\bruch{1}{n}[/mm] =0 für n [mm]\to \infty.[/mm]
>  
> nicht eher
>  
> [mm]Int_{[0,1]} (f_n - h_n)=\red{+}\bruch{1}{n} \red{\rightarrow 0} \quad\text{für $n\to \infty$?}[/mm]

Stimmt. Das Minus gehört da wohl eher nicht hin :-)
Aber freut mich, wenn es ansonsten so korrekt ist!

Danke,
Anna

Bezug
        
Bezug
Riemann-integrierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:36 Di 24.06.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo,

wenn ich jetzt zu dieser Funktion
f : [0,1] [mm] \to \IR [/mm] , $ [mm] f(x)\begin{cases} 0, & \mbox{falls } \bruch{1}{x} \in \IN \\ 1, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm] $
auch noch
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x) d \lambda} [/mm]

bestimmen möchte. Dann habe ich da
0 raus, ist das korrekt?

Danke,
Anna

Bezug
                
Bezug
Riemann-integrierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:28 Mi 25.06.2008
Autor: Somebody


> Hallo,
>  
> wenn ich jetzt zu dieser Funktion
>  f : [0,1] [mm]\to \IR[/mm] , [mm]f(x)\begin{cases} 0, & \mbox{falls } \bruch{1}{x} \in \IN \\ 1, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>  
> auch noch
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) d \lambda}[/mm]
>  
> bestimmen möchte. Dann habe ich da
>  0 raus, ist das korrekt?

Kaum. Wenn schon, dann $1$. Denn das entsprechende Integral für Deine [mm] $f_n$ [/mm] ist $1$ und dasjenige für Deine [mm] $h_n$ [/mm] ist $1-1/n$. Die [mm] $f_n$ [/mm] und [mm] $h_n$ [/mm] sind ja auf $[1/n;1]$ bis auf endlich viele Stellen gleich $1$ (und nicht etwa gleich $0$).

Bezug
                        
Bezug
Riemann-integrierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:05 Mi 25.06.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo,

ich hatte das so gerechnet:
[mm] \integral_{0}^{1}{f d \lambda} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} Int_{[0,1]} (h_n) [/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} (0*\bruch{1}{n}+\summe_{k=1}^{n-1} (1*(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1})+\summe_{k=1}^{n-1}1*(\bruch{1}{k}-{1}{k})) [/mm]

Ist das falsch?

Danke,
Anna

Bezug
                                
Bezug
Riemann-integrierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:28 Mi 25.06.2008
Autor: Somebody


> Hallo,
>  
> ich hatte das so gerechnet:
>  [mm]\integral_{0}^{1}{f d \lambda}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} Int_{[0,1]} (h_n)[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} (0*\bruch{1}{n}+\summe_{k=1}^{n-1} (1*(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1})\red{+\summe_{k=1}^{n-1}1*(\bruch{1}{k}-{1}{k}))}[/mm]
>  
> Ist das falsch?

Ich verstehe nicht, was der Teil soll, den ich rot markiert habe. Der Rest scheint mir hingegen richtig: der ergibt aber gerade, was ich geschrieben hatte: [mm] $1-\frac{1}{n}$ [/mm] für das Integral von [mm] $h_n$. [/mm] Wohingegen das Integral von [mm] $f_n$ [/mm] bereits $1$ ist.

Bezug
                                        
Bezug
Riemann-integrierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:34 Mi 25.06.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo Somebody,

>  >  
> > ich hatte das so gerechnet:
>  >  [mm]\integral_{0}^{1}{f d \lambda}[/mm] =
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} Int_{[0,1]} (h_n)[/mm]
>  >  
> > [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} (0*\bruch{1}{n}+\summe_{k=1}^{n-1} (1*(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1})\red{+\summe_{k=1}^{n-1}1*(\bruch{1}{k}-{1}{k}))}[/mm]
>  
> >  

> > Ist das falsch?
>  
> Ich verstehe nicht, was der Teil soll, den ich rot markiert

Das soll praktisch der Rest der Zerlegung (die ich im anderen Thread angegeben
hatte) sein - also [1,1] ?! Oder ist das falsch?

> habe. Der Rest scheint mir hingegen richtig: der ergibt
> aber gerade, was ich geschrieben hatte: [mm]1-\frac{1}{n}[/mm] für
> das Integral von [mm]h_n[/mm].

Ja, ich hatte das noch einmal neu gerechnet aufgrund Deiner Antwort, und bin
so dann auch zu diesem Ergebnis gekommen. Wollte wissen, ob mein Rechenweg
dazu OK ist.

DANKE!
Anna

Bezug
                                                
Bezug
Riemann-integrierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:15 Mi 25.06.2008
Autor: Somebody


> Hallo Somebody,
>  
> >  >  

> > > ich hatte das so gerechnet:
>  >  >  [mm]\integral_{0}^{1}{f d \lambda}[/mm] =
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} Int_{[0,1]} (h_n)[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} (0*\bruch{1}{n}+\summe_{k=1}^{n-1} (1*(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1})\red{+\summe_{k=1}^{n-1}1*(\bruch{1}{k}-{1}{k}))}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Ist das falsch?
>  >  
> > Ich verstehe nicht, was der Teil soll, den ich rot markiert
>
> Das soll praktisch der Rest der Zerlegung (die ich im
> anderen Thread angegeben
>  hatte) sein - also [1,1] ?! Oder ist das falsch?

Ich denke nun, dass die rot markierte Teilsumme den Stellen $x=1, 1/2, 1/3, [mm] \ldots, [/mm] 1/(n-1)$ entspricht, an denen die Funktion den Wert $0$ annimmt. Man kann sich natürlich fragen, ob es überhaupt nötig ist, beim Aufsummieren des Integrals einer Treppenfunktion diejengen Intervalle anzuführen, auf denen die Treppenfunktion den Wert $0$ hat. Mich persönlich scheint ein solches Vorgehen nur unnötig zu verwirren: ich hätte nur die mittlere Teilsumme hingeschrieben, deren Wert $1-1/n$ ist.
Des weiteren hättest Du, bei dieser Interpretation der von mir rot markierten Teilsumme, schreiben müssen: [mm] $\sum_{k=1}^{n-1}0\cdot\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k}\right)$. [/mm]


Bezug
                                                        
Bezug
Riemann-integrierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:55 Do 26.06.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo Somebody,

> > > > [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} (0*\bruch{1}{n}+\summe_{k=1}^{n-1} (1*(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1})\red{+\summe_{k=1}^{n-1}1*(\bruch{1}{k}-{1}{k}))}[/mm]
>  
>  >  >  
> > > Ich verstehe nicht, was der Teil soll, den ich rot markiert
> >
> > Das soll praktisch der Rest der Zerlegung (die ich im
> > anderen Thread angegeben
>  >  hatte) sein - also [1,1] ?! Oder ist das falsch?
>  
> Ich denke nun, dass die rot markierte Teilsumme den Stellen
> [mm]x=1, 1/2, 1/3, \ldots, 1/(n-1)[/mm] entspricht, an denen die
> Funktion den Wert [mm]0[/mm] annimmt. Man kann sich natürlich

Ja, genau das meinte ich mit dem "Rest der Zerlegung", also ... [mm] [\bruch{1}{3},\bruch{1}{3}],[\bruch{1}{2},\bruch{1}{2}],[1,1] [/mm]

> fragen, ob es überhaupt nötig ist, beim Aufsummieren des
> Integrals einer Treppenfunktion diejengen Intervalle
> anzuführen, auf denen die Treppenfunktion den Wert [mm]0[/mm] hat.

Ja, nötig wäre es wohl eher nicht. Hatte so nur mal ein Beispiel
gesehen.

> Mich persönlich scheint ein solches Vorgehen nur unnötig zu
> verwirren: ich hätte nur die mittlere Teilsumme
> hingeschrieben, deren Wert [mm]1-1/n[/mm] ist.
>  Des weiteren hättest Du, bei dieser Interpretation der von
> mir rot markierten Teilsumme, schreiben müssen:
> [mm]\sum_{k=1}^{n-1}0\cdot\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k}\right)[/mm].
>  

Ach klar. Stimmt, es muss 0 * sein.

Danke!!

Gruß,
Anna

Bezug
        
Bezug
Riemann-integrierbar: Folge von Treppenfunktionen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Mi 25.06.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo,

nun soll zu dieser Funktion noch gezeigt werden, dass
es keine Folge von Treppenfunktionen auf [0,1] gibt, die
gleichmäßig gegen f konvergiert.

Irgendwie weiß ich nicht, wie ich da nun ansetze.
Bin dankbar für Tipps.

Gruß,
Anna

Bezug
                
Bezug
Riemann-integrierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 Mi 25.06.2008
Autor: Somebody


> Hallo,
>  
> nun soll zu dieser Funktion noch gezeigt werden, dass
>  es keine Folge von Treppenfunktionen auf [0,1] gibt, die
>  gleichmäßig gegen f konvergiert.
>  
> Irgendwie weiß ich nicht, wie ich da nun ansetze.
>  Bin dankbar für Tipps.

Das Problem ist doch, dass $f$ in der Umgebung von $0$ zu schnell zwischen den Werten $0$ und $1$ hin und her schwankt.
Behauptung: Für jede Treppenfunktion $t$ gilt [mm] $\sup_{x\in[0;1]}|f(x)-t(x)|\geq [/mm] 0.5$.
Beweis: (indirekt) Angenommen $t$ wäre eine Treppenfunktion, für die [mm] $\sup_{x\in[0;1]}|f(x)-t(x)|< [/mm] 0.5$ gilt. Wir dürfen annehmen, dass $t$ die Form [mm] $t(x)=\sum_{k=1}^N \alpha_k 1_{I_k}$ [/mm] hat, wobei [mm] $I_k$ [/mm] paarweise disjunkte Intervalle sind.
Betrachte die Folgen [mm] $x_n [/mm] := 1/n$ und $x'_n := [mm] (x_n+x_{n+1})/2$. [/mm] Diese beiden streng monoton fallenden Folgen konvergieren gegen $0$. Zwischen je zwei Gliedern der einen Folge liegt immer (mindestens) ein Glied der anderen Folge und für alle $n$ gilt: [mm] $f(x_n)=0$ [/mm] und $f(x'_n)=1$.
Da die [mm] $I_k$ [/mm] nur endlich viele Mengen sind, die Folge [mm] $x_n$ [/mm] aber unendlich viele verschiedene Werte annimmt, müssen unendlich viele (also sicher mindestens zwei) Glieder dieser Folge in einem Intervall [mm] $I_{k_0}$ [/mm] liegen.
Dann muss aber auch ein zwischen diesen beiden Gliedern der Folge [mm] $x_n$ [/mm] liegendes Glied der Folge $x'_n$ in [mm] $I_{k_0}$ [/mm] liegen (weil [mm] $I_{k_0}$ [/mm] ja, nach Voraussetzung über $t$ ein Intervall ist). D.h. in [mm] $I_{k_0}$ [/mm] nimmt $f$ sowohl den Wert $0$ als auch den Wert $1$ an. $t$ ist aber auf [mm] $I_{k_0}$ [/mm] konstant: Widerspruch zur Annahme, dass [mm] $\sup_{x\in[0;1]}|f(x)-t(x)|< [/mm] 0.5$ gilt. Also kann es eine solche Treppenfunktion nicht geben.

Bezug
                        
Bezug
Riemann-integrierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Do 26.06.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo Somebody,

vielen vielen Dank für Deine Antwort!!
Ich bin noch dabei mir diese zu verinnerlichen, aber noch eine
Frage dazu:

>  Behauptung: Für jede Treppenfunktion [mm]t[/mm] gilt
> [mm]\sup_{x\in[0;1]}|f(x)-t(x)|\geq 0.5[/mm].

Warum hast Du hier gerade 0,5 gewählt?

Danke,
Anna

Bezug
                                
Bezug
Riemann-integrierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Do 26.06.2008
Autor: Somebody


> Hallo Somebody,
>  
> vielen vielen Dank für Deine Antwort!!
>  Ich bin noch dabei mir diese zu verinnerlichen, aber noch
> eine
>  Frage dazu:
>  
> >  Behauptung: Für jede Treppenfunktion [mm]t[/mm] gilt

> > [mm]\sup_{x\in[0;1]}|f(x)-t(x)|\geq 0.5[/mm].
>  
> Warum hast Du hier gerade 0,5 gewählt?

Wir wissen doch, dass $f$ im Intervall $[0;1]$ zwischen den Werten $0$ und $1$ hin und her springt. Nun kann die Treppenfunktion auf einem Intervall auf dem sie denselben konstanten Wert hat nicht zugleich näher als $0.5$ bei $0$ und näher als $0.5$ bei $1$ sein. Man hätte also anstelle von $0.5$ irgend einen positiven Wert kleiner als $0.5$ nehmen können - aber keinen grösseren. Denn schon [mm] $\sup_{x\in[0;1]}|f(x)-t(x)|= [/mm] 0.5$ ist problemlos möglich: dies erfüllt z.B. die recht simple Treppenfunktion $t := [mm] 0.5\cdot 1_{[0;1]}$ [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Riemann-integrierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Sa 28.06.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo Somebody,
  

> Wir wissen doch, dass [mm]f[/mm] im Intervall [mm][0;1][/mm] zwischen den
> Werten [mm]0[/mm] und [mm]1[/mm] hin und her springt. Nun kann die
> Treppenfunktion auf einem Intervall auf dem sie denselben
> konstanten Wert hat nicht zugleich näher als [mm]0.5[/mm] bei [mm]0[/mm] und
> näher als [mm]0.5[/mm] bei [mm]1[/mm] sein. Man hätte also anstelle von [mm]0.5[/mm]
> irgend einen positiven Wert kleiner als [mm]0.5[/mm] nehmen können -

Du meinst bei dem indirekten Beweis hätte man das nehmen können? Denn
bei der Behauptung hast Du ja [mm] \ge [/mm] 0,5 gesetzt?!

> aber keinen grösseren. Denn schon
> [mm]\sup_{x\in[0;1]}|f(x)-t(x)|= 0.5[/mm] ist problemlos möglich:
> dies erfüllt z.B. die recht simple Treppenfunktion [mm]t := 0.5\cdot 1_{[0;1]}[/mm]

Danke,
Anna

Bezug
                                                
Bezug
Riemann-integrierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Sa 28.06.2008
Autor: Somebody


> Hallo Somebody,
>    
> > Wir wissen doch, dass [mm]f[/mm] im Intervall [mm][0;1][/mm] zwischen den
> > Werten [mm]0[/mm] und [mm]1[/mm] hin und her springt. Nun kann die
> > Treppenfunktion auf einem Intervall auf dem sie denselben
> > konstanten Wert hat nicht zugleich näher als [mm]0.5[/mm] bei [mm]0[/mm] und
> > näher als [mm]0.5[/mm] bei [mm]1[/mm] sein. Man hätte also anstelle von [mm]0.5[/mm]
> > irgend einen positiven Wert kleiner als [mm]0.5[/mm] nehmen können -
>
> Du meinst bei dem indirekten Beweis hätte man das nehmen
> können? Denn
>  bei der Behauptung hast Du ja [mm]\ge[/mm] 0,5 gesetzt?!

Ja, klar, man hätte zum Beispiel auch zeigen können , dass für jede Treppenfunktion $t$ gilt: [mm] $\sup_{x\in [0;1]}|f(x)-t(x)|\geq [/mm] 0.25$ (statt: [mm] $\geq [/mm] 0.5$). Auch dies würde beweisen, dass es keine gegen $f$ gleichmässig konvergente Folge von Treppenfunktionen gibt. Denn [mm] $\sup_{x\in [0;1]}|f(x)-t(x)|\geq [/mm] 0.25$ besagt ja, dass eine Treppenfunktion in der "Supremumsnorm" nicht näher als 0.25 an $f$ heran kommen kann.
Zur Wiederholung: Der wesentliche Punkt ist der: eine Treppenfunktion $t$ nimmt auf endlich vielen disjunkten Intervallen einen konstanten Wert an. Da die streng monoton gegen 0 fallende Folge $x'_n$ (mit $f(x'_n)=1$, für alle $n$) aber unendlich viele Werte annimmt, müssen in einem der Intervalle, in denen $t$ einen konstanten Wert, sagen wir [mm] $y_0$, [/mm] annimmt, mindestens zwei (ja sogar unendlich viele) Glieder dieser Folge enthalten sein. Aufgrund unserer Wahl der $x'_n$ und [mm] $x_n$ [/mm] ist es dann aber so, dass es auch ein [mm] $x_n$ [/mm] mit [mm] $f(x_n)=0$ [/mm] in diesem Intervall geben muss: $f$ nimmt auf dem fraglichen Intervall also sowohl den Wert $1$ als auch den Wert $0$ an. Nun muss aber [mm] $|1-y_0|\geq [/mm] 0.25$ oder [mm] $|0-y_0|\geq [/mm] 0.25$ sein. Grund: wäre z.B. [mm] $|0-y_0|<0.25$, [/mm] dann wäre [mm] $|1-y_0|\geq [/mm] 0.75$ also insbesondere [mm] $|1-y_0|\geq [/mm] 0.25$ und daher [mm] $\sup_{x\in[0;1]}|f(x)-t(x)|\geq [/mm] 0.25$.

Hingegen könnten wir nicht behaupten, dass für alle Treppenfunktionen $t$ gilt [mm] $\sup_{x\in [0;1]}|f(x)-t(x)|\geq [/mm] 0.6$. Denn, wie gesagt, diese Behauptung wird durch das Gegenbeispiel $t := [mm] 0.5\cdot 1_{[0;1]}$, [/mm] für das [mm] $\sup_{x\in [0;1]}|f(x)-t(x)|=0.5$ [/mm] gilt, widerlegt.

Bezug
                                                        
Bezug
Riemann-integrierbar: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:22 So 29.06.2008
Autor: Anna-Lyse

Hallo Somebody,

VIELEN DANK für Deine ausführliche Hilfe.
Ich denke ich konnte das nun soweit nachvollziehen. Werde aber
noch einmal intensiv daran arbeiten.

Gruß,
Anna

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de