Riemann-integrierbarkeit < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Sa 05.12.2009 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | f ist definiert durch:
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
x^2, & \mbox{für }x \in [0,1] \ \IQ \\
1, & \mbox{für }x \in [0,1] \cap \IQ\end{matrix}\right. [/mm] |
Hallo!
Also ein Integral ist Riemann-integrierbar wenn Ober- und Untersumme gegen den selben Wert konvergieren.
Zuerst unterteile ich den großen Intervall in äquidistante Intervalle (Partition P) der Länge [mm] \bruch{1}{n} [/mm] wobei 1 die obere Grenze ist und n die Anzahl der Intervalle
Ein Teilintervall hat also die Länge:
[mm] \Delta [/mm] x = [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
weiter gilt für mich: [mm] \Delta x_i [/mm] = i * [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Nun gucke ich mir die obere Summe an:
O(P) = [mm] \summe_{i=1}^{n} sup_{x_{i-1} < x < x_{i}} (x_{i} [/mm] - [mm] x_{i-1})
[/mm]
ich stelle mir also einen Teilintervall vor und bei entsprechender größe des Intervalls ist 1 das Supremum.
=>
O(P) = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1 [mm] (x_{i} [/mm] - [mm] x_{i-1}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1 * [mm] (x_{i} [/mm] - [mm] x_{i-1}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (x_{i} [/mm] - [mm] x_{i-1}) [/mm] =
= [mm] \summe_{i=1}^{n} \delta x_{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n} [/mm] * i = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] * i = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{n+1}{2}
[/mm]
und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+1}{2} [/mm] existiert nicht
Nun die Untersumme
U(P) = [mm] \summe_{i=1}^{n} inf_{x_{i-1} < x < x_{i}} (x_{i} [/mm] - [mm] x_{i-1})
[/mm]
ich stelle mir also einen Teilintervall vor und bei entsprechender größe des Intervalls ist [mm] x^2 [/mm] das infimum.
[mm] \summe_{i=1}^{n} x^2 (x_{i} [/mm] - [mm] x_{i-1}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} x^2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * i
hier habe ich ein Problem... [mm] x^2 [/mm] ist nicht konstant über alle Intervalle - ich muss hier also eine Abhängigkeit zum "aktuellen" Intervall reinbringen...
Hier ist also meine Frage: wie mache ich das richtig?
lg
Babapapa
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Hallo babapapa,
einiges erscheint mir doch recht wirr in deinen Ausführungen:
> Also ein Integral ist Riemann-integrierbar wenn Ober- und
> Untersumme gegen den selben Wert konvergieren.
Ok.....
>
> Zuerst unterteile ich den großen Intervall in
> äquidistante Intervalle (Partition P) der Länge
> [mm]\bruch{1}{n}[/mm] wobei 1 die obere Grenze ist und n die Anzahl
> der Intervalle
Ok, auch wenn dir hoffentlich klar ist, dass das für einen Beweis der Riemann-integrierbarkeit NICHT ausreicht, um zu zeigen, dass eine Funktion NICHT Riemann-integrierbar ist, schon, SOFERN $O(P) [mm] \not= [/mm] U(P)$.
> Ein Teilintervall hat also die Länge:
> [mm]\Delta[/mm] x = [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
Ja.
> weiter gilt für mich: [mm]\Delta x_i[/mm] = i * [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
Aha, nur was soll das bedeuten?
> Nun gucke ich mir die obere Summe an:
>
> O(P) = [mm]\summe_{i=1}^{n} sup_{x_{i-1} < x < x_{i}} (x_{i}[/mm] -
> [mm]x_{i-1})[/mm]
> ich stelle mir also einen Teilintervall vor und bei
> entsprechender größe des Intervalls ist 1 das Supremum.
Nunja, was ist eine "entsprechende Größe"?
Wenn das nur bei einer entsprechenden "Größe" auftritt, stimmt die Gleichheit schonmal nicht und dein Ansatz wäre hier beendet.
Gut für uns aber: 1 ist in JEDEM Intervall das Supremum, also passt die Umformung doch, nur warum ist das so?
> =>
> O(P) = [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] 1 [mm](x_{i}[/mm] - [mm]x_{i-1})[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] 1 * [mm](x_{i}[/mm] - [mm]x_{i-1})[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} (x_{i}[/mm]
> - [mm]x_{i-1})[/mm]
Bis hierhin passts
> = [mm]\summe_{i=1}^{n} \delta x_{i}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n}[/mm]
> * i = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] * [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] * i = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] *
> [mm]\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm] = [mm]\bruch{n+1}{2}[/mm]
> und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n+1}{2}[/mm] existiert
> nicht
Wie kommt das [mm] $\delta x_i$ [/mm] zustande? Wenn überhaupt steht da [mm] $\delta [/mm] x$ und dann kommt da als Grenzwert für $n [mm] \to \infty$ [/mm] auch schön 1 raus (wie es sein soll und wie man sich das auch anschaulich schön vorstellen kann). Es gilt also $O(P) = 1$. Rechne das nocheinmal nach bitte.
> Nun die Untersumme
> U(P) = [mm]\summe_{i=1}^{n} inf_{x_{i-1} < x < x_{i}} (x_{i}[/mm] -
> [mm]x_{i-1})[/mm]
> ich stelle mir also einen Teilintervall vor und bei
> entsprechender größe des Intervalls ist [mm]x^2[/mm] das infimum.
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} x^2 (x_{i}[/mm] - [mm]x_{i-1})[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} x^2[/mm]
> * [mm]\bruch{1}{n}[/mm] * i
>
> hier habe ich ein Problem... [mm]x^2[/mm] ist nicht konstant über
> alle Intervalle - ich muss hier also eine Abhängigkeit zum
> "aktuellen" Intervall reinbringen...
> Hier ist also meine Frage: wie mache ich das richtig?
So, überlegen wir uns also mal, wie die Intervalle aussehen.
Du hast eine äquidistante Zerlegung gewählt, das heisst deine Intervalle haben die Form:
[mm] $[\bruch{i}{n},\bruch{i+1}{n}]$
[/mm]
Wie liegt nun das Infimum auf einem solchen Intervall?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:11 So 06.12.2009 | | Autor: | babapapa |
Hallo!
Ganz ehrlich: Sehr gutes Feedback!
Ich habe deinen Rat befolgt:
Für die Obersumme gilt
O(P) = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] 1 * [mm] [\bruch{k}{n} [/mm] - [mm] \bruch{k-1}{n}] [/mm] =
= [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n} [/mm] = n * [mm] \bruch{1}{n} [/mm] = 1
[mm] \limes_{n \rightarrow\infty} [/mm] 1 = 1
damit O(P) = 1
Für die Untersumme gilt
Das Infimum ist immer die größte untere Schranke.
Nun da die Funktion monoton steigend ist bedeutet das, dass die größte untere schranke am rechten rand ist - also am Punkt [mm] \bruch{k+1}{n}.
[/mm]
Jetzt bin ich mir nicht sicher (auch weil ich nicht weiß ob ich die summe richtig zerlegt habe).
Ich stelle mir einfach mal folgendes vor: f(x) = [mm] x^2 [/mm] und x = [mm] \bruch{k+1}{n}
[/mm]
und damit ist der wert: [mm] (\bruch{k+1}{n})^2
[/mm]
U(P) = [mm] \summe_{k=1}^{n} (\bruch{k+1}{n})^2 [/mm] * [mm] [\bruch{k}{n} [/mm] - [mm] \bruch{k-1}{n}] [/mm] =
= [mm] \summe_{k=1}^{n} (\bruch{k+1}{n})^2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{n} [/mm] = n * [mm] \bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n} [/mm] * [mm] \bruch{k^2+ 2k + 1}{n^2} [/mm] =
= [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * n * [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n} k^2+ [/mm] 2k + 1 = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \summe_{k=1}^{n} k^2+ [/mm] 2k + 1 =
= [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * n * [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] * (n + [mm] \summe_{k=1}^{n} k^2+ [/mm] 2k) = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * n * [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] * (n + 2 [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} k^2) [/mm] =
= [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] * (n + 2 [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k * k) = [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] * (n + 2 [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] + [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] * [mm] \bruch{n*(n+1)}{2}) [/mm] =
= [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] * (n + n*(n+1) + [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] * [mm] \bruch{n*(n+1)}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{n}{n^2} [/mm] + [mm] \bruch{n*(n+1)}{n^2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] * [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] * [mm] \bruch{n*(n+1)}{2}) [/mm] =
= [mm] \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)}{2} [/mm] * [mm] \bruch{(n+1)}{2})
[/mm]
Beim Grenzwert würde hier mist rauskommen?
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Hiho,
> Für die Obersumme gilt
> O(P) = [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] 1 * [mm][\bruch{k}{n}[/mm] -
> [mm]\bruch{k-1}{n}][/mm] =
> = [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{n}[/mm] = n * [mm]\bruch{1}{n}[/mm] = 1
> [mm]\limes_{n \rightarrow\infty}[/mm] 1 = 1
>
> damit O(P) =
Jop.
>
> Für die Untersumme gilt
> Das Infimum ist immer die größte untere Schranke.
> Nun da die Funktion monoton steigend ist bedeutet das,
> dass die größte untere schranke am rechten rand ist -
> also am Punkt [mm]\bruch{k+1}{n}.[/mm]
Hm, nein. Wenn eine Funktion monoton steigend ist, befindet sich die grösstere UNTERE Schranke am LINKEN Rand.... mal dir doch einfach mal die Funktion $f(x) = x$ auf. Wo nimmt sie in einem Intervall den kleinsten Wert an?
> Jetzt bin ich mir nicht sicher (auch weil ich nicht weiß
> ob ich die summe richtig zerlegt habe).
> Ich stelle mir einfach mal folgendes vor: f(x) = [mm]x^2[/mm] und x
> = [mm]\bruch{k+1}{n}[/mm]
> und damit ist der wert: [mm](\bruch{k+1}{n})^2[/mm]
Jop, ausser der Tatsache, dass es halt [mm] \bruch{k}{n} [/mm] heissen müsste.
>
> U(P) = [mm]\summe_{k=1}^{n} (\bruch{k+1}{n})^2[/mm] * [mm][\bruch{k}{n}[/mm]
> - [mm]\bruch{k-1}{n}][/mm] =
> = [mm]\summe_{k=1}^{n} (\bruch{k+1}{n})^2[/mm] * [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
Bis hierhin sieht es (bis auf obigen Fehler) gut aus.
>= n *
> [mm]\bruch{1}{n} \summe_{k=1}^{n}[/mm] * [mm]\bruch{k^2+ 2k + 1}{n^2}[/mm]
Wo kommt jetzt das n vor der Summe her? Dadurch kommt natürlich unten mist raus.
Also mach mal sauber weiter und nutze: [mm] $\summe_{i=1}^{n}i^2 [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:58 So 06.12.2009 | | Autor: | babapapa |
Super Danke!
O(P) = 1
U(P) = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
O(P) [mm] \not= [/mm] U(P) => nicht Riemann integrierbar
lg
Babapapa
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Hiho,
jo, allerdings solltest du dir nochmal Gedanken zu den Fragen aus meiner ersten Antwort machen, und zwar:
> Ok, auch wenn dir hoffentlich klar ist, dass das für einen Beweis der Riemann-integrierbarkeit NICHT ausreicht, um zu zeigen, dass eine Funktion NICHT Riemann-integrierbar ist, schon, SOFERN $ O(P) [mm] \not= [/mm] U(P) $.
sowie:
> Nunja, was ist eine "entsprechende Größe"?
> Wenn das nur bei einer entsprechenden "Größe" auftritt, stimmt die Gleichheit schonmal nicht und dein Ansatz wäre hier beendet.
> Gut für uns aber: 1 ist in JEDEM Intervall das Supremum, also passt die Umformung doch, nur warum ist das so?
MFG,
Gono.
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