Riemann integrierbare Funktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass durch
<f,g> := [mm] \integral_{a}^{b}{fg dx} [/mm] f,g [mm] \in [/mm] R([a,b])
ein Skalarprodukt auf den Raum der Riemann integrierbaren Funktionen definiert wird. (4 Punkte) |
Hallo!
Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter, besser gesagt ich weiss nicht mal wie ich anfangen soll.
Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar!!!
Danke im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 So 30.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Mario
Schreib doch erst mal auf, was die Forderungen für ein Skalarprodukt sind!
Schrieb sie dann für das Integral um. Mit welcher Forderung scheiterst du denn? <a*f,g>=a*<f,g> heisst doch nur, dass du einen Faktor aus dem Integral rausziehen kannst. <f,f>>0 heisst, das Integral über ne pos Fkt ist pos. mit a<b usw.
Also immer die Def. nachsehen, und erst mal die einfachen Teile nachprüfen, hier sind eigentlich alle Teile einfach, wenn du sie erst mal hinschreibst.
Gruss leduart
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Hallo, und erst mal danke für die schnelle Antwort.
Aber ich bin mir trotzdem nicht sicher:
Praktisch dann so:
1) <f,g> [mm] \in [/mm] R([a,b])
2) <f,g+y> = [mm] \integral_{a}^{b}{fy dx} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{gy dx} [/mm] (additiv)
3) <f, [mm] \lambda [/mm] g> = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \integral_{a}^{b}{fg dx} [/mm] (homogen)
4) <f,g> = [mm] \overline{} [/mm] = [mm] \overline{ \integral_{a}^{b}{fg dx} } [/mm] (symmetrisch)
5) <f,f> [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] R([a,b]) und <f,f> = 0 [mm] \gdw [/mm] f=0 (positiv)
Hab ich es dann so gezeigt, war das dann alles?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Mario!
> Aber ich bin mir trotzdem nicht sicher:
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> Praktisch dann so:
>
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> 1) <f,g> [mm]\in[/mm] R([a,b])
Das stimmt sicher nicht! Es soll doch sicher [mm] $\langle [/mm] f, g [mm] \rangle \in \IR$ [/mm] sein?
> 2) <f,g+y> = [mm]\integral_{a}^{b}{fy dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{a}^{b}{gy dx}[/mm] (additiv)
Du meinst [mm] $\langle [/mm] f, g + y [mm] \rangle [/mm] = [mm] \int_a^b [/mm] f g [mm] \; [/mm] dx + [mm] \int_a^b [/mm] f y [mm] \; [/mm] dx$, oder?
> 3) <f, [mm]\lambda[/mm] g> = [mm]\lambda[/mm] * [mm]\integral_{a}^{b}{fg dx}[/mm]
> (homogen)
> 4) <f,g> = [mm]\overline{}[/mm] = [mm]\overline{ \integral_{a}^{b}{fg dx} }[/mm]
> (symmetrisch)
Wieso kommst du hier mit komplexer Konjugation, wo du doch vorher nur im reellen arbeitest? Und falls du doch ueber [mm] $\IC$ [/mm] arbeitest, so hast du das Skalarprodukt falsch definiert: dann muss es naemlich [mm] $\langle [/mm] f, g [mm] \rangle [/mm] = [mm] \int_a^b [/mm] f(x) [mm] \overline{g(x)} \; [/mm] dx$ sein!
> 5) <f,f> [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] f [mm]\in[/mm] R([a,b]) und
> <f,f> = 0 [mm]\gdw[/mm] f=0 (positiv)
>
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>
> Hab ich es dann so gezeigt, war das dann alles?
Bisher hast du hauptsaechlich nur das hingeschrieben, was du zeigen musst! (Bei den meisten Sachen ist es dann klar, das es stimmt.) Aber gerade bei $5$ musst du das noch explizit zeigen! Die erste Aussage ist eigentlich klar, die zweite jedoch nicht!
LG Felix
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Hallo Felix!
Danke für deine Antwort, doch jetzt kapier ich dann leider gar nichts mehr....
Also, die Aufgabestellung lautet genau so, wie ich sie angegeben habe. Also kein [mm] \IC [/mm] .
Kann mir vielleicht irgend jemand eine Musterlösung angeben, wenns geht mit Erklärung. Ich habs versucht, aber ich kapiers gerade wirklich nicht.
Vielen Dank im Voraus
Gruß
Mario
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Mario!
> Danke für deine Antwort, doch jetzt kapier ich dann leider
> gar nichts mehr....
>
> Also, die Aufgabestellung lautet genau so, wie ich sie
> angegeben habe. Also kein [mm]\IC[/mm] .
Ok. Dann lass das Ueberstreichen einfach weg.
Schau dir auch mal ![[]](/images/popup.gif) das hier an, da siehst du die Unterschiede zwischen einem reellen Skalarprodukt und einem komplexen Skalarprodukt.
> Kann mir vielleicht irgend jemand eine Musterlösung
> angeben, wenns geht mit Erklärung. Ich habs versucht, aber
> ich kapiers gerade wirklich nicht.
Also (2) bis (4) hast du schon gezeigt (bzw. die sind trivial). (1) und (4) musst du noch zeigen.
Bei (4), erster Teil, ist ja $f(x) f(x) = [mm] (f(x))^2 \ge [/mm] 0$, womit [mm] $\langle [/mm] f, f [mm] \rangle [/mm] = [mm] \int_a^b [/mm] f(x) f(x) [mm] \; [/mm] dx$ auch [mm] $\ge [/mm] 0$ ist. Und wenn $f = 0$ ist, dann ist natuerlich auch [mm] $\langle [/mm] f, f [mm] \rangle [/mm] = 0$.
Dass aus [mm] $\langle [/mm] f, f [mm] \rangle [/mm] = 0$ bereits $f = 0$ folgt ist etwas schwieriger; da kann ich dir auch grad nicht helfen, da braucht man mehr Details zum Thema Riemann-Integrierbarkeit. Ebenso bei (1), da muss man zeigen/wissen, dass das Produkt Riemann-integrierbarer Funktionen wieder Riemann-integrierbar ist.
LG Felix
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Hallo Felix,
ok, dann hätt ich also die Hälfte 
Danke dir...
Vielleicht weiss ja jemand anders noch den Rest?
Wär super
Danke nochmals
Gruß
Mario
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 So 30.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> Vielleicht weiss ja jemand anders noch den Rest?
zu (1): uneigentlich Riemna-intergierbar muss man kippen, das geht nicht. Wenn man eigentlich Riem.integrierbar hat, sind ja beide Funktionen beschränkt, also Ober und Untersumme sind definiert. Dann muss man sich halt durchhangeln.
zu (4): wenn es blos Rieman-integrierbar sein soll, ist das nicht lösbar, da gibt's ja massig Gegenbeispiele.
SEcki
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Super, dankeschön.
Da kann ich ja lang versuchen das zu lösen...
Gruß
Mario
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