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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:16 Mi 03.03.2010 | | Autor: | gfm |
Hallo!
Es läßt mir keine Ruhe...
Sehe ich das so richtig:
Betrachten wir noch einmal die ein einfaches Beispiel, die Umkehrung von
g: [mm] \IC \to \IC; z\mapsto w=g(z)=z^2
[/mm]
Will man beide Zweige in der Umkehrung haben, muss man den Argumentbereich "mit Information ausstatten", welcher Zweig genommen werden soll.
D.h. man macht aus g eine neue Funktion, die in den Graphen von g abbildet. Aus diese Weise erhält man sicher eine umkehrbare Funktionen, weil die Verschiedenheit im Argument die Verschiedenheit im Bild erzwingt:
[mm] g_G: \IC \to [/mm] Graph(g); [mm] z\to (z,g(z))=(z,z^2)
[/mm]
Diese Funktion kann man nun umkehren:
[mm] g_G^{-1}: Graph(g)\to \IC; (z,w)\mapsto [/mm] z
In diesem Fall ist die Riemannfläche R der Umkehrung von g ist
[mm] R=\{(z,w)\in\IC^2: w^2=z\}
[/mm]
Was hat man gewonnen? Ich würde sagen
1) man ist die Mehrdeutigkeit losgeworden und
2) man ist die Unstetigkeit auf [mm] (0,\infty] [/mm] losgeworden.
1) ist klar wegen der Verwendung des Graphen.
zu 2): Bleibt man in der normalen komplexen Zahlenebene, so gibt es mit [mm] w=\wurzel{z} [/mm] ein Problem: Ein Weg, bei dem z die positive x-Achse passiert, führt zu einem Sprung im Realteil. Eine beliebig kleine Änderung bei z hätte eine endlichen Änderung bei w zur Folge so daß die Funktion hier nicht stetig ist:
Denn schaut man sich die Funktion [mm] w=z^2 [/mm] an, dann sieht man, dass die obere Halbebene schon auf die komplette komplexe Zahlenebene abgebidet wird und zwar so, dass Punkte nahe und oberhalb der negativen x-Achse auf Punkte nahe und unterhalb der positven x-Achse abgebildet werden, aber Punkte nahe und oberhalb der positiven x-Achse nahe und oberhalb der postiven x-Achse bleiben:
[mm] (e^{i\epsilon})^2 [/mm] ~ [mm] 1+2i\epsilon
[/mm]
[mm] (e^{i(\pi-\epsilon)})^2 [/mm] ~ [mm] 1-2i\epsilon
[/mm]
Für die Stetigkeit der [mm] z^2 [/mm] Funktion macht das nichts. Aber die normale Wurzel wird unstetig.
Das sieht man auch daran, dass ein geschlossener Weg bei der Abbildung mit der "normalen" Wurzelfunktion nicht-geschlossen wird:
Denn geht man nun zur Riemannfläche
[mm] R=\{(z,w)\in\IC^2: w^2=z\} [/mm] über, so sieht man,
dass ein geschlossener Weg [mm] t\in[0,1]\mapsto z=e^{2\pi it} [/mm] in der ersten Komponente noch nicht geschlossen wird in der zweiten. Man muss also noch einmal herumlaufen [mm] t\in[0,2]\mapsto z=e^{2\pi it}, [/mm] erst dann erhält man in der Riemannfläche einen geschlossenen Weg.
Etwas ungenau könnte man sagen, R besteht aus einem [mm] \IC^+ [/mm] und [mm] \IC^- [/mm] und beim ersten Umlauf nimmt man den positiven Zweig und beim zweiten den negativen, bzw. wenn man die positive y-Achse passiert, muss man den Zweig wechseln, bzw. man muss es so interpretieren, dass man nun auf einem anderen Blatt der Riemanfläche ist, wo der andere Zweig der Funktion "lebt".
Richtig bis hierher?
Nun Fragen:
1) Macht es Sinn, über den Abstand zweier [mm] z_1, z_2 [/mm] zu reden, die verschiedenen Blättern liegen?
2) Wenn ein Integral längs eines Weges von [mm] z_1 [/mm] nach [mm] z_2 [/mm] auszuwerten ist, welcher die y-Achse schneidet, dann sind die Punkte als auf verschiedenen Blättern gelegen zu interpretieren?
3) Wenn ein bestimmtes Integral für zwei [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] auszuwerten ist, wobei die auf verschiedenen Blättern liegen sollen, muss dann ein Weg genommen werden, der über die positve y-Achse führt?
4) Bestimmt man dieses Integral dann einfach, indem man die beiden Punkte in die Stammfunktionen zu den verschiedenen Zweigen einsetzt?
5) Die obige Mehrdeutigkeit und das Auftreten der Unstetigkeit an der positiven x-Achse, sind das Phänomene die meistens zusammen auftreten , oder ist das hier Zufall?
6) Ich habe da Gefühl, dass i A. eine Riemannfläche R eine Teilmenge des [mm] \IC^2 [/mm] ist, so daß für jedes [mm] q=(z,w)\in [/mm] R es lokal also in einer Umgebung einen Graph einer Funktion gibt, der durch q läuft. So nach dem Motto f(z,w)=0 definiert eine Funktion, wenn die partiellen (komplexen! -> holomorph!) Ableitungen von f nach z und/oder w existieren und von Null verschieden sind (am besten beide). Dann kann man ja nach z oder w oder beiden auflösen (da gibt es ja einen Satz, zumindest im reellen). Die Umgebung aus [mm] \IC^2, [/mm] in der das möglich ist, geschnitten mit R, muss den Graphen ergeben, d..h dort muss f(z,w)=0 sein. Richtig so in etwa?
7) Und wenn dann beide Ableitungen existieren und ungleich null sind, dann ist die Funktion soger biholomorh, was bei der Wurzelfunktion (gelesen als [mm] f(q)=f(z,w)=w^2-z=0) [/mm] nicht der Fall ist in q=(z,w)=(0,0). Deswegen wird man die Singularität auf der Riemannfläche auch nicht los. Richtig?
8) Wie betreibt man denn nun Integralrechnung auf R? Dient R nur zur Anschauung und zur konkreten Rechnung oder zieht man sich wieder auf Umgebungen in [mm] \IC [/mm] zurück und verwendet gegebenenfalls entsprechende Zweige?
LG
gfm
Wenn ich es recht verstehe liegt das Problem an der Umkehrung nicht so sehr daran, dass zwei Zweige gibt, sondern daran, dass die Geschlossenheit eines Weges nicht erhalten bleibt.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:35 Mi 03.03.2010 | | Autor: | gfm |
> 8) Wie betreibt man denn nun Integralrechnung auf R? Dient
> R nur zur Anschauung und zur konkreten Rechnung oder zieht
> man sich wieder auf Umgebungen in [mm]\IC[/mm] zurück und verwendet
> gegebenenfalls entsprechende Zweige?
Oder muss man das so verstehen: R ist zwar [mm] \subseteq \IC^2 [/mm] aber lokal sieht R wir eine Umgebung in [mm] \IC [/mm] aus. Wenn man also lokal in R integriert "bewegt" man sich entlang des [mm] \IC [/mm] und die Parametrisierung mit der lokal exisierenden eindeutigen holomorphen Funktion führt dann auf einen Weg in [mm] \IC [/mm] sodaß man wieder bei einem Wegintegral in [mm] \IC [/mm] landet und dann bei z.B. am Anfang mehrdeutigen Funktionen wieder eine lokal normale eindeutige Funktion integriert?
LG
gfm
Sorry für die vielen Fragen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 05.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Mi 03.03.2010 | | Autor: | Merle23 |
> 1) Macht es Sinn, über den Abstand zweier [mm]z_1, z_2[/mm] zu
> reden, die verschiedenen Blättern liegen?
Hierbei schon. Im Allgemeinen (also auf allg. Riem. Flächen) gibt es keine kanonische Abstandsfunktion. Aber in diesem Fall ist deine Fläche als Teilmenge von [mm] \IC^2 [/mm] gegeben, d.h. man kann die von [mm] \IC^2 [/mm] induzierte Metrik wählen (also die in diesem Fall kanonische).
> 2) Wenn ein Integral längs eines Weges von [mm]z_1[/mm] nach [mm]z_2[/mm]
> auszuwerten ist, welcher die y-Achse schneidet, dann sind
> die Punkte als auf verschiedenen Blättern gelegen zu
> interpretieren?
Ich verstehe die Frage nicht. Wenn [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] Punkte auf der Riem. Fläche sind, dann ist das jeweilige Blatt Teil der Information der Koordinaten von [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2.
[/mm]
> 3) Wenn ein bestimmtes Integral für zwei [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm]
> auszuwerten ist, wobei die auf verschiedenen Blättern
> liegen sollen, muss dann ein Weg genommen werden, der über
> die positve y-Achse führt?
Der Integrationsweg ist doch Teil der Information bei der Integration.
> 4) Bestimmt man dieses Integral dann einfach, indem man die
> beiden Punkte in die Stammfunktionen zu den verschiedenen
> Zweigen einsetzt?
Soweit ich mich erinnere braucht man eine globale Stammfunktion, damit man ein Integral einfach durch Einsetzen der Endpunkte berechnen kann.
Ich habe gerade keine Idee, ob die Wurzelfunktion auf der der Riem. Fläche eine globale Stammfunktion hat oder nicht.
> 6) Ich habe da Gefühl, dass i A. eine Riemannfläche R
> eine Teilmenge des [mm]\IC^2[/mm] ist, so daß für jedes [mm]q=(z,w)\in[/mm]
> R es lokal also in einer Umgebung einen Graph einer
> Funktion gibt, der durch q läuft. So nach dem Motto
> f(z,w)=0 definiert eine Funktion, wenn die partiellen
> (komplexen! -> holomorph!) Ableitungen von f nach z
> und/oder w existieren und von Null verschieden sind (am
> besten beide). Dann kann man ja nach z oder w oder beiden
> auflösen (da gibt es ja einen Satz, zumindest im reellen).
> Die Umgebung aus [mm]\IC^2,[/mm] in der das möglich ist,
> geschnitten mit R, muss den Graphen ergeben, d..h dort muss
> f(z,w)=0 sein. Richtig so in etwa?
Eine Riemannsche Fläche sieht lokal immer aus wie [mm] \IC. [/mm] Das man sie immer glatt in den [mm] \IC^2 [/mm] einbetten kann, ist der starke Einbettungssatz von Whitney. Holomorph kann man diese Einbettung aber nicht immer wählen (da es z.B. keine kompakten, komplexen Untermft. der Dimension >0 in [mm] \IC^n [/mm] gibt).
Den Satz über implizite Funktionen gibt es in ähnlicher Form auch für komplexe Funktionen.
> 8) Wie betreibt man denn nun Integralrechnung auf R? Dient
> R nur zur Anschauung und zur konkreten Rechnung oder zieht
> man sich wieder auf Umgebungen in [mm]\IC[/mm] zurück und verwendet
> gegebenenfalls entsprechende Zweige?
Im Allgemeinen muss man das Integral passend aufteilen (-> Partitionen der Eins) und dann jeweils in einem Kartengebiet (also dann im Endeffekt auf dem [mm] \IC) [/mm] integrieren.
LG, Alex
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:58 Mi 03.03.2010 | | Autor: | gfm |
> Hierbei schon. Im Allgemeinen (also auf allg. Riem.
> Flächen) gibt es keine kanonische Abstandsfunktion. Aber
> in diesem Fall ist deine Fläche als Teilmenge von [mm]\IC^2[/mm]
> gegeben, d.h. man kann die von [mm]\IC^2[/mm] induzierte Metrik
> wählen (also die in diesem Fall kanonische).
Gibt es nicht so etwas wie Geodäten?
> > 2) Wenn ein Integral längs eines Weges von [mm]z_1[/mm] nach [mm]z_2[/mm]
> > auszuwerten ist, welcher die y-Achse schneidet, dann sind
> > die Punkte als auf verschiedenen Blättern gelegen zu
> > interpretieren?
>
> Ich verstehe die Frage nicht. Wenn [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm] Punkte auf
> der Riem. Fläche sind, dann ist das jeweilige Blatt Teil
> der Information der Koordinaten von [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2.[/mm]
Ich meine eine Aufgabe in der [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] gegeben sind und ein Weg, der die pos. x-Achse schneidet.
>
> > 4) Bestimmt man dieses Integral dann einfach, indem man die
> > beiden Punkte in die Stammfunktionen zu den verschiedenen
> > Zweigen einsetzt?
>
> Soweit ich mich erinnere braucht man eine globale
> Stammfunktion, damit man ein Integral einfach durch
> Einsetzen der Endpunkte berechnen kann.
> Ich habe gerade keine Idee, ob die Wurzelfunktion auf der
> der Riem. Fläche eine globale Stammfunktion hat oder
> nicht.
Wie macht man es denn dann? Sucht man sich zwei zusätzliche Punkte jeweils einen auf einem Blatt und läßt Sie gegen den Schnittl laufen?
>
> > 6) Ich habe da Gefühl, dass i A. eine Riemannfläche R
> > eine Teilmenge des [mm]\IC^2[/mm] ist, so daß für jedes [mm]q=(z,w)\in[/mm]
> > R es lokal also in einer Umgebung einen Graph einer
> > Funktion gibt, der durch q läuft. So nach dem Motto
> > f(z,w)=0 definiert eine Funktion, wenn die partiellen
> > (komplexen! -> holomorph!) Ableitungen von f nach z
> > und/oder w existieren und von Null verschieden sind (am
> > besten beide). Dann kann man ja nach z oder w oder beiden
> > auflösen (da gibt es ja einen Satz, zumindest im reellen).
> > Die Umgebung aus [mm]\IC^2,[/mm] in der das möglich ist,
> > geschnitten mit R, muss den Graphen ergeben, d..h dort muss
> > f(z,w)=0 sein. Richtig so in etwa?
>
> Eine Riemannsche Fläche sieht lokal immer aus wie [mm]\IC.[/mm] Das
> man sie immer glatt in den [mm]\IC^2[/mm] einbetten kann, ist der
Ist Sie lokal auch immer der Graph einer von der Umgebung abhängenden holomorphen Funktion oder meinst Du mit dem folgenden genau die Verneinung dieser Frage?
> starke Einbettungssatz von Whitney. Holomorph kann man
> diese Einbettung aber nicht immer wählen (da es z.B. keine
> kompakten, komplexen Untermft. der Dimension >0 in [mm]\IC^n[/mm]
> gibt).
>
Vielen Dank!
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 05.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 03.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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