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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 So 22.02.2009 | | Autor: | blubb_ |
| Aufgabe | Berechne die folgenden Grenzwerte, indem man die jeweiligen Folgenglieder als Riemannsche Summen geeigneter integrierbarer Funktionen betrachtet:
i) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\wurzel{1}}{n\wurzel{n}}+\bruch{\wurzel{2}}{n\wurzel{n}}+...+\bruch{\wurzel{n}}{n\wurzel{n}})
[/mm]
[mm] ii)\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{1+n}+\bruch{1}{2+n}+...+\bruch{1}{2n}) [/mm] |
Mir ist leider nicht ganz klar, wie ich hier überhaupt anfangen soll.
Ich hab das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich hier die passenden Riemannschen SUmmen bilden kann.
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Hallo blubb_,
die Riemannsche Summe ist ja sozusagen der Differentialansatz der Integralrechnung. ![[]](/images/popup.gif) Hier eine knappe Beschreibung mit einem Link zu einem hübschen Java-Applet.
Schreib also Deine Reihengrenzwerte so um, dass jedes Glied der Reihe als Funktionswert*konstante "Breite" dargestellt wird.
> i)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\wurzel{1}}{n\wurzel{n}}+\bruch{\wurzel{2}}{n\wurzel{n}}+...+\bruch{\wurzel{n}}{n\wurzel{n}})[/mm]
Hier also: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^n{\wurzel{\bruch{k}{n}}*\bruch{1}{n}}
[/mm]
Eine geschickte Wahl der Integrationsgrenzen wäre hier wohl 0 und 1, so dass Du [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] bekommst.
> [mm]ii)\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{1+n}+\bruch{1}{2+n}+...+\bruch{1}{2n})[/mm]
Hier gibt es mehr zu basteln:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{1+n}+\bruch{1}{2+n}+...+\bruch{1}{2n})=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^n{\bruch{n}{n+k}*\bruch{1}{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^n{\bruch{1}{1+\bruch{k}{n}}*\bruch{1}{n}}
[/mm]
Wenn Du wieder als Grenzen 0 und 1 wählst, ist offenbar [mm] f(x)=\bruch{1}{1+x}
[/mm]
> Mir ist leider nicht ganz klar, wie ich hier überhaupt
> anfangen soll.
> Ich hab das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich hier die
> passenden Riemannschen SUmmen bilden kann.
Kannst Du das nachvollziehen?
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 So 22.02.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay, zur i)
Deine Summe verstehe ich, nur wie ich jetzt weitermachen muss verstehe ich nicht genau: Also hier mein Ansatz aus Wikipedia:
Sn = [mm] \summe_{k=1}^{n}(f(a+k/n[b-a])*1/n[b-a]) [/mm]
Sn = [mm] \summe_{k=1}^{n}(f(0+\wurzel{k/n}[1-0])*1/n[1-0]) [/mm]
= Sn = [mm] \summe_{k=1}^{n}(f (\wurzel{k/n})*1/n) [/mm]
Und jetzt? Is dieser Ansatz überhaupt richtig?
Danke für die Hilfe im Vorraus!
Gruß
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Hallo Lorence,
noch nicht ganz. Was ist denn Dein f(x)?
> [mm] S_n=\summe_{k=1}^{n}(f(a+k/n[b-a])*1/n[b-a]) [/mm]
Gut, soweit der Grundansatz.
> [mm] S_n=\summe_{k=1}^{n}(f(0+\wurzel{k/n}[1-0])*1/n[1-0])
[/mm]
Nein. Das Funktionsargument bleibt [mm] (a+\bruch{k}{n}[b-a]), [/mm] auch wenn Du jetzt a=0 und b=1 einsetzt. Nimm [mm] f(x)=\wurzel{x}
[/mm]
[mm] S_n=\summe_{k=1}^n\wurzel{0+\bruch{k}{n}[1-0]}*\bruch{1}{n}[1-0]=\summe_{k=1}^n\wurzel{\bruch{k}{n}}*\bruch{1}{n}
[/mm]
Dann ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left[S_n\right]_0^1=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^n\wurzel{\bruch{k}{n}}*\bruch{1}{n}=\integral_{0}^{1}{\wurzel{x}\ dx}=\left[\bruch{2}{3}x^{\bruch{3}{2}}\right]_0^1=\bruch{2}{3}
[/mm]
Bei Aufgabe ii) sollte dann entsprechend das Ergebnis [mm] \ln{2} [/mm] sein.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 So 22.02.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay, aber wieso nehme ich [mm] f(x)=\wurzel{x}???
[/mm]
für mich fällt das etwas vom Himmel, vielleicht könntest du es nochmal erklären.
also allgemein nochmal, die Idee dieser Art der Grenzwertberechnung ist:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}f(x)=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
Also ich glaub dass [mm] "\infty" [/mm] der Summe ist im Integral die "0" als untere Grenze? Analog ist der Startwert der Summe (hier: "1") die obere Grenze des integrals?
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 So 22.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du solltest wissen, was die Riemannsumme ist, die du bildest, um [mm] \wurzel{x} [/mm] zu integrieren. ohne das kapierst du es nicht.
also schreib mal die riemannsumme fuer die funktion hin.
spaeter die fuer die fkt 1/(x+1
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 So 22.02.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay, also
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{\wurzel{1}}{n\wurzel{n}}+\bruch{\wurzel{2}}{n\wurzel{n}}+...+\bruch{\wurzel{n}}{n\wurzel{n}}) [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\wurzel{\bruch{k}{n}}*\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] SN=\summe_{k=1}^{n}(f(a+k/n[b-a])*1/n[b-a]) [/mm]
[mm] SN=\summe_{k=1}^{n}(f(0+k/n[1-0])*1/n[1-0]) [/mm]
[mm] SN=\summe_{k=1}^{n}(f(k/n)*1/n) [/mm]
das 1/n ist die Anzahl der äquidistanten Unterteilungen (diese Werden für n gegen unendlich immer feiner, und f(k/n) ist das f(x),
Jetzt verstehe ich dass [mm] f(x)=\wurzel{x} [/mm] ist.
Gruß, und danke
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