Riemannsche Zwischensumme < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Di 21.04.2015 | | Autor: | Jonas123 |
| Aufgabe | Wir betrachten die Folge von Partitionen ${ [mm] \pi }_{ n }:=\left( 0,\frac { 1 }{ n } ,\frac { 2 }{ n } ,...,\frac { n }{ n } \right)$ [/mm] des Intervalls $[0;1]$, d.h. $n$ ist
die sog. äquidistante Zerlegung von $[0;1]$ in $n$ Teilintervalle. Als zugehörige Stützstellen wählen wir ${ [mm] \xi }_{ n }:=\left( \frac { 1 }{ n } ,\frac { 2 }{ n } ,...,1 \right)$, [/mm] d.h. im Teilintervall [mm] $\left[ { t }_{ j-1 },{ t }_{ j } \right] [/mm] $ wählen wir jeweils den rechten Randpunkt ${ t [mm] }_{ j }$ [/mm] als Stützpunkt. Ferner sei die Funktion [mm] $f:\left[ 0,1 \right] \rightarrow [/mm] R$ gegeben durch [mm] $f\left( t \right) [/mm] =3t-1$.
Berechne die Riemannsche Zwischensumme [mm] $S\left( f,{ \pi }_{ n },{ \xi }_{ n } \right) [/mm] $, sowie den Grenzwert [mm] $\lim [/mm] _{ [mm] n\rightarrow \infty [/mm] }{ [mm] S\left( f,{ \pi }_{ n },{ \xi }_{ n } \right) [/mm] } $. |
Hallo zusammen
Mit dieser Aufgabe quäle ich mich zur Zeit herum. Ich vermute mal, dass sie gar nicht so schwer ist, aber ich habe leider keine Ahnung wie ich anfangen soll.
Wir haben zwar in der Vorlesung eine konstante Funktion besprochen, aber war bei dieser nicht die Partition und Stützstelle angegeben.
Angefangen haben wir indem wir das bestimmte Integral bestimmt haben, was ich auch noch hin bekomme.
[mm] $\int [/mm] _{ 0 [mm] }^{ 1 }{ 3x-1dx } [/mm] =0,5$
Dann haben wir plötzlich die Riemannsche Zwischensumme gebildet, was ich jedoch auf diese Funktion nicht übertragen kann.
Kann jemand von euch mir bitte einen groben Plan geben wie ich an diese Aufgabe rangehen muss.
Viele Grüße
Jonas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Di 21.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wir betrachten die Folge von Partitionen [mm]{ \pi }_{ n }:=\left( 0,\frac { 1 }{ n } ,\frac { 2 }{ n } ,...,\frac { n }{ n } \right)[/mm]
> des Intervalls [mm][0;1][/mm], d.h. [mm]n[/mm] ist
> die sog. äquidistante Zerlegung von [mm][0;1][/mm] in [mm]n[/mm]
> Teilintervalle. Als zugehörige Stützstellen wählen wir
> [mm]{ \xi }_{ n }:=\left( \frac { 1 }{ n } ,\frac { 1 }{ n } ,...,1 \right)[/mm],
> d.h. im Teilintervall [mm]\left[ { t }_{ j-1 },{ t }_{ j } \right][/mm]
> wählen wir jeweils den rechten Randpunkt [mm]{ t }_{ j }[/mm] als
> Stützpunkt. Ferner sei die Funktion [mm]f:\left[ 0,1 \right] \rightarrow R[/mm]
> gegeben durch [mm]f\left( t \right) =3t-1[/mm].
>
> Berechne die Riemannsche Zwischensumme [mm]S\left( f,{ \pi }_{ n },{ \xi }_{ n } \right) [/mm],
> sowie den Grenzwert [mm]\lim _{ n\rightarrow \infty }{ S\left( f,{ \pi }_{ n },{ \xi }_{ n } \right) } [/mm].
>
> Hallo zusammen
>
> Mit dieser Aufgabe quäle ich mich zur Zeit herum. Ich
> vermute mal, dass sie gar nicht so schwer ist, aber ich
> habe leider keine Ahnung wie ich anfangen soll.
>
> Wir haben zwar in der Vorlesung eine konstante Funktion
> besprochen, aber war bei dieser nicht die Partition und
> Stützstelle angegeben.
> Angefangen haben wir indem wir das bestimmte Integral
> bestimmt haben, was ich auch noch hin bekomme.
>
> [mm]\int _{ 0 }^{ 1 }{ 3x-1dx } =0,5[/mm]
>
> Dann haben wir plötzlich die Riemannsche Zwischensumme
> gebildet, was ich jedoch auf diese Funktion nicht
> übertragen kann.
>
> Kann jemand von euch mir bitte einen groben Plan geben wie
> ich an diese Aufgabe rangehen muss.
schlag' bitte nach, wie ihr die Riemannsche Zwischensumme definiert habt.
Mach' Dir mal eine Skizze, was diese macht.
Da ich Eure Definition nicht kenne, gehe ich einfach mal vor, wie es
![[]](/images/popup.gif) hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsches_Integral#Riemann-Summen
steht (das scheint aber das zu sein, was ihr auch macht):
Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] fest, dann ist
[mm] $t_{k}=t^{(n)}_k=\frac{k}{n}$ [/mm] für [mm] $k=1,...,n\,.$
[/mm]
(Trage Dir die mal auf der x-Achse ab; meinetwegen der Anschauung wegen
mal speziell für n=10.)
Wir haben [mm] $f(t)=3t-1\,,$ [/mm] also ist
[mm] $f(t_k)=3*\frac{k}{n}-1\,.$
[/mm]
(Markiere Dir die Punkte [mm] $(t_k\,;\,f(t_k))$ [/mm] im Koordinatensystem. Mache zwei
Skizzen: Die erste für [mm] $n=10\,,$ [/mm] die zweite mal für [mm] $n=20\,.$)
[/mm]
Ist Dir klar, dass Du nun nur noch
[mm] $\sum_{k=1}^n f(t_k)*(x_k-x_{k-1})$
[/mm]
mit [mm] $x_k=x^{(n)}_k=\frac{k}{n}$ [/mm] für [mm] $k=0,\ldots,n$
[/mm]
zu berechnen hast? (Den Grenzübergang machen wir später!)
Beachte: Die Stützstellen [mm] $t_k$ [/mm] erfüllen
[mm] $t_k \in [x_{k-1},\,x_k]$,
[/mm]
da ja [mm] $t_k=x_k=k/n \in [x_{k-1},x_k]=[(k-1)/n,\,k/n]$ [/mm] gilt.
Zur Kontrolle:
[mm] $\sum_{k=1}^n f(t_k)(x_{k}-x_{k-1})\,=\,\sum_{k=1}^n (\tfrac{3k}{n}-1)*(\tfrac{k-(k-1)}{n})\,=\,\ldots\,=\,\frac{3}{n^2}\left(\sum_{k=1}^n k\right)\;-\;\frac{1}{n}*\sum_{k=1}^n [/mm] 1$
Mach' Dir klar, was [mm] $\sum_{k=1}^n [/mm] 1$ ist, und benutze zudem noch den
kleinen Gauß!
Weitere Kontrollinformation: Sofern ich mich nicht verrechnet habe (und ich
gehe auch mal davon aus, dass Du mit Schulmathematik [mm] $\int_0^1 [/mm] (3t-1)dt$ eh
berechnen kannst), ist [mm] $S(f,\pi_n,\xi_n)$ [/mm] um $3/(2n)$ "zu groß".
P.S. Natürlich kannst Du oben, nachdem Du [mm] $S(f,\pi_n,\xi_n)$ [/mm] berechnet hast, auch
direkt $n [mm] \to \infty$ [/mm] streben lassen und wirst sehen, dass da das gleiche bei
herauskommt wie *mit den bereits in der Schule gelernten Methoden*. In
der Schule wird sowas gerne auch mal motiviert, aber meist fehlt einem da
auch noch das Handwerkszeug, um einen ganz sauberen Beweis zu führen.
*Anschauliche Motivation* klappt da ganz gut, und tatsächlich würde sich
die Aufgabe hier dahingehend hervorragend eignen...
P.P.S. Mach' Dir mal klar, wie Du hier *Flächen* mit (schmalen) Rechtecken
approximierst. Tatsächlich kann man alles, was wir hier rechnen, geometrisch
veranschaulichen und auch den Fehler durch die Anschauung genau berechnen.
Du musst neben Rechteckflächen vielleicht auch Dreiecksflächen berechnen
können, aber mehr *Grundlagen* braucht man nicht. (Nur ergänzend:
*Flächen oberhalb der x-Achse bekommen kein negatives Vorzeichen,
Flächen unterhalb der x-Achse schon*. Wenn Du das genauer wissen
willst, wie das gemeint ist, frage bitte nochmal nach!
Das brauchst Du hier auch noch, weil der Graph von [mm] $f\,$ [/mm] ja die x-Achse schneidet!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Di 21.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wir betrachten die Folge von Partitionen [mm]{ \pi }_{ n }:=\left( 0,\frac { 1 }{ n } ,\frac { 2 }{ n } ,...,\frac { n }{ n } \right)[/mm]
> des Intervalls [mm][0;1][/mm], d.h. [mm]n[/mm] ist
> die sog. äquidistante Zerlegung von [mm][0;1][/mm] in [mm]n[/mm]
> Teilintervalle. Als zugehörige Stützstellen wählen wir
> [mm]{ \xi }_{ n }:=\left( \frac { 1 }{ n } ,\frac { 1 }{ n } ,...,1 \right)[/mm],
> d.h. im Teilintervall [mm]\left[ { t }_{ j-1 },{ t }_{ j } \right][/mm]
> wählen wir jeweils den rechten Randpunkt [mm]{ t }_{ j }[/mm] als
> Stützpunkt. Ferner sei die Funktion [mm]f:\left[ 0,1 \right] \rightarrow R[/mm]
> gegeben durch [mm]f\left( t \right) =3t-1[/mm].
>
> Berechne die Riemannsche Zwischensumme [mm]S\left( f,{ \pi }_{ n },{ \xi }_{ n } \right) [/mm],
> sowie den Grenzwert [mm]\lim _{ n\rightarrow \infty }{ S\left( f,{ \pi }_{ n },{ \xi }_{ n } \right) } [/mm].
>
> Hallo zusammen
>
> Mit dieser Aufgabe quäle ich mich zur Zeit herum. Ich
> vermute mal, dass sie gar nicht so schwer ist, aber ich
> habe leider keine Ahnung wie ich anfangen soll.
>
> Wir haben zwar in der Vorlesung eine konstante Funktion
> besprochen, aber war bei dieser nicht die Partition und
> Stützstelle angegeben.
damit Du weißt, was dieses [mm] $S(f,\pi_n,\xi_n)$ [/mm] macht:
Hier (klick!) findest Du ein ganz tolles Bild auf Seite 212.
In Deinem Fall wird [mm] $\xi_1$ [/mm] mit [mm] $x_1$ [/mm] zusammenfallen (die [mm] $\xi_k$ [/mm] nennt ihr [mm] $t_k$), [/mm]
und bei Euch ist die Besonderheit, dass die [mm] $x_k$ [/mm] alle äquidistant
sind. (Bei dem Bild ist das etwas *verschleiert*, dass die [mm] $x_k$ [/mm] NICHT äquidistant
sind; aber wenn man genau hinguckt, sieht man, dass [mm] $x_4$ [/mm] doch wesentlich
dichter an [mm] $x_5$ [/mm] liegt; [mm] $x_1,x_2,x_3$ [/mm] wirken noch ziemlich äquidistant, aber
[mm] $x_4$ [/mm] ist dann auch etwas weiter von [mm] $x_3$ [/mm] entfernt).
P.S. Im Bild sind [mm] $\xi_k$ [/mm] Stellen (auf der x-Achse), bei Euch gab es auch [mm] $\xi_k$
[/mm]
in einer anderen Bedeutung. Lass' Dich davon nicht verwirren!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Di 21.04.2015 | | Autor: | Jonas123 |
Hallo Marcel,
vielen, vielen Dank für deine außerordentliche Hilfe. Das hatte ich nicht erwartet, dass sich jemand so viel Zeit nimmt und mir alles so ausführlich erklärt. Habe jetzt die Aufgabe selbst einmal durchgerechnet und habe sie verstanden. Deine Erklärungen waren einleuchtend, aber auch so gut formuliert, dass man selber denken muss. Auf die Feinheiten, dass z. B. die Summe über 1 gleich n ist wäre ich nie ohne deine Hilfe gekommen. Da fehlt mir einfach noch die Erfahrung.
Ich bedanke mich nochmals vielmals für deine Hilfe. Mach weiter so.
Schönen Abend noch
Jonas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:35 Mi 22.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jonas,
> Hallo Marcel,
>
> vielen, vielen Dank für deine außerordentliche Hilfe. Das
> hatte ich nicht erwartet, dass sich jemand so viel Zeit
> nimmt und mir alles so ausführlich erklärt. Habe jetzt
> die Aufgabe selbst einmal durchgerechnet und habe sie
> verstanden.
das ist gut.
> Deine Erklärungen waren einleuchtend, aber
> auch so gut formuliert, dass man selber denken muss.
Es sollte zumindest so sein, dass Du das auch *selbst nachbauen* kannst.
Die ein oder andere Feinheit ist auch etwas Erfahrungssache!
> Auf die Feinheiten, dass z. B. die Summe über 1 gleich n ist
> wäre ich nie ohne deine Hilfe gekommen. Da fehlt mir
> einfach noch die Erfahrung.
Das hat mich immer erstaunt, dass viele anscheinend die *Trivialität*
[mm] $\sum_{k=1}^n a=n\,*\,a$
[/mm]
nicht direkt sehen. Dabei steht sowas meist schon dabei, wenn man das
Summenzeichen *in einem Körper* benutzt.
Was vielen aber hilft, ist meist, einfach das Summenzeichen *wieder aufzubröseln*:
[mm] $\sum_{k=1}^n a=\underbrace{a+a+...+a}_{n \text{ Stück}}=n*a$
[/mm]
oder
[mm] $\sum_{k=1}^n a=a+a+...+a=\underbrace{(1+1+...+1)}_{n \text{ Stück}}*a=n*a$
[/mm]
> Ich bedanke mich nochmals vielmals für deine Hilfe. Mach weiter so.
Danke für die netten Worte. 
> Schönen Abend noch
> Jonas
Ebenfalls, bzw. mittlerweile schon: Gute Nacht!
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
