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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:53 Di 14.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier eine Aufgabe, bei der ich schon die halbe Lösung gefunden habe, allerdings noch nicht so ganz verstehe... Und mit dem ersten Teil kann ich noch gar nichts anfangen.
Es sei S die Riemannsphäre. Zeige:
- Ist f holomorph auf [mm] \IC [/mm] mit Pol im Unendlichen, dann ist f ein Polynom.
- Die einzigen meromorphen Funktionen auf S sind die rationalen.
Also einmal noch kurz eine Frage: Die Riemannsphäre ist einfach nur [mm] \IC\cup\infty? [/mm] Jedenfalls hatten wir als Überschrift Riemannsphäre stehen und dadrunter dann nur diese Definition.
Also, zum ersten - würde man so anfangen?:
sei f holomorph auf [mm] \IC [/mm] und [mm] z_0=\infty [/mm] Polstelle von f
oder hab ich das schon falsch verstanden? Und wie geht man dann vor?
Und zum zweiten habe ich hier folgendes gefunden - da stand allerdings davor "Skizze" - würde das denn so reichen oder muss man das noch genauer hinschreiben? Jedenfalls schreibe ich mal meine Fragen dazu in Klammern dahinter:
Da die Polstellen keine Häufungspunkte haben können (ist das, weil S diskret ist? ist doch immer so, oder? (also, dass S diskret ist...)), und [mm] \hat\IC [/mm] kompakt ist, kann es nur endlich viele geben (nur endlich viele was: Polstellen? warum? die Begründung verstehe ich nicht so ganz). Durch Multiplikation mit Faktoren [mm] (z-z_i)^n [/mm] an den Polen bzw. durch Teilen durch [mm] z^m, [/mm] wobei m die Multiplizität des Pols bei [mm] \infty [/mm] ist, bekommen wir eine auf [mm] \IC [/mm] holomorphe Funktion. (heißt das jetzt, wir definieren quasi [mm] g:=\begin{cases} f*(z-z_i)^n, & \mbox{für } z_i \mbox{ Pol} \\ f, & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm] oder so ähnlich? hier bin ich mir nicht so sicher, ob mit [mm] z_i [/mm] wirklich die Polstellen gemeint sind, und wann multipliziere ich und wann teile ich durch [mm] z^m???) [/mm] Da diese in [mm] \infty [/mm] definiert ist und dort einen endlichen Wert annimmt, ist sie auf [mm] \IC [/mm] holomorph und beschränkt. (warum???) Damit ist sie nach dem Satz von Liouville konstant. f war eine rationale Funktion. (wie kommt man denn jetzt da drauf???)
Ich hoffe, man kann meine Fragen verstehen...
Viele Grüße
Bastiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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Hallo Bastiane!
Um das wirklich zu verstehen, muß man sich die Definitionen genauer anschauen.  Also, dann wollen wir mal:
Ist $f$ in einer Umgebung eines Punktes [mm] $z_0$ [/mm] definiert und holomorph, aber bei [mm] $z_0$ [/mm] nicht definiert, dann heißt [mm] $z_0$ [/mm] Pol (der Ordnung $k$), falls [mm] $z^k \dot [/mm] f$ bei [mm] $z_0$ [/mm] eine hebbare Singularität hat, sich also zu einer holomorphen Funktion fortsetzen läßt (und das für [mm] $z^{k-1}$ [/mm] nicht geht). Mit anderen Worten: eine Polstelle ist etwas, das sich durch Multiplikation mit einer geeigenten Potenz beheben läßt.
Sei nun also $f$ eine ganze Funktion mit einem Pol (sagen wir der Ordnung $n$) bei [mm] $\infty$. [/mm] Was soll das denn heißen?
Naja, das Verhalten von $f$ bei [mm] $\infty$ [/mm] ist definiert als das Verhalten von $g(z) := [mm] f\left( \frac{1}{z} \right)$ [/mm] bei 0. Mit anderen Worten: die Bedingung sagt uns, dass $g$ einen Pol der Ordnung $n$ bei 0 hat. Und das übersetzt sich ja zu [mm] $z^n \cdot [/mm] g(z)$ hat eine hebbare Lücke, ist also beschränkt in einer Umgebung der 0. Daraus schließt man:
$|f(z)| [mm] \leq |z|^n \cdot [/mm] M$ für ein festes $M$. Kannst Du daraus folgern, dass $f$ ein Polynom sein muß, z.B. aus der Potenzreihenentwicklung um 0?
Zum zweiten:
> Da die Polstellen keine Häufungspunkte haben können (ist
> das, weil S diskret ist? ist doch immer so, oder? (also,
> dass S diskret ist...)),
Ich weiß nicht, was $S$ ist, aber eine meromorphe Funktion ist ja definiert als Quotient zweier holomorpher Funktionen, wobei der Nenner nicht die Nullfunktion ist. Die Polstellen sind die Nullstellen des Nenners - und die liegen diskret, denn wenn sich die Nullstellen einer holomorphen Funktion häufen, dann ist die Funktion lt. Identitätssatz konstant 0, daher kann das nicht passieren.
> und [mm]\hat\IC[/mm] kompakt ist, kann es
> nur endlich viele geben (nur endlich viele was: Polstellen?
> warum? die Begründung verstehe ich nicht so ganz).
Ja, nur endlich viele Polstellen. Wenn es nämlich unendlich viele gäbe, dann hätte diese Menge der Polstellen nach Bolzano-Weierstraß in einer kompakten Menge einen Häufungspunkt.
> Durch
> Multiplikation mit Faktoren [mm](z-z_i)^n[/mm] an den Polen bzw.
> durch Teilen durch [mm]z^m,[/mm] wobei m die Multiplizität des Pols
> bei [mm]\infty[/mm] ist, bekommen wir eine auf [mm]\IC[/mm] holomorphe
> Funktion. (heißt das jetzt, wir definieren quasi
> [mm]g:=\begin{cases} f*(z-z_i)^n, & \mbox{für } z_i \mbox{ Pol} \\ f, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
> oder so ähnlich? hier bin ich mir nicht so sicher, ob mit
> [mm]z_i[/mm] wirklich die Polstellen gemeint sind, und wann
> multipliziere ich und wann teile ich durch [mm]z^m???)[/mm]
Naja, nicht ganz. Da wir nur endlich viele Polstellen (sagen wir [mm] $z_1, \ldots, z_n$) [/mm] haben mit Vielfachheiten [mm] $k_1, \ldots, k_n$ [/mm] können wir einfach mit der holomorphen Funktion $h := [mm] \prod_{i=1}^n [/mm] (z - [mm] z_i)^{k_i}$ [/mm] multiplizieren. Wenn es unendlich viele Polstellen gäbe, wäre das Produkt ja unendlich, aber so ist das wohldefiniert und das Produkt der mreomorphen Funktion mit $h$ ist holomorph.
> Da diese
> in [mm]\infty[/mm] definiert ist und dort einen endlichen Wert
> annimmt, ist sie auf [mm]\IC[/mm] holomorph und beschränkt.
> (warum???)
Also, das Produkt hat jetzt keine Pole mehr, sondern einen Haufen hebbare Lücken. Wenn man die behebt hat man also eine Funktion, die auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] und in [mm] $\infty$ [/mm] holomorph ist. Also ist sie beschränkt (man kann auch sagen, dass liegt daran, dass die Sühäre kompakt ist und stetige Funktionen auf kompakten Mengen sind beschränkt) und nach Liouville ist das Produkt also konstant.
> Damit ist sie nach dem Satz von Liouville
> konstant. f war eine rationale Funktion. (wie kommt man
> denn jetzt da drauf???)
Naja, $f$ war die Ursprungsfunktion und $h$ war dieses Produkt (ein Polynom!). Wir haben herausbekommen: $f [mm] \cdot [/mm] h = c$, wo $c$ eine Konstante ist. Daraus folgt:
$f = [mm] \frac{c}{h}$, [/mm] also ist $f$ Quotient zweier Polynome, also eine rationale Funktion!
Alles klar?
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Do 16.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Lars!
Vielen Dank, dass du geantwortet hast!
> Ist [mm]f[/mm] in einer Umgebung eines Punktes [mm]z_0[/mm] definiert und
> holomorph, aber bei [mm]z_0[/mm] nicht definiert, dann heißt [mm]z_0[/mm] Pol
> (der Ordnung [mm]k[/mm]), falls [mm]z^k \dot f[/mm] bei [mm]z_0[/mm] eine hebbare
> Singularität hat, sich also zu einer holomorphen Funktion
> fortsetzen läßt (und das für [mm]z^{k-1}[/mm] nicht geht). Mit
> anderen Worten: eine Polstelle ist etwas, das sich durch
> Multiplikation mit einer geeigenten Potenz beheben läßt.
>
> Sei nun also [mm]f[/mm] eine ganze Funktion mit einem Pol (sagen wir
> der Ordnung [mm]n[/mm]) bei [mm]\infty[/mm]. Was soll das denn heißen?
>
> Naja, das Verhalten von [mm]f[/mm] bei [mm]\infty[/mm] ist definiert als das
> Verhalten von [mm]g(z) := f\left( \frac{1}{z} \right)[/mm] bei 0.
> Mit anderen Worten: die Bedingung sagt uns, dass [mm]g[/mm] einen
> Pol der Ordnung [mm]n[/mm] bei 0 hat. Und das übersetzt sich ja zu
> [mm]z^n \cdot g(z)[/mm] hat eine hebbare Lücke, ist also beschränkt
> in einer Umgebung der 0. Daraus schließt man:
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]") Toll, dass du das nochmal so ausführlich erklärt hast, teilweise hatte ich zwar was ähnliches schon mal gelesen, aber gewusst habe ich das meiste hiervon nicht wirklich...
Allerdings weiß ich hier noch nicht so ganz, warum daraus folgt, dass die Funktion beschränkt ist in einer Umgebuns der 0... ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
> [mm]|f(z)| \leq |z|^n \cdot M[/mm] für ein festes [mm]M[/mm]. Kannst Du
> daraus folgern, dass [mm]f[/mm] ein Polynom sein muß, z.B. aus der
> Potenzreihenentwicklung um 0?
Mmh, also ich habe hier jetzt gefunden, dass eine holomorphe Funktion in eine Potenzreihe [mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n [/mm] entwickelt werden kann und die Koeffizienten durch [mm] a_n=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\partial K_r(a)}\bruch{f(\xi)}{(\xi-a)^{n+1}}d\xi [/mm] gegeben sind. (die genauen Voraussetzungen habe ich jetzt mal weggelassen)
Ich schätze, damit muss ich jetzt irgendwie weiterrechnen? Und ich schätze, dass da dann rauskommen muss, dass die [mm] a_n [/mm] alle rational sind (oder sogar ganzzahlig?) - aber wie mache ich das? (Was mich hier auch gerade noch etwas verwirrt - hat das a etwas mit den [mm] a_n [/mm] zu tun? Sind das einfach nur die Komponenten von a oder ist das ganz was anderes?
> Zum zweiten:
>
> > Da die Polstellen keine Häufungspunkte haben können (ist
> > das, weil S diskret ist? ist doch immer so, oder? (also,
> > dass S diskret ist...)),
>
> Ich weiß nicht, was [mm]S[/mm] ist, aber eine meromorphe Funktion
> ist ja definiert als Quotient zweier holomorpher
> Funktionen, wobei der Nenner nicht die Nullfunktion ist.
> Die Polstellen sind die Nullstellen des Nenners - und die
> liegen diskret, denn wenn sich die Nullstellen einer
> holomorphen Funktion häufen, dann ist die Funktion lt.
> Identitätssatz konstant 0, daher kann das nicht passieren.
S ist die Menge der Singularitäten - ich würde sagen, du meinst das Gleiche wie ich.
> > und [mm]\hat\IC[/mm] kompakt ist, kann es
> > nur endlich viele geben (nur endlich viele was: Polstellen?
> > warum? die Begründung verstehe ich nicht so ganz).
>
> Ja, nur endlich viele Polstellen. Wenn es nämlich unendlich
> viele gäbe, dann hätte diese Menge der Polstellen nach
> Bolzano-Weierstraß in einer kompakten Menge einen
> Häufungspunkt.
Stimmt...
> > Durch
> > Multiplikation mit Faktoren [mm](z-z_i)^n[/mm] an den Polen bzw.
> > durch Teilen durch [mm]z^m,[/mm] wobei m die Multiplizität des Pols
> > bei [mm]\infty[/mm] ist, bekommen wir eine auf [mm]\IC[/mm] holomorphe
> > Funktion. (heißt das jetzt, wir definieren quasi
> > [mm]g:=\begin{cases} f*(z-z_i)^n, & \mbox{für } z_i \mbox{ Pol} \\ f, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
> > oder so ähnlich? hier bin ich mir nicht so sicher, ob mit
> > [mm]z_i[/mm] wirklich die Polstellen gemeint sind, und wann
> > multipliziere ich und wann teile ich durch [mm]z^m???)[/mm]
>
> Naja, nicht ganz. Da wir nur endlich viele Polstellen
> (sagen wir [mm]z_1, \ldots, z_n[/mm]) haben mit Vielfachheiten [mm]k_1, \ldots, k_n[/mm]
> können wir einfach mit der holomorphen Funktion [mm]h := \prod_{i=1}^n (z - z_i)^{k_i}[/mm]
> multiplizieren. Wenn es unendlich viele Polstellen gäbe,
> wäre das Produkt ja unendlich, aber so ist das
> wohldefiniert und das Produkt der mreomorphen Funktion mit
> [mm]h[/mm] ist holomorph.
Ja, danke, das verstehe ich. Allerdings weiß ich dann im Moment nicht, wofür da noch steht "bzw. durch Teilen durch [mm] z^m". [/mm] Wofür braucht man das?
> > Da diese
> > in [mm]\infty[/mm] definiert ist und dort einen endlichen Wert
> > annimmt, ist sie auf [mm]\IC[/mm] holomorph und beschränkt.
> > (warum???)
>
> Also, das Produkt hat jetzt keine Pole mehr, sondern einen
> Haufen hebbare Lücken. Wenn man die behebt hat man also
> eine Funktion, die auf ganz [mm]\IC[/mm] und in [mm]\infty[/mm] holomorph
> ist. Also ist sie beschränkt (man kann auch sagen, dass
> liegt daran, dass die Sühäre kompakt ist und stetige
> Funktionen auf kompakten Mengen sind beschränkt) und nach
> Liouville ist das Produkt also konstant.
>
> > Damit ist sie nach dem Satz von Liouville
> > konstant. f war eine rationale Funktion. (wie kommt man
> > denn jetzt da drauf???)
>
> Naja, [mm]f[/mm] war die Ursprungsfunktion und [mm]h[/mm] war dieses Produkt
> (ein Polynom!). Wir haben herausbekommen: [mm]f \cdot h = c[/mm], wo
> [mm]c[/mm] eine Konstante ist. Daraus folgt:
>
> [mm]f = \frac{c}{h}[/mm], also ist [mm]f[/mm] Quotient zweier Polynome, also
> eine rationale Funktion!
Okay, das Ende ist dann glaube ich wieder klar.
Meinst du, es ist okay, wenn ich das ungefäht alles so aufschreibe? Also so richtig in Worten und nicht mit "sei f eine Funktion, daraus folgt dann das und das usw." (falls du verstehst, was ich meine  )
> Alles klar?
Naja, fast!
Viele Grüße
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 Do 16.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> Allerdings weiß ich hier noch nicht so ganz, warum daraus
> folgt, dass die Funktion beschränkt ist in einer Umgebuns
> der 0...
Die Funktion ist ja stetig (fortsetzbar) in einer Umgebung von $0$, daher nimmst sie in einer kompakten Umgebung der $0$ Maximum und Minimum an, ist also in einer Umgebung der $0$ beschränkt.
> > [mm]|f(z)| \leq |z|^n \cdot M[/mm] für ein festes [mm]M[/mm]. Kannst Du
> > daraus folgern, dass [mm]f[/mm] ein Polynom sein muß, z.B. aus der
> > Potenzreihenentwicklung um 0?
>
> Mmh, also ich habe hier jetzt gefunden, dass eine
> holomorphe Funktion in eine Potenzreihe
> [mm]f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n[/mm] entwickelt werden kann
> und die Koeffizienten durch [mm]a_n=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\partial K_r(a)}\bruch{f(\xi)}{(\xi-a)^{n+1}}d\xi[/mm]
> gegeben sind. (die genauen Voraussetzungen habe ich jetzt
> mal weggelassen)
> Ich schätze, damit muss ich jetzt irgendwie weiterrechnen?
> Und ich schätze, dass da dann rauskommen muss, dass die [mm]a_n[/mm]
> alle rational sind (oder sogar ganzzahlig?) - aber wie
> mache ich das? (Was mich hier auch gerade noch etwas
> verwirrt - hat das a etwas mit den [mm]a_n[/mm] zu tun? Sind das
> einfach nur die Komponenten von a oder ist das ganz was
> anderes?
Ich mache es dir mal vor:
Wir betrachten die Potenzreihenentwicklung von $f$ um den Nullpunkt:
$f(z) = [mm] \sum\limits_{m=0}^{\infty} a_mz^m$.
[/mm]
Nach den Cauchyschen Ungleichungen gilt für $r [mm] \ge [/mm] R$:
[mm] $a_m \le r^{-m} \max\limits_{|z|=r} [/mm] |f(z)| [mm] \le r^{-m} \cdot [/mm] M [mm] \cdot r^n= [/mm] M [mm] \cdot r^{n-m}$.
[/mm]
Daraus folgt, wenn man den Grenzübergang $r [mm] \to \infty$ [/mm] vollzieht:
[mm] $a_m=0$ [/mm] für $m>n$,
d.h. $f$ ist ein Polynom.
> > Zum zweiten:
> >
> > > Da die Polstellen keine Häufungspunkte haben können (ist
> > > das, weil S diskret ist? ist doch immer so, oder? (also,
> > > dass S diskret ist...)),
> >
> > Ich weiß nicht, was [mm]S[/mm] ist, aber eine meromorphe Funktion
> > ist ja definiert als Quotient zweier holomorpher
> > Funktionen, wobei der Nenner nicht die Nullfunktion ist.
> > Die Polstellen sind die Nullstellen des Nenners - und die
> > liegen diskret, denn wenn sich die Nullstellen einer
> > holomorphen Funktion häufen, dann ist die Funktion lt.
> > Identitätssatz konstant 0, daher kann das nicht passieren.
> S ist die Menge der Singularitäten - ich würde sagen, du
> meinst das Gleiche wie ich.
>
> > > und [mm]\hat\IC[/mm] kompakt ist, kann es
> > > nur endlich viele geben (nur endlich viele was: Polstellen?
> > > warum? die Begründung verstehe ich nicht so ganz).
> >
> > Ja, nur endlich viele Polstellen. Wenn es nämlich unendlich
> > viele gäbe, dann hätte diese Menge der Polstellen nach
> > Bolzano-Weierstraß in einer kompakten Menge einen
> > Häufungspunkt.
> Stimmt...
>
> > > Durch
> > > Multiplikation mit Faktoren [mm](z-z_i)^n[/mm] an den Polen bzw.
> > > durch Teilen durch [mm]z^m,[/mm] wobei m die Multiplizität des Pols
> > > bei [mm]\infty[/mm] ist, bekommen wir eine auf [mm]\IC[/mm] holomorphe
> > > Funktion. (heißt das jetzt, wir definieren quasi
> > > [mm]g:=\begin{cases} f*(z-z_i)^n, & \mbox{für } z_i \mbox{ Pol} \\ f, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
> > > oder so ähnlich? hier bin ich mir nicht so sicher, ob mit
> > > [mm]z_i[/mm] wirklich die Polstellen gemeint sind, und wann
> > > multipliziere ich und wann teile ich durch [mm]z^m???)[/mm]
> >
> > Naja, nicht ganz. Da wir nur endlich viele Polstellen
> > (sagen wir [mm]z_1, \ldots, z_n[/mm]) haben mit Vielfachheiten [mm]k_1, \ldots, k_n[/mm]
> > können wir einfach mit der holomorphen Funktion [mm]h := \prod_{i=1}^n (z - z_i)^{k_i}[/mm]
> > multiplizieren. Wenn es unendlich viele Polstellen gäbe,
> > wäre das Produkt ja unendlich, aber so ist das
> > wohldefiniert und das Produkt der mreomorphen Funktion mit
> > [mm]h[/mm] ist holomorph.
>
> Ja, danke, das verstehe ich. Allerdings weiß ich dann im
> Moment nicht, wofür da noch steht "bzw. durch Teilen durch
> [mm]z^m".[/mm] Wofür braucht man das?
Ein Pol bei [mm] $+\infty$ [/mm] bedeutet ja, dass die Funktion $f [mm] \circ \frac{1}{z}$ [/mm] einen Pol in $0$ besitzt, d.h. man muss $f [mm] \circ \frac{1}{z}$ [/mm] mit [mm] $z^m$ [/mm] multiplizieren, um den Pol in der Nähe von $0$ zu heben. Das bedeutet aber, dass man $f$ durch [mm] $z^m$ [/mm] teilen muss, um den Pol in der Nähe von [mm] $\infty$ [/mm] zu heben. (Salopp ausgedrückt... )
> Meinst du, es ist okay, wenn ich das ungefäht alles so
> aufschreibe? Also so richtig in Worten und nicht mit "sei f
> eine Funktion, daraus folgt dann das und das usw." (falls
> du verstehst, was ich meine )
Schreibe es so auf, dass du es selber verstehst. Die Punkte sind unwichtig.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Do 16.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Danke für die Antwort! Ich hab's jetzt fast.
> Ich mache es dir mal vor:
Danke... ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
> Nach den Cauchyschen Ungleichungen gilt für [mm]r \ge R[/mm]:
>
> [mm]a_m \le r^{-m} \max\limits_{|z|=r} |f(z)| \le r^{-m} \cdot M \cdot r^n= M \cdot r^{n-m}[/mm].
Irgendwie finde diese Ungleichung nicht wirklich. Ich habe bei mir nur stehen: "ist [mm] |f|\le [/mm] M, so ist [mm] |a_n|\le\bruch{M}{r^n}" [/mm] - und ich hab gerade festgestellt, dass das natürlich genau das Gleiche ist - außer dass wir wohl n statt m geschrieben haben... Irgendwie hatte mich das r verwirrt und ich hatte |f(z)| [mm] \le r^{-m} [/mm] vergessen.
> > Ja, danke, das verstehe ich. Allerdings weiß ich dann im
> > Moment nicht, wofür da noch steht "bzw. durch Teilen durch
> > [mm]z^m".[/mm] Wofür braucht man das?
>
> Ein Pol bei [mm]+\infty[/mm] bedeutet ja, dass die Funktion [mm]f \circ \frac{1}{z}[/mm]
> einen Pol in [mm]0[/mm] besitzt, d.h. man muss [mm]f \circ \frac{1}{z}[/mm]
> mit [mm]z^m[/mm] multiplizieren, um den Pol in der Nähe von [mm]0[/mm] zu
> heben. Das bedeutet aber, dass man [mm]f[/mm] durch [mm]z^m[/mm] teilen muss,
> um den Pol in der Nähe von [mm]\infty[/mm] zu heben. (Salopp
> ausgedrückt... )
Danke, das kann ich mir vorstellen!
> > Meinst du, es ist okay, wenn ich das ungefäht alles so
> > aufschreibe? Also so richtig in Worten und nicht mit "sei f
> > eine Funktion, daraus folgt dann das und das usw." (falls
> > du verstehst, was ich meine )
>
> Schreibe es so auf, dass du es selber verstehst. Die Punkte
> sind unwichtig.
Das stimmt! Ich habe es jetzt aber doch mal versucht, nicht in ganzen Sätzen sondern statt dessen auch noch ein bisschen mit "mathematischen Formeln" (naja, Formeln sind eigentlich noch was anderes...) zu schreiben, ungefähr so, wie ich die erste Aufgabe auch aufschreibe.
So, allerdings habe ich noch eine kleine Frage, ich die schreibe ich mal direkt zu der Erklärung von Lars (Sorry, ich mach hier draus jetzt doch nur mal ne Mitteilung - hier ist ja jetzt eigentlich alles klar ).
Nachtrag: Hat sich wohl doch erledigt - jedenfalls scheint mir meine Frage jetzt klar zu sein... glaube ich jedenfalls ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]") .
Viele Grüße
Christiane
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