Ring, Teiler, Kommutativ < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Do 16.10.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Seien a und b Elemente eines Ringes (R,+,*) und sei u [mm] \in \IR^{\*} [/mm] eine Einheit. Beweisen Sie,
a|b [mm] \gdw [/mm] a|ub |
Hallo ;)
<=
a|(ub) dh. [mm] \exists [/mm] l [mm] \in [/mm] R : al=ub
ZZ.: a|b dh. [mm] \exists [/mm] m [mm] \in [/mm] R: am=b
[mm] 1b=(u^{-1} [/mm] u) b= [mm] u^{-1} (ub)=u^{-1} [/mm] (al)
Nun ist mein Problem, dass ja die Reihenfolge nicht stimmt. [mm] (u^{-1} [/mm] und a müssten Plätze tauschen.) Aber ein Ring muss ja bezüglich * nicht kommutativ sein. Dadurch komme ich hier nicht weiter.
Verwechsle ich da was?
Liebe Grüße,
sissie
|
|
| |
|
> Seien a und b Elemente eines Ringes (R,+,*) und sei u [mm]\in \IR^{\*}[/mm]
> eine Einheit. Beweisen Sie,
> a|b [mm]\gdw[/mm] a|ub
> Hallo ;)
>
> <=
> a|(ub) dh. [mm]\exists[/mm] l [mm]\in[/mm] R : al=ub
> ZZ.: a|b dh. [mm]\exists[/mm] m [mm]\in[/mm] R: am=b
>
> [mm]1b=(u^{-1}[/mm] u) b= [mm]u^{-1} (ub)=u^{-1}[/mm] (al)
>
> Nun ist mein Problem, dass ja die Reihenfolge nicht stimmt.
Ja. Die Aussage ist nur dann richtig wenn du $ ub $ durch $ bu $ ersetzt, oder wenn du $ [mm] a\mid [/mm] b $ als [mm] $\exists [/mm] l:a=bl $ definierst.
> [mm](u^{-1}[/mm] und a müssten Plätze tauschen.) Aber ein Ring
> muss ja bezüglich * nicht kommutativ sein. Dadurch komme
> ich hier nicht weiter.
Obwohl man die Aussage wie oben abändern kann, damit sie richtig wird, ist sie dadurch noch nicht nützlich. Teilbarkeit wird i.A. nur in kommutativen Ringen untersucht. Eine wirklich interessante Theorie der Teilbarkeit entsteht erst bei Betrachtung von Integritätsbereichen.
Bei nichtkommutativen Ringen unterscheidet man zwischen Links-, Rechts- und beidseitiger Teilbarkeit.
In kommutativen Ringen gilt [mm] $a\mid b\iff (b)\trianglelefteq [/mm] (a) $. Bei nichtkommutativen Ringen kann man dann das erzeugte Ideal je nach Bedarf durch das erzeugte Links-, Rechts-, oder zweiseitige Ideal ersetzen.
> Verwechsle ich da was?
>
> Liebe Grüße,
> sissie
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Fr 17.10.2014 | | Autor: | sissile |
Ah, danke ich verstehe schon.
Wir haben ja die Teiler definiert auf einen kommutativen Ring.
Der Begriff des Teiler kann ja auch auf nicht kommutative Ringe übertragen werden: Seien a [mm] \not= [/mm] 0, b [mm] \not=0 [/mm] und c Elemente eines Ringes (R,+,*) mit ab=c. Dann ist a ein Links- und b ein Rechtsteiler von c. Ein Element, das sowohl Links- als auch Rechtsteiler von c ist, heißt Teiler von c.
Wenn man im nicht-kommutativen Ring von Teiler spricht:
a| b ist also gemeint a ist Links- und Rechtsteiler, [mm] d.h.\exists m\not= [/mm] 0 in R: ma=b [mm] \wedge \exists [/mm] t [mm] \not=0 [/mm] in R: at=b
Und so stimmt das Bsp ja wieder, oder?
LG,
sissi
|
|
|
| |
|
Ja genau. Die Forderung $ a, [mm] b\not=0$ [/mm] ist jedoch nicht nötig. In dem Fall ist natürlich $ c=0$ und $0$ wird von jedem Element geteilt, insbesondere auch von der $0$ selbst, und das ist auch richtig so.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
|
