Ring der ganzen Funktionen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Do 29.04.2010 | | Autor: | Fry |
Hallo,
ich möchte gerne zeigen, dass für den Ring der ganzen Funktionen [mm] O(\IC) [/mm] (also die Menge der holomorphen Fkten auf [mm] \IC) [/mm] gilt:
f ist irreduzibel in [mm] O(\IC) [/mm] gdw f besitzt genau eine Nullstelle, diese hat die Ordnung 1.
Für die Rückrichtung hab ich mir gedacht, dass die Einheiten in [mm] O(\IC) [/mm] gerade die holomorphen Fkten ohne Nullstellen sind.
Stimmt das?
Ferner existiert ja nun eine Darstellung f=(z-a)*g(z), wobei g holomorphe Funktion mit [mm] g(a)\not=0 [/mm] (a Nst von f übrigens) Da f nur eine Nullstelle besitzt, ist g damit eine Einheit und somit ist f irreduzibel.
Bei der Rückrichtung hab ich Probleme, komme da nicht weiter, kann mir jemand nen Tipp geben ? Danke !
Gruß
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Do 29.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Für die Rückrichtung hab ich mir gedacht, dass die
> Einheiten in [mm]O(\IC)[/mm] gerade die holomorphen Fkten ohne
> Nullstellen sind.
> Stimmt das?
Jupp. (Beweis klar?)
> Ferner existiert ja nun eine Darstellung f=(z-a)*g(z),
> wobei g holomorphe Funktion mit [mm]g(a)\not=0[/mm] (a Nst von f
> übrigens) Da f nur eine Nullstelle besitzt, ist g damit
> eine Einheit und somit ist f irreduzibel.
Naja. Für iireduzibel muss aus jeder (!) Darstellung [m]f=g*h[/m] folgen, dass g oder h eine Einheit ist. Du hast nur eine spezielle angegeben.
> Bei der Rückrichtung hab ich Probleme, komme da nicht
> weiter, kann mir jemand nen Tipp geben ? Danke !
Die ist ja fast leichter - hier reicht es eine Zerlegung anzugeben, in der die beiden Faktoren keine Einheiten sind. Da du ja im Fall mehr als eine Nst. bist - zerlege das mal in zwei Teile ...
SEcki
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