Ring m. Nullteiler Körper? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Mi 25.11.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | Gegeben:
[mm] $\IZ [/mm] / [mm] p\IZ [/mm] x [mm] \IZ [/mm] / [mm] q\IZ$ [/mm] mit q,p Prim.
(a,b) [+] (c,d) := (a+c,b+d)
(a,b) [*] (c,d) := (a*c,b*d)
Meine Frage:
Ist das ein Körper?
Muss man hier Abgeschlossenheit zeigen? |
Habe alles nachgewiesen (außer abgeschlossen) und nur ein kleines Problem:
(1,0) [*] (0,1) = (0,0), das heißt es gibt einen Nullteiler.
Daraus folgt das der Ring kein Integritätsring ist - klar!
Aber heißt das auch es kann kein Körper sein, weil jeder Körper Nullteilerfrei ist?
(Habe alles: assoziativ, inverses, neutrales so dass es einer werden kann, nur da stocke ich)
Und: Darf man zu abgeschlossen sagen(?):
Da [mm] \IQ [/mm] abgeschlossen, [mm] \IZ [/mm] / [mm] p\IZ [/mm] und [mm] \IZ [/mm] / [mm] q\IZ [/mm] Unterkörper von [mm] \IQ, [/mm] so sind diese auch abgeschlossen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Mi 25.11.2009 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Gegeben:
> [mm]\IZ / p\IZ x \IZ / q\IZ[/mm] mit q,p Prim.
> (a,b) [+] (c,d) := (a+c,b+d)
> (a,b) [*] (c,d) := (a*c,b*d)
>
> Meine Frage:
> Ist das ein Körper?
Nein!
> Muss man hier Abgeschlossenheit zeigen?
> Habe alles nachgewiesen (außer abgeschlossen) und nur ein
> kleines Problem:
>
> (1,0) [*] (0,1) = (0,0), das heißt es gibt einen
> Nullteiler.
> Daraus folgt das der Ring kein Integritätsring ist -
> klar!
>
> Aber heißt das auch es kann kein Körper sein, weil jeder
> Körper Nullteilerfrei ist?
Ja, das heißt es.
> (Habe alles: assoziativ, inverses, neutrales so dass es
> einer werden kann, nur da stocke ich)
>
> Und: Darf man zu abgeschlossen sagen(?):
> Da [mm]\IQ[/mm] abgeschlossen, [mm]\IZ[/mm] / [mm]p\IZ[/mm] und [mm]\IZ[/mm] / [mm]q\IZ[/mm]
> Unterkörper von [mm]\IQ,[/mm] so sind diese auch abgeschlossen.
Das sind keine Unterkörper von [mm] $\IQ$, [/mm] aber abgeschlossen ist es trotzdem, weil es beides Ringe und sogar Körper sind.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Mi 25.11.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
> Das sind keine Unterkörper von $ [mm] \IQ [/mm] $, aber abgeschlossen ist es trotzdem, weil es beides Ringe und sogar Körper sind.
Die einzelnen Restklassenringe (bzw. sogar -körper) sind hier gemeint? Und nicht das kartesische Produkt?
Dann weiß ich wie man argumentieren kann für die Abgeschlossenheit.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Fr 27.11.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> > Das sind keine Unterkörper von [mm]\IQ [/mm], aber abgeschlossen
> ist es trotzdem, weil es beides Ringe und sogar Körper
> sind.
>
> Die einzelnen Restklassenringe (bzw. sogar -körper) sind
> hier gemeint? Und nicht das kartesische Produkt?
Gemeint ist, daß [mm] \IZ/p\IZ [/mm] und [mm] \IZ/q\IZ [/mm] zwar beides Körper sind, aber eben keine Unterkörper von [mm] \IQ. [/mm] Es gibt auch keinen Unterkörper von [mm] \IQ, [/mm] der zu [mm] \IZ/p\IZ [/mm] isomorph ist.
> Dann weiß ich wie man argumentieren kann für die
> Abgeschlossenheit.
Im cartesischen Produkt rechnet man koordinatenweise, und damit ist die Abgeschlossenheit klar.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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