Ring mit Charakteristik p prim < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei R ein Ring mit Charakteristik p prim
(i) [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] R $ [mm] (x+y)^p=x^p+y^p [/mm] $
(ii) Für R=Rp folgt: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] Rp $ [mm] x^p=x [/mm] $
(iii) Mit (ii) folgt: In R37 gilt 17^(35)=17^(-1) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo alle zusammen.
ich studier jetzt grad seit einem knappen monat mathematik und komm bis jetzt eigentlich auch noch ganz gut mit. nun hab ich mitr schonmal den 2. übungszettel aus dem netz geladen. auch wenn wir einige sachen von dem zettel noch nicht in der vorlesung hatten, hab da schon n bisschen probleme mit dieser aufgabe.
also:
(i) Man wende den binomiallehrsatz an und erkenne p als teiler aller $ [mm] \vektor{p \\ i} [/mm] $ .....wenn man den binoialkoeffizienten als bruch schreibt erkennt man, dass der nenner keinen faktor p enthält. Da aber der Zähler ein Vielfaches von p ist, folgt, dass der ganze bruch ein vielfaches von p ist.
(ii) DAS IST MEIN PROBLEM; ICH HAB KEINE AHNUNG WIE ICH DAS BEWEISEN SOLL
(iii) gehe ich von (ii) aus: 17^(35)=17^(-1)
17^(35)=17^(37)/17^(2)
17^(37)=17
also ist: 17^(37)/17^(2)=17/17^(2)=17^(-1)
Bitte um Hilfe bei (ii)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:08 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei R ein Ring mit Charakteristik p prim
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> (i) [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] R [mm](x+y)^p=x^p+y^p[/mm]
> (ii) Für R=Rp folgt: [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] Rp [mm]x^p=x[/mm]
> (iii) Mit (ii) folgt: In R37 gilt 17^(35)=17^(-1)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo alle zusammen.
>
> ich studier jetzt grad seit einem knappen monat mathematik
> und komm bis jetzt eigentlich auch noch ganz gut mit. nun
> hab ich mitr schonmal den 2. übungszettel aus dem netz
> geladen. auch wenn wir einige sachen von dem zettel noch
> nicht in der vorlesung hatten, hab da schon n bisschen
> probleme mit dieser aufgabe.
>
> also:
> (i) Man wende den binomiallehrsatz an und erkenne p als
> teiler aller [mm]\vektor{p \\ i}[/mm] .....wenn man den
> binoialkoeffizienten als bruch schreibt erkennt man, dass
> der nenner keinen faktor p enthält. Da aber der Zähler ein
> Vielfaches von p ist, folgt, dass der ganze bruch ein
> vielfaches von p ist.
Genau, da der Binomialkoeffizient schliesslich wieder ne ganze Zahl ist.
>
> (ii) DAS IST MEIN PROBLEM; ICH HAB KEINE AHNUNG WIE ICH DAS
> BEWEISEN SOLL
Also $R p$ ist [mm] $\IZ/p\IZ$, [/mm] also der Koerper mit $p$ Elementen (aufgefasst als die Restklassen $0, [mm] \dots, [/mm] p-1$)? Einmal kannst du das mit dem kleinen Satz von Fermat machen, falls ihr den schon hattet ($(R p)^*$ ist ja eine Gruppe bzgl. der Multiplikation mit $p - 1$ Elementen.)
Ansonsten kannst du ja jedes Element aus $R p$ als $1 + [mm] \dots [/mm] + 1$ schreiben mit passender Anzahl von Summanden. Wenn du jetzt (i) drauf loslaesst (per Induktion) hast du das geforderte da stehen.
LG Felix
> (iii) gehe ich von (ii) aus: 17^(35)=17^(-1)
>
> 17^(35)=17^(37)/17^(2)
> 17^(37)=17
> also ist:
> 17^(37)/17^(2)=17/17^(2)=17^(-1)
Genau.
LG Felix
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schonmal herzlichen dank an dich felix,
allerdings ist mir das noch nich so ganz klar.
also Rp ist ein ring mit p elementen {0,1,...,p-1}, wobei p eine primzahl ist, also ist der ring auch ein körper.
[mm] x^p=x, [/mm] wenn ich jetzt (i) darauf anwende, wie du sagst, hab ich doch:
[mm] (x+0)^p=x^p.....aber [/mm] warum [mm] x^p=x [/mm] sein soll, versteh ich nicht, also jedenfalls nicht wie man es nachweisen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:08 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> allerdings ist mir das noch nich so ganz klar.
> also Rp ist ein ring mit p elementen {0,1,...,p-1}, wobei
> p eine primzahl ist, also ist der ring auch ein körper.
Genau.
> [mm]x^p=x,[/mm] wenn ich jetzt (i) darauf anwende, wie du sagst, hab
> ich doch:
>
> [mm](x+0)^p=x^p.....aber[/mm] warum [mm]x^p=x[/mm] sein soll, versteh ich
> nicht, also jedenfalls nicht wie man es nachweisen soll.
Kein Wunder dass du da nichts rausbekommst... Ich hab ja auch gesagt du sollst es auf $1 + 1 + [mm] \dots [/mm] + 1$ anwenden. Damit ist naemlich $(1 + 1 + ... + [mm] 1)^p [/mm] = ...$. (Am Besten klammerst du das $1 + (1 + [mm] \dots [/mm] + 1)$, rechnest das aus, und Klammerst wieder passend und machst so weiter. Ist dann sozusagen eine versteckte Induktion.)
So. Und jetzt ueberleg dir mal was dir das im Fall $Rp$ weiterhilft.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 So 07.05.2006 | | Autor: | muppi |
Hallo!
Ich habe auch Probleme mit dieser Aufgabe und verstehe nicht ganz, wie man (i) und (ii) beweist. Könntet ihr mir das detaillierter erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ich habe auch Probleme mit dieser Aufgabe und verstehe
> nicht ganz, wie man (i) und (ii) beweist. Könntet ihr mir
> das detaillierter erklären?
Zu (i): Das steht da doch eigentlich schon recht detailiert: Du schreibst $(a + [mm] b)^p$ [/mm] mit der binomischen Formel aus und zeigst, dass die Binomialkoeffizienten [mm] $\binom{k}{p}$ [/mm] fuer $0 < k < p$ in $R$ gleich $0$ sind, also dass $p$ ein Teiler von [mm] $\binom{k}{p}$ [/mm] ist fuer $0 < k < p$. Wie man das zeigt hat rastamanana ja auch schon beschrieben. Schreib doch mal an welcher Stelle es da bei dir hakt.
Zu (ii): Das ganze basiert auf zwei Beobachten:
1) Jedes Element aus $Rp$ kann als $1 + 1 + [mm] \dots [/mm] + 1$ geschrieben werden (mit einer passenden Anzahl von Summanden).
2) Sind [mm] $a_1, \dots, a_n \in [/mm] R$, so gilt [mm] $(a_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_n)^p [/mm] = [mm] a_1^p [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_n^p$. [/mm] Dies kann man per Induktion mi (i) zeigen.
Damit ist $(1 + [mm] \dots [/mm] + [mm] 1)^p [/mm] = [mm] 1^p [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] 1^p [/mm] = 1 + [mm] \dots [/mm] + 1$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Di 09.05.2006 | | Autor: | muppi |
Hallo!
Kann man das durch Induktion über x beweisen:
IA: [mm] x_{0}=0, [/mm] 0=0
IV: [mm] x^{p}=x [/mm]
(x [mm] \in R_{p})
[/mm]
IS: [mm] (x+1)^{p}=x+1 [/mm]
(x+1 [mm] \in R_{p})
[/mm]
[mm] (x+1)^{p}=x^{p}+1^{p}=
[/mm]
[mm] x+1^{p}= [/mm] x+1 ?
Oder mache ich etwas falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Do 11.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Kann man das durch Induktion über x beweisen:
Was ist $x$ denn? Eine natuerliche Zahl (welches mit seiner Restklasse in [mm] $R_p$ [/mm] identifiziert wird)? Wenn du das so interpretierst ist das schon richtig.
> IA: [mm]x_{0}=0,[/mm] 0=0
> IV: [mm]x^{p}=x[/mm]
> (x [mm]\in R_{p})[/mm]
> IS: [mm](x+1)^{p}=x+1[/mm]
> (x+1 [mm]\in R_{p})[/mm]
> [mm](x+1)^{p}=x^{p}+1^{p}=[/mm]
> [mm]x+1^{p}=[/mm] x+1 ?
> Oder mache ich etwas falsch?
LG Felix
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