Ring of integers, finite index < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Sa 24.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | Let K be a quadratic number field. We have seen that the ring of integers [mm] \mathcal{O}_{K} [/mm] is the maximal order of K. This means: It is an order and if we let M [mm] \subset [/mm] K be an arbitrary finitely-generated [mm] \IZ-module [/mm] satisfying [mm] \IQM [/mm] = K then we have [mm] \mathcal{O}_{M} \subset \mathcal{O}_{K}
[/mm]
a) For any such M, show that [mm] \mathcal{O}_{M} [/mm] has finite index in [mm] \mathcal{O}_{K} [/mm] (viewed as an abelian group) |
Hallo leute :) Ich schon wieder
Also, ich habe bisher zusammengetragen:
Z.z: [mm] \left[\mathcal{O}_{M}:\mathcal{O}_{K}\right] [/mm] < [mm] \infty [/mm] \ [mm] \forall [/mm] M: [mm] \IQ [/mm] M = K
- M besitzt eine reduzierte basis, soll heissen falls [mm] (\alpha_{1},\alpha_{2}) [/mm] erzeugt M und erfüllen 0 < [mm] \frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}} [/mm] < 1 und 0 < [mm] -\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}} [/mm] < 1 (1)
- [mm] \mathcal{O}^{\times}_{M} \cong \IZ \oplus \IZ/2\IZ [/mm] wird generiert von [mm] (\varepsilon,-1), [/mm] wobei [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] q\xi [/mm] + s mit [mm] \xi [/mm] = [mm] \frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}}
[/mm]
Ich versuche nun die Ordnungen formell hinzuschreiben, bin mir jedoch nicht ganz sicher ob dies so richtig ist:
[mm] \mathcal{O}_{K} [/mm] = [mm] \{a+b\sqrt{m} | a,b \in \IZ\}
[/mm]
[mm] \mathcal{O}_{M} [/mm] = [mm] \{\alpha_{1}\IZ \oplus \alpha_{2}\IZ | \alpha_{1},\alpha_{2} \in \IQ(\sqrt{m})erfüllen (1), \}
[/mm]
Ist hier irgendwas brauchbares drunter? Und wie soll ich nun weitermachen?
Danke, einmal wieder, für jede Hilfe :)
Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:11 So 25.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro!
> Let K be a quadratic number field. We have seen that the
> ring of integers [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] is the maximal order of K.
> This means: It is an order and if we let M [mm]\subset[/mm] K be an
> arbitrary finitely-generated [mm]\IZ-module[/mm] satisfying [mm]\IQM[/mm] = K
> then we have [mm]\mathcal{O}_{M} \subset \mathcal{O}_{K}[/mm]
>
> a) For any such M, show that [mm]\mathcal{O}_{M}[/mm] has finite
> index in [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] (viewed as an abelian group)
>
> Hallo leute :) Ich schon wieder
>
> Also, ich habe bisher zusammengetragen:
>
> Z.z: [mm]\left[\mathcal{O}_{M}:\mathcal{O}_{K}\right][/mm] < [mm]\infty[/mm]
> \ [mm]\forall[/mm] M: [mm]\IQ[/mm] M = K
Das kann man ganz allgemein fuer beliebige Zahlkoerper zeigen: ist $K$ ein Zahlkoerper, $M$ ein freier [mm] $\IZ$-Untermodul [/mm] von $K$ mit [mm] $\IQ [/mm] M = K$, so ist [mm] $[\mathcal{O}_K [/mm] : [mm] \mathcal{O})_M] [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Dazu nimmst du dir eine [mm] $\IZ$-Basis [/mm] von $M$, und schreibst diese als Matrix bzgl. einer [mm] $\IZ$-Basis [/mm] von [mm] $\mathcal{O}_K$. [/mm] Der Betrag der Determinante dieser Matrix (falls ungleich 0) ist die Ordnung [mm] $[\mathcal{O}_K [/mm] : [mm] \mathcal{O}_M]$ [/mm] (das kann man etwa ueber die Smith Normal Form zeigen), und somit ist der Index insbesondere endlich.
Die Determinante muss jedoch ungleich 0 sein, da die Matrix einen Basiswechsel des [mm] $\IQ^n$ [/mm] darstellt (falls $n = [K : [mm] \IQ]$), [/mm] also ueber [mm] $\IQ$ [/mm] invertierbar ist.
Alternativ (was eigentlich das geiche ist) kannst du auch ueber die Minkowski-Einbettung gehen: dann siehst du, dass [mm] $\mathcal{O}_K$ [/mm] ein Gitter ist und [mm] $\mathcal{O}_M$ [/mm] ein Untergitter gleichem Ranges. Damit ist der Quotient automatisch eine endliche, abelsche Gruppe. (Um das zu zeigen, tut man eigentlich genau das gleiche wie oben  )
> - M besitzt eine reduzierte basis, soll heissen falls
> [mm](\alpha_{1},\alpha_{2})[/mm] erzeugt M und erfüllen 0 <
> [mm]\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}}[/mm] < 1 und 0 <
> [mm]-\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}}[/mm] < 1 (1)
Hier brauchst du nur, dass $M$ ueberhaupt eine Basis hat
> - [mm]\mathcal{O}^{\times}_{M} \cong \IZ \oplus \IZ/2\IZ[/mm] wird
> generiert von [mm](\varepsilon,-1),[/mm] wobei [mm]\varepsilon[/mm] = [mm]q\xi[/mm] +
> s mit [mm]\xi[/mm] = [mm]\frac{\alpha_{1}}{\alpha_{2}}[/mm]
Das stimmt nur, falls $K$ ein reell-quadratischer Zahlkoerper ist. Bei imaginaer-quadratischen Zahlkoerpern stimmt es nie.
> Ich versuche nun die Ordnungen formell hinzuschreiben, bin
> mir jedoch nicht ganz sicher ob dies so richtig ist:
>
> [mm]\mathcal{O}_{K}[/mm] = [mm]\{a+b\sqrt{m} | a,b \in \IZ\}[/mm]
Nein, das ist falsch. Du brauchst aber auch keine explizite Basis.
> [mm]\mathcal{O}_{M}[/mm] = [mm]\{\alpha_{1}\IZ \oplus \alpha_{2}\IZ | \alpha_{1},\alpha_{2} \in \IQ(\sqrt{m})erfüllen (1), \}[/mm]
So solltest du das auch nicht schreiben
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:30 So 25.04.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Felix!
>
> Dazu nimmst du dir eine [mm]\IZ[/mm]-Basis von [mm]M[/mm], und schreibst
> diese als Matrix bzgl. einer [mm]\IZ[/mm]-Basis von [mm]\mathcal{O}_K[/mm].
> Der Betrag der Determinante dieser Matrix (falls ungleich
> 0) ist die Ordnung [mm][\mathcal{O}_K : \mathcal{O}_M][/mm] (das
> kann man etwa ueber die Smith Normal Form zeigen), und
> somit ist der Index insbesondere endlich.
>
> Die Determinante muss jedoch 0 sein, da die Matrix einen
> Basiswechsel des [mm]\IQ^n[/mm] darstellt (falls [mm]n = [K : \IQ][/mm]),
> also ueber [mm]\IQ[/mm] invertierbar ist.
>
Ja was jetzt.. ^^ Falls sie nicht 0 wäre, könnte ich die Aufgabe so lösen, da sie aber 0 sein muss, geht das so nicht.. ? :D
> Alternativ (was eigentlich das geiche ist) kannst du auch
> ueber die Minkowski-Einbettung gehen: dann siehst du, dass
> [mm]\mathcal{O}_K[/mm] ein Gitter ist und [mm]\mathcal{O}_M[/mm] ein
> Untergitter gleichem Ranges. Damit ist der Quotient
> automatisch eine endliche, abelsche Gruppe. (Um das zu
> zeigen, tut man eigentlich genau das gleiche wie oben
> )
>
Naja, ich hab zwar bisher weder von der Smith Normal Form, noch von der Minkowski Einbettung je was gehört, aber ich werde mich da reinlesen und versuche das dann so :)
Danke für deine Tipps!
> LG Felix
>
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 So 25.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Dazu nimmst du dir eine [mm]\IZ[/mm]-Basis von [mm]M[/mm], und schreibst
> > diese als Matrix bzgl. einer [mm]\IZ[/mm]-Basis von [mm]\mathcal{O}_K[/mm].
> > Der Betrag der Determinante dieser Matrix (falls ungleich
> > 0) ist die Ordnung [mm][\mathcal{O}_K : \mathcal{O}_M][/mm] (das
> > kann man etwa ueber die Smith Normal Form zeigen), und
> > somit ist der Index insbesondere endlich.
> >
> > Die Determinante muss jedoch ungleich 0 sein, da die Matrix einen
> > Basiswechsel des [mm]\IQ^n[/mm] darstellt (falls [mm]n = [K : \IQ][/mm]),
> > also ueber [mm]\IQ[/mm] invertierbar ist.
>
> Ja was jetzt.. ^^ Falls sie nicht 0 wäre, könnte ich die
> Aufgabe so lösen, da sie aber 0 sein muss, geht das so
> nicht.. ? :D
Da hab ich was vergessen :)
> > Alternativ (was eigentlich das geiche ist) kannst du auch
> > ueber die Minkowski-Einbettung gehen: dann siehst du, dass
> > [mm]\mathcal{O}_K[/mm] ein Gitter ist und [mm]\mathcal{O}_M[/mm] ein
> > Untergitter gleichem Ranges. Damit ist der Quotient
> > automatisch eine endliche, abelsche Gruppe. (Um das zu
> > zeigen, tut man eigentlich genau das gleiche wie oben
> > )
> >
>
> Naja, ich hab zwar bisher weder von der Smith Normal Form,
> noch von der Minkowski Einbettung je was gehört, aber ich
> werde mich da reinlesen und versuche das dann so :)
Man kann das sicher auch noch anders zeigen. Etwa ueber die Hermite Normal Form sollte es gehen.
LG Felix
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