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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Do 13.04.2006 | | Autor: | lisa80 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich bräuchte dringend Hilfe.. Ich bin auf der Suche nach einem ZPE-Ring, der kein Hauptidealring ist und nach einem Hauptidealring, der kein euklidscher Ring ist. Ach ja, einen Integritätsring mit 1, der kein ZEP-Ring ist, suche ich auch...
Kann mir da vielleicht jemand helfen???
Viele Grüße und lieben Dank,
Lisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Do 13.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Lisa!
> Ich bräuchte dringend Hilfe.. Ich bin auf der Suche nach
> einem ZPE-Ring, der kein Hauptidealring ist
Die Standardbeispiele sind wohl [mm] $\IZ[x]$ [/mm] (nimm das Ideal $(2, x)$) oder $k[x, y]$ (nimm das Ideal $(x, y)$), wobei $k$ ein beliebiger Koerper ist.
> und nach einem Hauptidealring, der kein euklidscher Ring ist. Ach ja,
Nimm [mm] $\IZ\left[\frac{1 + i \sqrt{19}}{2}\right] [/mm] = [mm] \IZ [/mm] + [mm] \frac{1 + i \sqrt{19}}{2} \IZ$. [/mm] Das allerdings zu zeigen ist eine ganz andere Sache... (im Gegensatz zu den anderen Beispielen in diesem Posting)
> einen Integritätsring mit 1, der kein ZEP-Ring ist, suche
> ich auch...
Da kann man unter den Ringen der Form [mm] $\Z[\sqrt{-d}]$, [/mm] $d [mm] \in \IN$, [/mm] einige von finden. Etwa $d = 5$ (dort ist das Element $2$ zwar unzerlegbar, aber nicht prim; damit kann [mm] $\Z[\sqrt{-5}]$ [/mm] kein ZEP-Ring sein.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 Do 13.04.2006 | | Autor: | lisa80 |
Vielen lieben Dank, Felix!!
Ich hab aber noch eine ganz kleine Frage: Ist denn jeder Polynomring ein ZPE-Ring. Wenn nicht, wieso ist [mm] \mathbb{Z}[x] [/mm] ein ZPE-Ring. Gibt es denn Polynomringe, die keine ZPE-Ringe sind (bzw. wie muss dann der Ring aussehen, über dem der Polynomring def. ist?)
Nochmal herzlichen Dank für die superschnelle Antwort..
Viele Grüße
Lisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Fr 14.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Lisa!
> Ich hab aber noch eine ganz kleine Frage: Ist denn jeder
> Polynomring ein ZPE-Ring.
Nein. Jedoch gibt es das folgende Resultat (oft als Lemma/Satz von Gauss bezeichnet): Ist $R$ ein ZPE-Ring, so auch $R[x]$.
Damit bekommst du, dass [mm] $\IZ[x]$ [/mm] und $k[x, y]$ ZPE-Ringe sind.
Wenn anderseits $R$ ein Integritaetsring ist, der kein ZPE-Ring ist, so ist $R[x]$ auch kein ZPE-Ring (oder andersherum: ist $R[x]$ ein ZPE-Ring, so auch $R$).
Das sollte dann deine restlichen Fragen beantworten 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Do 20.04.2006 | | Autor: | lisa80 |
Hallo nochmal!
Ich habe nächste Woche mündliche Prüfung und bin schon sehr nervös... Mein Prof. meinte, ihn interessieren Ideale von Faktorringen, d.h. man nehme einen Ring, dann ein beliebiges Ideal (nicht maximal oder prim) und bilde den Faktorring. Wie sehen die Ideale dieses 'neuen' Ringes aus. Welche Eigenschaften von R übertragen sich auf die Ideale in R/I?
Fällt jemandem was dazu ein? Ich kenne die Sätze über max. und prime Ideale und deren Faktorringen (sind einfach bzw. Integritätsring). Aber er hat ausdrücklich gemeint, wenn es ein beliebiges Ideal ist, was kann man über die Ideale des Faktorringes sagen. Folgt eigentlich aus R Hauptidealring, dass R/I auch Hauptidealring ist???
Eine weitere Frage: Ein Primideal, welches kein max. Ideal ist? Mir fällt nur das triviale Ideal z.B. in [mm] \mathbb{Z} [/mm] ein. Gibt es auch ein anderes Bsp.?
Ganz lieben Dank und viele Grüße,
Lisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Do 20.04.2006 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich habe nächste Woche mündliche Prüfung und bin schon sehr
> nervös... Mein Prof. meinte, ihn interessieren Ideale von
> Faktorringen, d.h. man nehme einen Ring, dann ein
> beliebiges Ideal (nicht maximal oder prim) und bilde den
> Faktorring. Wie sehen die Ideale dieses 'neuen' Ringes aus.
also sei $R$ ein ring und [mm] $\mathfrak{a} \subset [/mm] R$ ein ideal, dann gibt es eine bijektion zwischen den idealen [mm] $\mathfrak{b} \subset [/mm] R$, die [mm] $\mathfrak{a}$ [/mm] enthalten und den idealen von [mm] $R/\mathfrak{a}$ [/mm] mittels [mm] $\mathfrak{b} \longmapsto \pi(\mathfrak{b})$ [/mm] und umkehrabbildung [mm] $\mathfrak{c} \longmapsto \pi^{-1}(\mathfrak{c})$, [/mm] wenn [mm] $\pi: [/mm] R [mm] \longrightarrow R/\mathfrak{a}$ [/mm] die kanonische projektion ist.
> Welche Eigenschaften von R übertragen sich auf die Ideale
> in R/I?
die frage ist mir etwas unklar, welche eigenschaften des ringes sollten sich auf ideale übertragen?
> Folgt eigentlich aus R Hauptidealring,
> dass R/I auch Hauptidealring ist???
nein im allgemeinen nicht, es überträgt sich ja nicht einmal die eigenschaft integer zu sein, was im allgemeinen von hauptidealringen gefordert wird. so ist [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] hauptidealring, [mm] $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ [/mm] jedoch nicht, da dies kein integritätsring ist.
die eigenschaft, dass jedes ideal durch ein element erzeugt wird, überträgt sich meiner meinung nach jedoch - ein ideal im faktorring entpricht einem ideal im ursprünglichen ring und wird somit von dem bild unter der projektionsabbildung des erzeugers des hauptideal im ursprünglichen ring erzeugt.
> Eine weitere Frage: Ein Primideal, welches kein max. Ideal
> ist? Mir fällt nur das triviale Ideal z.B. in [mm]\mathbb{Z}[/mm]
> ein. Gibt es auch ein anderes Bsp.?
in [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] ist ja jedes primideal - außer $(0)$ - auch maximal. ein anderes beispiel für ein primideal, welches nicht maximal ist wäre für einen körper $k$ das ideal $(Y) [mm] \subset [/mm] k[X, Y]$, da $k[X, Y]/(Y) [mm] \cong [/mm] k[X]$ ein integritätsring, aber kein körper ist.
ich hoffe das hilft dir etwas weiter.
grüße
andreas
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