Ringhomomorphismen / Teil 1 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:44 So 12.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich habe die folgende Frage:
Aus einer Bemerkung geht Folgendes hervor:
Sei [mm] \phi: R \to R' [/mm] ein Ringhomomorphismus.
Dann gilt:
a) [mm] ker [mm] \phi [/mm] = [mm] \{ a \in R \ | \ \phi (a) = 0 \} [/mm] ist ein Ideal in R.
b) [mm] Im \phi = \phi (R) [/mm] ist ein Unterring von R'.
Nach dieser Bemerkung folgt der folgende Satz ( rot ), den ich nicht verstehe.
Das Bild der Ringhomomorphismus ist im Allgemeinen kein Ideal in R' .
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 So 12.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> b) [mm]Im \phi = \phi (R)[/mm] ist ein Unterring von R'.
> Nach dieser Bemerkung folgt der folgende Satz ( rot ), den ich nicht verstehe.
> Das Bild der Ringhomomorphismus ist im Allgemeinen kein Ideal in R' .
Was genau verstehst du daran nicht? Dieser Satz soll dir einfach klarmachen, dass sich die Aussge b) nicht wie a) verallgemeinern lässt.
Überlege dir doch einfach ein Beispiel für ein Ringhom. dessen Bild kein Ideal ist.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 So 12.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Ich denke ein Beispiel dafür ist, wenn man die Einbettung von [mm] \mathbb Z [/mm] in [mm] \mathbb Q [/mm] betrachtet...
Es ist mir schon relativ klar, was die Bedeutung dieser Aussage ist, aber irgendwie reicht mir dieses eine Beispiel nicht aus :-(.
Welches Beispiel könnte man sonst in diesem Zusammenhang bringen...
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 So 12.10.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ich denke ein Beispiel dafür ist, wenn man die Einbettung
> von [mm]\mathbb Z[/mm] in [mm]\mathbb Q[/mm] betrachtet...
Perfekt.
> Es ist mir schon relativ klar, was die Bedeutung dieser
> Aussage ist, aber irgendwie reicht mir dieses eine Beispiel
> nicht aus :-(.
Ich verstehe dein Problem ehrlich gesagt nicht. Aber vielleicht kann jemand anders weiterhelfen.
Gruß, Robert
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Hallo,
ich verstehe ehrlich gesagt auch nicht ganz, wo dein Problem liegt. Das ist wie bei Gruppen: Das Bild eines einer Gruppe unter einem Gruppenhomomorphismus ist wieder eine Gruppe (weil der Homomorphismus die Gruppenstruktur erhält), damit also eine Untergruppe des Bildraums.
Analog hat das Bild eines Ringhomomorphismus wieder eine Ringstruktur, ist damit also ein Unterring des Bildbereichs (oder gleich).
Ein Ringhomomorphismus macht nicht aus einer Ringstruktur plötzlich ein Ideal. Das liegt daran, dass ein Ideal im Allgemeinen kein Unterring ist!
Durch den Ringhomomorphismus enthält das Bild auch die 1 nach Definition. Überleg doch mal, was passiert, wenn ein Ideal die 1 enthält.
Der Kern ist nur ein Sonderfall, da in Ringen [mm] $0\cdot [/mm] x=0$ gilt und man somit durch die Eigenschaften des Homomorphismus bei Multiplikation mit Ringelementen wieder "bei 0 rauskommt".
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 So 12.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Also, eigentlich wollte ich nach noch einem Beispiel fragen... Die Theorie habe ich mir durchgelesen, aber ich fühlen mich einfach sicher, wenn ich ein paar Beispiel noch anbringen kann.
Vielen Dank schon mal für die Mühe!
Zu der Frage:
> Ein Ringhomomorphismus macht nicht aus einer Ringstruktur
> plötzlich ein Ideal. Das liegt daran, dass ein Ideal im
> Allgemeinen kein Unterring ist!
> Durch den Ringhomomorphismus enthält das Bild auch die 1
> nach Definition. Überleg doch mal, was passiert, wenn ein
> Ideal die 1 enthält.
Wenn ein Ideal die 1 enthält, dann muss es doch nach der Definition des Ideals ein [mm] r \in R , a \in \mathfrak {a} [/mm] geben mit [mm] r \cdot a = 1 \in \mathfrak {a} [/mm].
Sehe ich das richtig?
Viele Grüße
Irmchen
> Der Kern ist nur ein Sonderfall, da in Ringen [mm]0\cdot x=0[/mm]
> gilt und man somit durch die Eigenschaften des
> Homomorphismus bei Multiplikation mit Ringelementen wieder
> "bei 0 rauskommt".
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Wenn ein Ideal [mm] $\mathfrak{a}\trianglelefteq [/mm] R$ die 1 enthält, gilt nach der Definition eines Ideals insbesondere:
[mm] $r\cdot1\in\mathfrak{a}$ [/mm] für alle [mm] $r\in [/mm] R$, also folgt sofort [mm] $\mathfrak{a}=R$.
[/mm]
D.h. wenn das Bild eines Ringhomomorphismus $f : [mm] R_1\to R_2$ [/mm] ein Ideal wäre, so wäre es automatisch gleich ganz [mm] $R_2$. [/mm] Das bedeutet wiederum, dass f surjektiv wäre, da [mm] $f(R_1)=R_2$ [/mm] gilt.
Es ist aber nicht jeder Ringhomomorphismus surjektiv 
D.h. jeder nicht-surjektive Ringhomomorphismus, also jeder, dessen Bild nicht ganz [mm] $R_2$ [/mm] ist, ist ein Beispiel dafür.
Betrachte den Polynomring über einem Körper K und den Einsetzungshomomorphismus
[mm] $\phi_b [/mm] : [mm] K[X]\to [/mm] K$, [mm] $\sum_{i=0}^na_iX^i\mapsto\sum_{i=0}^na_ib^i$,
[/mm]
fasse nun aber K kanonisch als Teilmenge von K[X] auf und schau dir den Endomorphismus [mm] $\phi_b [/mm] : [mm] K[X]\to [/mm] K[X]$ an, der genau wie oben definiert ist. Dieser ist dann nicht mehr surjektiv
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 So 12.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Vielen Dank!!!
Bevor ich mir das anschaue, eine kurze ( wahrscheinlich ) total blöde Frage:
Was bedeutet genau, "kanonisch" anschauen?
Es begegnet mir so oft als Begriff " kanonische Projektion" bei den Homomorphiesätzen und irgendwie ist mir der Begriff "kanonisch" nicht klar...
Vielen Dank!
Irmchen
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Das ist gar nicht so einfach zu erklären, obwohl der Begriff recht einfach ist
Etwas auf kanonische Weise tun bedeutet, es auf die naheliegendste, in gewissem Sinne einfachste Weise zu tun.
Beispiele:
Die kanonischen Einheitsvektoren bieten sich geradezu an, als Basis gewählt zu werden. Die Einbettung von K in K[X] ist von daher kanonisch, dass man die Elemente k aus K mit [mm] $k*t^0$ [/mm] in K[X] identifiziert (es gibt also einen kanonischen Monomorphismus [mm] $K\to [/mm] K[X]$).
Der Einsetzungshomomorphismus selbst ist gewissermaßen kanonisch usw.
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