Ringhomomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:37 So 11.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Seien R, S kommutative Ringe und $f: [mm] R\to [/mm] S$ ein Ringhomomorphismus. Weiter sei [mm] $\iota: R\to [/mm] R[T]$ mit [mm] $r\mapsto [/mm] r$
für [mm] $r\in [/mm] R$ die Einbettung. Seit weiter [mm] $b\in [/mm] S$ beliebig. Zeigen Sie, dass ein eindeutig bestimmter Ringhomomorphismus [mm] $\overline{f}_b:R[T]\to [/mm] S$ existiert mit folgenden Eigenschaften:
a) [mm] $\overline{f}_b(T)=b$
[/mm]
b) [mm] $\overline{f}_b\circ\iota=f$ [/mm] |
Hi,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Und zwar haben wir in der Vorlesung folgendes aufgeschrieben:
Sei R ein kommutativer Ring, sei S ein weiterer Ring, sei [mm] $f:R\to [/mm] S$ ein Ringhomomorphismus d.h.
I) f(1)=1
II) f(x+y)=f(x)+f(y)
III) f(xy)=f(x)f(y) für alle [mm] $x,y\in [/mm] R$
Sei weiter [mm] $\lambda\in [/mm] S$ so, dass für alle [mm] $x\in [/mm] R$ gilt [mm] $f(x)\cdot \lambda=\lambda\cdot [/mm] f(x)$
Dann gibt es genau einen Ringhomomorphismus
[mm] $\overline{f}:R[T]\to [/mm] S$ mit [mm] $\overline{f}(x)=f(x)$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] R$ und [mm] $\overline{f}(T)=\lambda$
[/mm]
Schreibe dann [mm] $\overline{f}(p)=p(\lambda)$
[/mm]
Die Abbildung [mm] $\overline{f}$ [/mm] ist gegeben durch
[mm] $\overline{f}(p)=\overline{f}(p_0+p_1T+p_2T^2+\dotso+p_mT^m)=f(p_0)+f(p_1)\lambda+f(p_2)\lambda^2+\dotso+f(p_m)\lambda^m$
[/mm]
______
Meine Aufgabe ist es nun zu zeigen, dass diese Abbildung einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus definiert.
Wenn ich das also nachrechnen will, dann
I) [mm] $\overline{f}(1)=f(1)=1$ [/mm]
Die erste Gleichheit gilt nach Definition der Abbildung. Die zweite Gleichheit gilt, weil f ein Ringhomomorophismus ist.
II) [mm] $\overline{f}(x+y)=f(x+y)=f(x)+f(y)=\overline{f}(x)+\overline{f}(y)$
[/mm]
Die erste Gleichheit gilt wieder nach Definition, die zweite, weil f ein Ringhomomorphismus ist und in der dritten wird wieder die Definition angewandt.
III) [mm] $\overline{f}(xy)=f(xy)=f(x)f(y)=\overline{f}(x)\overline{f}(y)$
[/mm]
Genau wie bei II)
Nun ja, ich glaube ich habe hier irgendwas missverstanden. Das kommt mir so viel zu einfach vor, oder wäre das erstmal richtig?
Dann müsste ich als nächtes zeigen, dass dieser Ringhomomorphismus eindeutig ist und dann noch a) und b) zeigen.
Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:45 So 11.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich denke ich darf [mm] $\overline{f}(x)=f(x)$ [/mm] gar nicht verwenden, sondern muss
[mm] $\overline{f}(p)=\overline{f}(p_0+p_1T+\dotso+p_mT^m)=f(p_0)+f(p_1)\lambda+\dotso+f(p_m)\lambda^m$
[/mm]
benutzen um die Eigenschaften zu zeigen. Bloß wüsste ich dann nicht so recht wie.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 So 11.05.2014 | | Autor: | hippias |
Existenz und Eindeutigkeit folgen direkt aus dem von dir zitierten Satz. Aber es ist eine gute Uebung das Problem nocheinmal zu Fuss zu loesen.
Aufgrund der Aufgabenstellung vermute ich, dass der Polynomring als Ring abbrechender Folgen von Ringelementen definiert wurde.
Zur Existenz: Es gibt im Grunde nur eine Moeglichkeit wie die gesuchte Funktion definiert werden kann, naemlich [mm] $\bar{f}_{b}(p_{0},p_{1},\ldots,p_{n},0,\ldots)= \ldots [/mm] $.
Weise fuer diese Funktion die Homomorphismuseigenschaften nach, sowie die beiden in der Aufgabenstellung geforderten Eigenschaften.
Zur Eindeutigkeit: Ist $g$ ein weiterer Ringhomo. mit den Eigenschaften a) und b), so musst Du Dir klarmachen, dass $g= [mm] \bar{f}_{b}$ [/mm] ist. Dies folgt direkt auf der Definition des Polynomringes.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 So 11.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Wäre die Definition dann einfach:
[mm] $f_b(p_0,....,_p_n,0,...)=f(p_0,....,_p_n,0,...)=f(p_0)+f(p_1)\lambda+...+f(p_n)\lambda^n$
[/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 So 11.05.2014 | | Autor: | hippias |
Tja, schwer zu sagen: von [mm] $f_{b}$ [/mm] und [mm] $\lambda$ [/mm] finde ich nichts in der Aufgabenstellung.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:10 So 11.05.2014 | | Autor: | YuSul |
[mm] $f_b$ [/mm] hast du doch selber verwendet...
(Edit: Sehe gerade, dass da ein Oberstrich ist... der ist aber auch schwer zu erkennen :) )
Wenn ich mich an die Abbildung halte die wir in der Vorlesung aufgeschrieben haben, dann wäre das
[mm] $\overline{f_b}(p)=\overline{f_b}(p_0+...+p_mT^m)=f(p_0)+...+f(p_m)\lambda^m$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Di 13.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Di 13.05.2014 | | Autor: | hippias |
> [mm]f_b[/mm] hast du doch selber verwendet...
> (Edit: Sehe gerade, dass da ein Oberstrich ist... der ist
> aber auch schwer zu erkennen :) )
Ja, und den Oberstrich habe ich verwendet, weil es DEINE Bezeichnungsweise ist.
>
> Wenn ich mich an die Abbildung halte die wir in der
> Vorlesung aufgeschrieben haben, dann wäre das
>
> [mm]\overline{f_b}(p)=\overline{f_b}(p_0+...+p_mT^m)=f(p_0)+...+f(p_m)\lambda^m[/mm]
Bleibt noch immer die Frage: Was soll ploetztlich das [mm] $\lambda$? [/mm] Das ist [mm] $\bar{f}_{b}$ [/mm] ist anders erklaert. Vielleicht solltest du die Aufgabenstellung und die Hinweise noch einmal durchlesen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:57 So 11.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Ist die Abbildung so richtig gewählt?
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