Ringhomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 So 05.05.2013 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Sei h: R->S ein bijektiver Ringhom. Zeigen Sie das h ein Isomorphimus ist.
Zeigen Sie, dass m, n [mm] \in \IN [/mm] genau dann teilerfremd sind, wenn jeder Ringhom. h: [mm] \IZ/m [/mm] -> [mm] \IZ/n [/mm] trivial ist, das heisst, dass h(a)=0 für alle a [mm] \in \IZ/m. [/mm] |
Hallo Leute,
bei der ersten Frage bin ich etwas verwirrt, denn ist ein bijektiver Ringhom. nicht ein Isomorphismus? Das ist doch Ansich die Definition?
Und beim zweiten habe ich mir mal versucht ein Beispiel zu bauen mit m=2 und n=3.
[mm] \IZ/2=2\IZ,1+2\IZ
[/mm]
[mm] \IZ/3=3\IZ,1+3\IZ,2+\3IZ
[/mm]
[mm] h(2\IZ)=3\IZ
[/mm]
Logisch, Neutrales aufs Neutrale.
Aber jetzt hab ich ja dann ein Problem, weil im Ausgangsbereich ein Element weniger ist, wie löse ich das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 So 05.05.2013 | | Autor: | hippias |
> Sei h: R->S ein bijektiver Ringhom. Zeigen Sie das h ein
> Isomorphimus ist.
>
> Zeigen Sie, dass m, n [mm]\in \IN[/mm] genau dann teilerfremd sind,
> wenn jeder Ringhom. h: [mm]\IZ/m[/mm] -> [mm]\IZ/n[/mm] trivial ist, das
> heisst, dass h(a)=0 für alle a [mm]\in \IZ/m.[/mm]
> Hallo Leute,
>
> bei der ersten Frage bin ich etwas verwirrt, denn ist ein
> bijektiver Ringhom. nicht ein Isomorphismus? Das ist doch
> Ansich die Definition?
Genau gesagt, hast Du einen Isomorphismus, wenn die Umkehrfunktion wieder ein Homomorphismus ist. Du musst also fuer [mm] $h^{-1}$ [/mm] die Homomorphismuseigenschaften nachweisen.
>
> Und beim zweiten habe ich mir mal versucht ein Beispiel zu
> bauen mit m=2 und n=3.
>
> [mm]\IZ/2=2\IZ,1+2\IZ[/mm]
> [mm]\IZ/3=3\IZ,1+3\IZ,2+\3IZ[/mm]
>
> [mm]h(2\IZ)=3\IZ[/mm]
>
> Logisch, Neutrales aufs Neutrale.
>
> Aber jetzt hab ich ja dann ein Problem, weil im
> Ausgangsbereich ein Element weniger ist, wie löse ich das?
Ich verstehe Deine Frage nicht. Ueberlege Dir, dass der einzige Homomorphismus zwischen diesen Ringen derjenige ist, der jedes Element auf die Null abbildet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Mo 06.05.2013 | | Autor: | AntonK |
Ich verstehe nicht genau, warum dies der einzige sein soll.
Vorallem sehe ich nicht, was für Elemente ich dort einsetze.
[mm] h((a+m\IZ)+(b+m\IZ))=h(a+m\IZ)+h(b+m\IZ)
[/mm]
Sieht das so aus beispielsweise?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Mo 06.05.2013 | | Autor: | hippias |
> Ich verstehe nicht genau, warum dies der einzige sein
> soll.
Ja, das glaube ich Dir, aber nichtsdestotrotz sollst Du es beweisen.
>
> Vorallem sehe ich nicht, was für Elemente ich dort
> einsetze.
>
> [mm]h((a+m\IZ)+(b+m\IZ))=h(a+m\IZ)+h(b+m\IZ)[/mm]
>
> Sieht das so aus beispielsweise?
Das ist die Eigenschaft der Additivitaet, die $h$ als Ringhomomorphismus erfuellen muss.
Du musst die algebraischen Strukturen der beiden Ringe ins Auge fassen, welche Ordnungen Elemente haben, welche invertierbar sind etc.
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Hey Anton,
zuerst eine kleine Frage: Habt ihr bei einem Ringhomomorphismus nicht die Forderung, dass dieser die 1 auf die 1 schicken muss?
Falls doch so ist die Nullabbildung kein Ringhom.
Falls nicht dann mal kurz für dein Beispiel:
$h(0 + [mm] 2\IZ) [/mm] = 0 + [mm] 3\IZ$ [/mm] dank Hom.eigenschaft.
Auf der anderen Seite ist $0 + [mm] 3\IZ [/mm] = [mm] h(0+2\IZ) [/mm] = h((1+1) + [mm] 2\IZ) [/mm] = [mm] h(1+2\IZ) [/mm] + h(1 + [mm] 2\IZ)$.
[/mm]
Damit ist also $a := [mm] h(1+2\IZ)$ [/mm] ein Element in [mm] $\IZ/3\IZ$, [/mm] das $a+a = 0$ erfüllt. Wenn du jetzt zeigst, dass das einzig die Null sein kann, bist du an dieser Stelle fertig, denn dann gibt es nur die Nullabbildung als Homomorphismus.
Der allgemeine Fall geht sehr ähnlich, nur dass du hier aus dem Definitionsbereich ein beliebiges Element wählen musst.
Dass es für den Fall [mm] $\ggT(m,n)>1$ [/mm] wirklich einen Hom. gibt, der nicht die Nullabbildung ist, zeigst du am besten, indem du explizit (in Abhängigkeit von $m,n$) einen hinschreibst; dafür musst du dann noch ein wenig knobeln. ;)
lg
Schadow
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