Rotation um die Asymptote < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1-x^2}{x^2+1}.
[/mm]
Bei Rotation der Fläche [mm] A_2 [/mm] um die Asymptote entsteht ein Rotationskörper. Untersuchen Sie ob dieser ein endliches Volumen besitzt.
Hinweis: Das dazugehörige Integral muss nicht berechnet werden. |
Hallo zusammen,
zuerst möchte ich mich bedanken, dass Ihr mir bereits so viele Fragen beantwortet habt. Ohne dieses Forum wäre ich schon längst aufgeschmissen gewesen. Danke an alle nochmal :).
Nun zur Frage: Die Fläche [mm] A_2 [/mm] beginnt bei x=0 und geht bis ins unendliche. Ich weiß auch wie man ein Rotationskörper ausrechnet, der sich um die x-Achse dreht, aber wie soll das gehen mit einem der sich um die Asymptote dreht? Ich weiß, dass die Asymptote bei -1 liegt, aber mehr weiß ich auch nicht. Und vor allen Dingen wie soll das ganze gehen ohne das Integral ausrechnen zu müssen?
Viele Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Sa 27.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=\bruch{1-x^2}{x^2 1}.[/mm]
> Bei Rotation der Fläche [mm]A_2[/mm] um die Asymptote entsteht ein
> Rotationskörper. Untersuchen Sie ob dieser ein endliches
> Volumen besitzt.
> Hinweis: Das dazugehörige Integral muss nicht berechnet
> werden.
> Hallo zusammen,
>
> zuerst möchte ich mich bedanken, dass Ihr mir bereits so
> viele Fragen beantwortet habt. Ohne dieses Forum wäre ich
> schon längst aufgeschmissen gewesen. Danke an alle nochmal
> :).
>
> Nun zur Frage: Die Fläche [mm]A_2[/mm] beginnt bei x=0 und geht bis
> ins unendliche. Ich weiß auch wie man ein Rotationskörper
> ausrechnet, der sich um die x-Achse dreht, aber wie soll
> das gehen mit einem der sich um die Asymptote dreht? Ich
> weiß, dass die Asymptote bei -1 liegt,
Das ist doch schonmal gut.
Nimm die die Hilfsfunktion [mm] g(x):=\frac{1-x^{2}}{x^{2}+1}\red{+1} [/mm] her, und lasse diese um die x-Achse rotieren, das Volumen des Rotationskörpers kannst du dann wie folgt berechnen:
[mm] V=\pi\cdot\int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1-x^{2}}{x^{2}+1}+1\right)^{2}dx
[/mm]
Wegen der y-Achsensymmetrie von g kannst du das zu
[mm] V=2\cdot\pi\cdot\int\limits_{0}^{\infty}\left(\frac{1-x^{2}}{x^{2}+1}+1\right)^{2}dx
[/mm]
vereinfachen, und hast nur noch eine "laufende Grenze"
Konkret rechnen müsstest du dann mit:
[mm] V=\lim\limits_{k\to\infty}2\cdot\pi\cdot\int\limits_{0}^{k}\left(\frac{1-x^{2}}{x^{2}+1}+1\right)^{2}dx
[/mm]
Zur Verdeutlichung mal eine Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> aber mehr weiß ich
> auch nicht. Und vor allen Dingen wie soll das ganze gehen
> ohne das Integral ausrechnen zu müssen?
>
> Viele Grüße
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für deine Hilfe, ich wäre nicht auf die Idee gekommen mir eine Hilfsfunktion zu erstellen.
[mm]V=\lim\limits_{k\to\infty}2\cdot\pi\cdot\int\limits_{0}^{k}\left(\frac{1-x^{2}}{x^{2}+1}+1\right)^{2}dx[/mm]
Ok, aber jetzt muss ich doch trotzdem das Integral ausrechnen oder nicht? Also ich meine die Stammfunktion. Bei der Aufgabe steht allerdings der Hinweis dabei, dass das dazugehörige Integral nicht berechnet werden muss. Wie soll das denn gehen?
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Vielen Dank für deine Hilfe, ich wäre nicht auf die Idee
> gekommen mir eine Hilfsfunktion zu erstellen.
>
> [mm]V=\lim\limits_{k\to\infty}2\cdot\pi\cdot\int\limits_{0}^{k}\left(\frac{1-x^{2}}{x^{2} 1} 1\right)^{2}dx[/mm]
> Ok, aber jetzt muss ich doch trotzdem das Integral
> ausrechnen oder nicht? Also ich meine die Stammfunktion.
> Bei der Aufgabe steht allerdings der Hinweis dabei, dass
> das dazugehörige Integral nicht berechnet werden muss. Wie
> soll das denn gehen?
Vereinfache doch einmal den Integranden soweit wie möglich. Und dann darf man durchaus bzw. soll sogar offenbar das Konvergenzverhalten elementarer uneigentlicher Integrale zur Argumentation heranziehen. So ist bspw. das Integral
[mm] \int_1^{\infty}{\bruch{1}{x^{\alpha}} dx}
[/mm]
konvergent für [mm] \alpha>1.
[/mm]
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe jetzt folgendes gerechnet:
[mm] \pi\integral_{0}^{k}{\left(\bruch{1-x^2}{x^2+1}+1\right) dx}= \pi\integral_{0}^{k}{\left(\bruch{2}{x^2+1}\right) dx}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\left(\bruch{2}{k^2+1}\right)=0
[/mm]
Und [mm] \pi*0=0. [/mm] Ist das soweit korrekt?
Vielen Dank im voraus und viele Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Vielen Dank für deine Antwort. Ich habe jetzt folgendes
> gerechnet:
> [mm]\pi\integral_{0}^{k}{\left(\bruch{1-x^2}{x^2 1} 1\right) dx}= \pi\integral_{0}^{k}{\left(\bruch{2}{x^2 1}\right) dx}[/mm]
Wenn du jetzt den Integranden noch quadrierst, so wie ursprünglich vorgesehen, dann passt es bis hierhin.
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\left(\bruch{2}{k^2 1}\right)=0[/mm]
> Und [mm]\pi*0=0.[/mm] Ist das soweit korrekt?
>
Der Grenzwert ist zwar richtig, aber trivial. Er steht für den Grenzwert des Abstands Schaubild-Asymptote, von daher ist er ja nicht wirklich überraschend. 
Weiter sagt er dir nichts über das Konvergenzverhalten des Integrals. Aber hier darfst du ja eben argumentieren, dass im Zähler eine Konsante und im Nenner ein Polynom vierten Grades steht. Im Fall
[mm] \int_0^{\infty}{\bruch{2}{x+1} dx}
[/mm]
würde das nämlich völlig anders aussehen, dieses Integral wäre nicht konvergent.
EDIT: bitte entschuldige die 'verrupften' Zitate, aber unser Formel-Editor befindet sich gerade im Umbau und das merkt man dann an der einen oder anderen Ecke.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
