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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Rotation und Multiplikation
Rotation und Multiplikation < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Rotation und Multiplikation: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:11 Sa 03.11.2012
Autor: Duckx

Hallo ich habe eine Aufgabe bei der ich eine Matrix A [mm] $\in R^{2 \times 2}$ [/mm] angeben soll die durch x eine Rotation mit dem Winkel [mm] $\frac{2\pi}{3}$ [/mm] bewirken soll.

Als nächstes soll ich die Matrizen [mm] $A^k$ [/mm] für alle $k [mm] \in [/mm] N$ berechnen.

Also die Drehmatrix im allgemeinen ist ja:
[mm] $A=\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) }$ [/mm]

also ist die Lösung für die oben geforderte Matrix:
[mm] $A=\pmat{ cos(\frac{2\pi}{3}) & -sin(\frac{2\pi}{3}) \\ sin(\frac{2\pi}{3}) & cos(\frac{2\pi}{3}) } [/mm]

Das ist doch soweit richtig oder?

Bei dem 2ten Teil [mm] $A^k$ [/mm] weiß ich allerdings nicht, wie ich da vorgehen soll. Muss ich jetzt für jedes k die Matrizen ausrechnen oder wie gehe ich da vor?

        
Bezug
Rotation und Multiplikation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:51 Sa 03.11.2012
Autor: angela.h.b.


> Hallo ich habe eine Aufgabe bei der ich eine Matrix A [mm]\in R^{2 \times 2}[/mm]
> angeben soll die durch x eine Rotation mit dem Winkel
> [mm]\frac{2\pi}{3}[/mm] bewirken soll.

Hallo,

was mit "durch x eine Rotation mit dem Winkel [mm] $\frac{2\pi}{3}$ [/mm] bewirken" gemeint ist, verstehe ich nicht.

Falls Du aber die Drehmatrix angeben sollst, mit welcher man für einen Vektor x sein Bild unter der Drehung [mm] $\frac{2\pi}{3}$ [/mm] um den Ursprung ausrechnen  sollst, hast Du mit A die richtige Matrix erwischt.

>  
> Als nächstes soll ich die Matrizen [mm]A^k[/mm] für alle [mm]k \in N[/mm]
> berechnen.
>  
> Also die Drehmatrix im allgemeinen ist ja:
>  [mm]A=\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) }[/mm]
>  
> also ist die Lösung für die oben geforderte Matrix:
>  [mm]$A=\pmat{ cos(\frac{2\pi}{3}) & -sin(\frac{2\pi}{3}) \\ sin(\frac{2\pi}{3}) & cos(\frac{2\pi}{3}) }[/mm]
>  
> Das ist doch soweit richtig oder?
>  

S.o.
Ich würde noch hinschreiben was bei den Sinüssen und Cosinüssen herauskommt.


> Bei dem 2ten Teil [mm]A^k[/mm] weiß ich allerdings nicht, wie ich
> da vorgehen soll. Muss ich jetzt für jedes k die Matrizen
> ausrechnen

Das könntest Du natürlich tun. Du kannst froh sein, daß die Chefs nur k=17 bestellt haben bei Dir, so ist der Aufwand überschaubar - wenn auch vorhanden.

> oder wie gehe ich da vor?

Ich würde mir mal folgendes überlegen:

Sicher weißt Du, daß die Verkettung von Drehungen um den Ursprung eine Drehung um den Ursprung ist.
[mm] A^{17} [/mm] beschreibt doch die Drehung, die Du bekommst, wenn Du 17mal  um [mm] $\frac{2\pi}{3}$ [/mm] drehst...

LG Angela


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