Rotation von Kugeln < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmung der Rotation einer Kugel in Abhängigkeit einer Referenzkugel, genaue Beschreibung siehe unten. |
Hallo.
Ich habe die Forenregeln gelesen - und verstoße wahrscheinlich dennoch gegen einige Regeln - aber nicht mit böser Absicht. Ich fasse mich kurz; ich bin KEIN Schüler, ich hoffe, mir wird hier trotzdem ein Ohr geschenkt. 
Ich habe ein Problem, und zur Verdeutlichung habe ich ein Video bei youtube hochgeladen:
http://www.youtube.com/watch?v=NIfW0HwpmgM
Also, gegeben sind 4 Kugeln. Die rote in der Mitte ist die Masterkugel, die drei anderen "kleben" an ihr und ändern ihre Rotation entsprechend der Masterkugel, die Position aller Kugeln bleibt gleich.
Die Berechnung der Rotation der gelben und blauen Kugel (die exakt um einen Kugeldurchmesser um 90° in der X-, bzw. in der Y-Achse verschoben sind), ist mir gerade noch gelungen (meine letzte Mathestunde liegt schon...., ach, lassen wir das.  )
Die gelbe Kugel übernimmt die Rotation der roten mit den Faktoren:
H (Rotation um die Y-Achse): -1
P (Rotation um die X-Achse): 1
B (Rotation um die Z-Achse): -1
Die blaue Kugel übernimmt die Rotation der roten mit den Faktoren:
H (Rotation um die Y-Achse): 1
P (Rotation um die X-Achse): -1
B (Rotation um die Z-Achse): -1
Frage: Wie berechnet man nun die Rotation für die graue Kugel?
Wie man im letzten Drittel des Videos sehen kann, ist mein Ansatz (den ich hier gar nicht groß thematisieren will) Banane. :o)
Ich weiß, mein Posting ist sehr ungewöhnlich, umso mehr würde ich mich über Hilfe freuen.
Viele Grüße und vielen Dank im Voraus.
Mauszeiger
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmung der Rotation einer Kugel in Abhängigkeit einer
> Referenzkugel, genaue Beschreibung siehe unten.
> Ich habe ein Problem, und zur Verdeutlichung habe ich ein
> Video bei youtube hochgeladen:
>
> http://www.youtube.com/watch?v=NIfW0HwpmgM
>
> Also, gegeben sind 4 Kugeln. Die rote in der Mitte ist die
> Masterkugel, die drei anderen "kleben" an ihr und ändern
> ihre Rotation entsprechend der Masterkugel, die Position
> aller Kugeln bleibt gleich.
>
> Die Berechnung der Rotation der gelben und blauen Kugel
> (die exakt um einen Kugeldurchmesser um 90° in der X-,
> bzw. in der Y-Achse verschoben sind), ist mir gerade noch
> gelungen (meine letzte Mathestunde liegt schon...., ach,
> lassen wir das. )
>
> Die gelbe Kugel übernimmt die Rotation der roten mit den
> Faktoren:
>
> H (Rotation um die Y-Achse): -1
> P (Rotation um die X-Achse): 1
> B (Rotation um die Z-Achse): -1
>
>
> Die blaue Kugel übernimmt die Rotation der roten mit den
> Faktoren:
>
> H (Rotation um die Y-Achse): 1
> P (Rotation um die X-Achse): -1
> B (Rotation um die Z-Achse): -1
>
> Frage: Wie berechnet man nun die Rotation für die graue
> Kugel?
>
> Wie man im letzten Drittel des Videos sehen kann, ist mein
> Ansatz (den ich hier gar nicht groß thematisieren will)
> Banane. :o)
>
> Ich weiß, mein Posting ist sehr ungewöhnlich, umso mehr
> würde ich mich über Hilfe freuen.
>
> Viele Grüße und vielen Dank im Voraus.
>
> Mauszeiger
Guten Tag mauszeiger,
jedenfalls ist dies eine spannende geometrische Aufgabe,
und mit dem Video hast du das vorliegende Problem
ausgezeichnet veranschaulicht. Die Spezialfälle mit
der gelben und der blauen Kugel scheinen zu funktio-
nieren, aber die graue scheint an der roten zu schleifen,
wenn die Rotation in allgemeiner Richtung verläuft.
Deine Kugeln sind alle gleich groß, und ihre Mittel-
punkte liegen alle in der x-y-Ebene. Eigentlich sind
dies auch Spezialfälle. Ich denke mir: wenn man sich
das Ganze schon zurechtlegen will, warum dann nicht
gerade in allgemeiner Form, also für eine Kugel, deren
Mittelpunkt irgendwo im [mm] \IR^3 [/mm] (ausserhalb der Master-
kugel) liegt und welche die Masterkugel von aussen
berührt. Der Radius der Kugel ergibt sich aus jenem
der Masterkugel und aus dem Abstand der Mittelpunkte.
Nehmen wir aber, damit nicht alles gleich zu kompli-
ziert wird, zuerst doch noch gleich große Kugeln !
Die Bewegungen der beiden sich im Punkt B berührenden
Kugeln müssen dann in jedem Augenblick, und deshalb
für immer, spiegelbildlich zueinander sein, wobei die
gemeinsame Tangentialebene T im Punkt B die Rolle
des Spiegels übernimmt. Falls du die Kugeloberflächen
punktweise berechnest, könnte man also einfach
jeden Punkt der Masterkugel an T spiegeln, um den
entsprechenden Punkt der zweiten Kugel zu erhalten.
Ich nehme aber an, dass du die Kugeln als Objekte
mit Mittelpunkt, Radius und drei Winkeln beschreibst.
Da gibt es nun doch noch einiges zu überlegen ...
LG
Al-Chwarizmi
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| Aufgabe | | Bestimmung eines Algorithmus, der die Rotation einer Kugel festlegt in Abhängigkeit einer Referenzkugel (Masterkugel), und das für jede beliebige Position im Raum, wobei die Kugel die Referenzkugel in genau einem Punkt berührt. |
Hallo Al-Chwarizmi.
Vielen Dank schon mal.
Es ist genau so, wie Du vermutest; am Ende geht es mir darum, einen Algorithmus zu finden, der die Rotation einer Kugel bestimmt in Abhängigkeit einer Referenzkugel (Masterkugel), und das für jede beliebige Position (und später auch beliebigem Radius).
Ziel ist es, ein Video zu erstellen (ich mache Computeranimationen), in dem mehrere Kugeln mit unterschiedlicher Oberfläche und unterschiedlichen Durchmesser eine zentrale Masterkugel umfahren.
Um der Lösung näher zu kommen, habe ich mir erstmal die Spezialfälle angeschaut (alle Kugeln gleich groß und die Mittelpunkte auf der x, bzw. y Achse der Masterkugel). Für die Spezialfälle funktioniert, wie gesagt, der folgende Algorithmus:
Die gelbe Kugel übernimmt die Rotation der roten mit den Faktoren:
H (Rotation um die Y-Achse): -1
P (Rotation um die X-Achse): 1
B (Rotation um die Z-Achse): -1
Die blaue Kugel übernimmt die Rotation der roten mit den Faktoren:
H (Rotation um die Y-Achse): 1
P (Rotation um die X-Achse): -1
B (Rotation um die Z-Achse): -1
B wird also gleich behandelt, nur H und P verhalten sich genau umgekehrt.
Da nun - geometrisch gesehen - die graue Kugel ein Mix aus der gelben und blauen ist, vermutete ich zunächst, man müsse nur H und P angleichen. Für den Spezialfall "graue Kugel" käme nach der Logik aber Null als Faktor raus, das macht keinen Sinn (habe es auch mal ausprobiert; logischerweise rotiert die graue Kugel dann nur noch um die Z-Achse, während die rote fröhlich um alle 3 Achsen rotiert).
Tja, an diesem Punkt komme ich nicht weiter, daher mein Hilferuf in diesem Fachforum.
Zitat:
Die Bewegungen der beiden sich im Punkt B berührenden
Kugeln müssen dann in jedem Augenblick, und deshalb
für immer, spiegelbildlich zueinander sein, wobei die
gemeinsame Tangentialebene T im Punkt B die Rolle
des Spiegels übernimmt. Falls du die Kugeloberflächen
punktweise berechnest, könnte man also einfach
jeden Punkt der Masterkugel an T spiegeln, um den
entsprechenden Punkt der zweiten Kugel zu erhalten. Sehr schöner Ansatz! So würde das funktionieren.
Da die Kugeln aber unterschiedliche Oberflächen haben sollen, scheint mir die Vorgehensweise nicht passend, schade...
Zitat:
Ich nehme aber an, dass du die Kugeln als Objekte
mit Mittelpunkt, Radius und drei Winkeln beschreibst. Exakt so isses!
Ich lese die Rotationswerte der Masterkugel aus und bearbeite diese mit dem Algorithmus, den ich noch suche, und übergebe die Werte an die Zielkugeln.
Freue mich über weitere Hilfe.
Viele Grüße,
Mauszeiger
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Mi 09.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimmung eines Algorithmus, der die Rotation einer Kugel
> festlegt in Abhängigkeit einer Referenzkugel
> (Masterkugel), und das für jede beliebige Position im
> Raum, wobei die Kugel die Referenzkugel in genau einem
> Punkt berührt.
> Hallo Al-Chwarizmi.
>
> Vielen Dank schon mal.
>
> Es ist genau so, wie Du vermutest; am Ende geht es mir
> darum, einen Algorithmus zu finden, der die Rotation einer
> Kugel bestimmt in Abhängigkeit einer Referenzkugel
> (Masterkugel), und das für jede beliebige Position (und
> später auch beliebigem Radius).
>
> Ziel ist es, ein Video zu erstellen (ich mache
> Computeranimationen), in dem mehrere Kugeln mit
> unterschiedlicher Oberfläche und unterschiedlichen
> Durchmesser eine zentrale Masterkugel umfahren.
>
> Um der Lösung näher zu kommen, habe ich mir erstmal die
> Spezialfälle angeschaut (alle Kugeln gleich groß und die
> Mittelpunkte auf der x, bzw. y Achse der Masterkugel). Für
> die Spezialfälle funktioniert, wie gesagt, der folgende
> Algorithmus:
>
> Die gelbe Kugel übernimmt die Rotation der roten mit den
> Faktoren:
>
> H (Rotation um die Y-Achse): -1
> P (Rotation um die X-Achse): 1
> B (Rotation um die Z-Achse): -1
>
> Die blaue Kugel übernimmt die Rotation der roten mit den
> Faktoren:
>
> H (Rotation um die Y-Achse): 1
> P (Rotation um die X-Achse): -1
> B (Rotation um die Z-Achse): -1
>
> B wird also gleich behandelt, nur H und P verhalten sich
> genau umgekehrt.
> Da nun - geometrisch gesehen - die graue Kugel ein Mix aus
> der gelben und blauen ist, vermutete ich zunächst, man
> müsse nur H und P angleichen. Für den Spezialfall "graue
> Kugel" käme nach der Logik aber Null als Faktor raus, das
> macht keinen Sinn (habe es auch mal ausprobiert;
> logischerweise rotiert die graue Kugel dann nur noch um die
> Z-Achse, während die rote fröhlich um alle 3 Achsen
> rotiert).
Hallo, ich denke mal, die "Anteile" der beiden anderen Rotationen betragen bestimmte Sinus- bzw. Kosinuswerte vom Neigungswinkel der schrägen Berührungsradien gegen die Waagerechte.
>
> Tja, an diesem Punkt komme ich nicht weiter, daher mein
> Hilferuf in diesem Fachforum.
>
> Zitat:
>
> Die Bewegungen der beiden sich im Punkt B berührenden
> Kugeln müssen dann in jedem Augenblick, und deshalb
> für immer, spiegelbildlich zueinander sein, wobei die
> gemeinsame Tangentialebene T im Punkt B die Rolle
> des Spiegels übernimmt. Falls du die Kugeloberflächen
> punktweise berechnest, könnte man also einfach
> jeden Punkt der Masterkugel an T spiegeln, um den
> entsprechenden Punkt der zweiten Kugel zu erhalten. Sehr
> schöner Ansatz! So würde das funktionieren.
> Da die Kugeln aber unterschiedliche Oberflächen haben
> sollen, scheint mir die Vorgehensweise nicht passend,
> schade...
Bei der Abrollbewegung sind die Weglängen gleich, die die ursprünglich sich berührenden Kugelpunkte während der gleichen Zeit zurücklegen.
Damit ist der jeweilige Drehwinkel umgekehrt proportional zum Kugelradius.
Gruß Abakus
>
> Zitat:
>
> Ich nehme aber an, dass du die Kugeln als Objekte
> mit Mittelpunkt, Radius und drei Winkeln beschreibst. Exakt
> so isses!
>
> Ich lese die Rotationswerte der Masterkugel aus und
> bearbeite diese mit dem Algorithmus, den ich noch suche,
> und übergebe die Werte an die Zielkugeln.
>
> Freue mich über weitere Hilfe.
>
> Viele Grüße,
>
> Mauszeiger
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Mi 09.09.2009 | | Autor: | mauszeiger |
Hallo Abakus
Zitat:
Bei der Abrollbewegung sind die Weglängen gleich, die die ursprünglich sich berührenden Kugelpunkte während der gleichen Zeit zurücklegen.
Damit ist der jeweilige Drehwinkel umgekehrt proportional zum Kugelradius. Das verstehe ich nicht. Der Kugelradius ist doch eine Konstante...?
Viele Grüße, Mauszeiger
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Mi 09.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus
>
> Zitat:
>
> Bei der Abrollbewegung sind die Weglängen gleich, die die
> ursprünglich sich berührenden Kugelpunkte während der
> gleichen Zeit zurücklegen.
> Damit ist der jeweilige Drehwinkel umgekehrt proportional
> zum Kugelradius. Das verstehe ich nicht. Der Kugelradius
> ist doch eine Konstante...?
Ixh denke, du willst später mal verschieden große Kugeln einsetzen?
Das ist dann wie bei einem Zahnradgetriebe: Je weniger Zähne das angetriebene Rad im Vergleich zum treibenden Rad hat, um so schneller dreht es sich.
Was die "schräge Lage" von zwei Kugeln betrifft:
Da geht es beim Antriebsvorgang wohl primär um die Reibung nicht der gesamten Kugel, sonden zwischen den beiden Berührungskreisen, deren Normalenvektoren einen bestimmten Winkel [mm] \alpha [/mm] einschließen (siehe Skizze).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Abakus
>
> Viele Grüße, Mauszeiger
>
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
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Ich habe dein Problem vektoriell gelöst, muss aber alles noch ins Reine schreiben und sende dir - vermutlich im Laufe des Tages - meine Rechnungen zu.
Vorab für die graue Kugel:
Probier mal [mm] P_{grau}=H_{Master}
[/mm]
[mm] H_{grau}=P_{Master}
[/mm]
[mm] B_{grau}= [/mm] - [mm] B_{Master}.
[/mm]
P- und H-Bewegungen tauschen miteinander, B-Drehung ist gegenläufig. Falls dann doch etwas noch nicht stimmt, musst du vielleicht bei den oberen beiden (?) Gleichungen noch das Vorzeichen ändern, was daran liegen kann, dass Drehrichtung und Raumkoordinaten bei dir anders sind als bei mir. Das siehst du mit deinem Super-Testprogramm (Glückwunsch!) aber sofort.
Die allgemeinen Ergebnisse sind wesentlich komplizierter und folgen dann.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 Do 10.09.2009 | | Autor: | mauszeiger |
Hallo HJKweseleit.
Zitat:
Ich habe dein Problem vektoriell gelöst, muss aber alles noch ins Reine schreiben...
Oh, vielen Dank für Deine Hilfsbereitschaft!
Ich muss schon sagen, dieses Forum hier zeichnet sich tolle User aus, das kann man dann wohl ruhigen Gewissens weiter empfehlen.
Ursprünglich dachte ich, das ist ein Klacks, das hab ich in ner halben Stunde gelöst. Dann stellte ich fest, dass es doch nicht so leicht ist, und schrieb hier ein Posting. Mittlerweile habe ich das Gefühl, dass diese vermeintliche 2-min-Denksportaufgabe eine ganz schön harte Nuss ist, selbst für Fortgeschrittene, und auch gestandene Mathematiker schütteln das nicht so einfach aus dem Ärmel.
Zitat:
Probier mal
P- und H-Bewegungen tauschen miteinander, B-Drehung ist gegenläufig.
Stimmt leider nicht. :D
Ich habe es ausprobiert, Du kannst es auf youtube anschauen:
http://www.youtube.com/watch?v=n392rMcckD8&eurl=http%3A%2F%2Fwww%2Eyoutube%2Ecom%2Fuser%2Fpetabyte99&feature=player_profilepage
Ich habe auch alle Kombinationen verschiedener Vorzeichen ausprobiert; die von Dir vorgeschlagene Lösung (ohne Vorzeichenänderung) kommt aber der Realität am nahesten - aber es stimmt nicht ganz...
Zitat:
Das siehst du mit deinem Super-Testprogramm (Glückwunsch!) aber sofort.
Das Programm ist Cinema4D, tatsächlich prädestiniert für solche Sachen.
Damit man sich besser vorstellen kann, wie das bei mir ausschaut, hier ein Screenshot von dem nodebasierten Editor, mit dem ich die Berechnungen durchführen kann:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bin gespannt, wie es weitergeht.
Vielen Dank für die Unterstützung.
Mauszeiger
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Die Einzelbewegungen um die x-, y- und z-Achse sehen richtig aus, nur die zusammengesetzte Bewegung passt nicht.
Falls ich keinen Gedanken-/Rechenfehler gemacht habe, könnte folgendes die Ursache sein:
Wenn die graue Kugel bereits verkippt ist und nun gedreht wird, darf man ihre Bewegung nicht bezüglich ihrer mitgekippten Achse berechnen, sondern nur bezüglich der feststehenden Raumachsen. Zeigt also der Nordpol (=obere y-Achse) der gekippten grauen Kugel auf uns, so ist diese Achse nun die (negative) z-Achse. Eine errechnete Drehung um die y-Achse würde also keine Rotation um diesen Nordpol bringen, sondern den Nordpol aus unserer Sicht eine Links-Rechts-Bewegung (oder umgekehrt) machen lassen.
Falls Deine Bewegungen sich also auf die mit der grauen Kugel mitgekippten Achsen beziehen, müsstest du das umrechnen (ggf. kann ich dir helfen).
Ansonsten hier meine Berechnungen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:02 Fr 11.09.2009 | | Autor: | mauszeiger |
Hallo HJKweseleit,
vielen vielen vielen vielen Dank für Deine Arbeit!!!
Ich bin Dir wirklich sehr dankbar dafür!
Das muss ich mir natürlich erstmal in Ruhe zu Gemüte führen. Heute bin ich leider noch nicht dazu gekommen, auch morgen (FR) werde ich wahrscheinlich nicht dazu kommen, aber dann kommt das WE, und da werde ich hoffentlich genug Zeit haben, das in aller Ruhe durchzuchecken.
Vorab kann ich Dir sagen, dass ich das mit den gekippten Achsen und den feststehenden (im Cinema4D-Programm-Jargon heißt das Weltachsen) ausprobiert habe, leider noch ohne Erfolg. Vielleicht habe ich auch etwas falsch gemacht, mir lief dann etwas die Zeit davon, aber es eilt im Prinzip auch nicht, und ich werde es auf jeden Fall nochmal genau testen.
Also, noch einmal 1000 Dank für Deine äußerst freundliche Hilfe!
Ich melde mich wieder, sobald ich weiter gekommen bin.
Bis dahin Dir (und auch den anderen Helfern hier) eine gute Zeit und ein schönes Wochenende.
Viele Grüße,
Mauszeiger
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Mir ist gerade eingefallen, dass ich etwas übersehen habe:
Meine Berechnung ergibt 3 Komponenten für die Drehung um die x-, y- und z-Weltachsen. Diese darf man aber nicht getrennt durchführen, da Drehungen im Raum nicht kommutativ sind. Du musst also mit meinen Werten noch folgendes tun (und daher kommt wohl der Fehler):
Der Ergebnisvektor zeigt insgesamt (!) in eine Raumrichtung, und um die muss die Drehung komplett ausgeführt werden (also weder körpereigene noch Weltachsen). Der Drehwinkel ist dann der Betrag des Ergebnisvektors.
Beispiel für die graue Kugel:
Die Masterkugel dreht sich gerade gleichzeitig um x-, y- und z-Achse mit den Winkeln [mm] \vektor{P \\ H \\ B}=\vektor{3 \\ 4 \\ 12} [/mm] Grad pro Zeiteinheit. Dann muss sich die graue Kugel mit [mm] \vektor{H \\ P \\ -B}=\vektor{4 \\ 3 \\ - 12} [/mm] drehen, also um eine Achse, die im Raum die Richtung [mm] \vektor{4 \\ 3 \\ - 12} [/mm] hat, mit dem Winkel [mm] \wurzel{4^2+3^2+12^2}=13 [/mm] Grad pro Zeiteinheit. Soll der Richtungsvektor die Länge 1 haben, kürzt du ihn mit 13, also auf [mm] \bruch{1}{13}\vektor{4 \\ 3 \\ - 12}.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:07 Sa 12.09.2009 | | Autor: | mauszeiger |
Vielen Dank für Deine Überlegungen!!!
Ich werde das testen. Allerdings muss ich es verschieben, wg. eines akuten Krankheitsfalles in meiner Familie.
Insofern kann ich auch noch gar nichts zu Deinen beiden Erläuterungen sagen. Schade, ich hatte mich schon darauf gefreut. Aber ich hole es asap nach.
Eine Sache kam mir aber in den Kopf, die ebenfalls (oder darüberhinaus) mit der Problematik zu tun haben könnte: Das Problem des Gimbal Lock (http://de.wikipedia.org/wiki/Gimbal_Lock). Ist Dir dieses mathematische Problem geläufig? Ich glaube, es ist nicht soo bekannt...?!
Vielen Dank, beste Grüße und bis bald!!!
Mauszeiger
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Hallo HJ,
ich bin dran, mir die Sache etwas näher zu überlegen.
Ich gehe davon aus, dass die Masterkugel (Zentrum O,
Axialvektor [mm] \vec{R}, [/mm] Winkelgeschwindigkeit [mm] \Omega)
[/mm]
die Slave-Kugel (Zentrum M, Radius r) im Punkt B
berührt. Nun möchte ich gerne aus diesen gegebenen
Daten einen Axialvektor [mm] \vec{r} [/mm] und die Winkelgeschwindigkeit
[mm] \omega [/mm] der zweiten Kugel berechnen.
Zuerst dachte ich an einen ortsfesten Axialvektor [mm] \vec{r},
[/mm]
so wie der Vektor [mm] \vec{R} [/mm] der Masterkugel zeitlich
unveränderlich. Doch jetzt kommen mir Zweifel an dieser
Vorstellung: Könnte (oder müsste) die Rotationsachse der
Slave-Kugel nicht im Allgemeinen "herumeiern", also
präzedieren ? Oder darf man davon ausgehen, dass [mm] \vec{r}
[/mm]
stets senkrecht zum Vektor [mm] \overrightarrow{MB} [/mm] und zum Tangential-
vektor [mm] \vec{t} [/mm] des Breitenkreises b (der Masterkugel) durch
den Punkt B ist ?
Etwas unsicher macht mich die Feststellung, dass dann
die beiden Kugeln gewissermaßen in einem "asymmetri-
schen" Verhältnis stünden, denn es wäre zwar [mm] \vec{r} [/mm] stets
orthogonal zu [mm] \overrightarrow{MB} [/mm] , aber im Allgemeinen nicht [mm] \vec{R} [/mm] zu [mm] \overrightarrow{OB} [/mm] .
Gruß von Al
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Hallo,
> Könnte (oder müsste) die Rotationsachse der
> Slave-Kugel nicht im Allgemeinen "herumeiern",
> also präzedieren ?
Nach näherer Überlegung habe ich gemerkt, dass
dies aus Symmetriegründen doch nicht der Fall sein
kann, wenn die Kugelmittelpunkte ortsfest sind.
> Oder darf man davon ausgehen, dass [mm]\vec{r}[/mm] stets
> senkrecht zum Vektor [mm]\overrightarrow{MB}[/mm] und zum Tangential-
> vektor [mm]\vec{t}[/mm] des Breitenkreises b (der Masterkugel)
> durch den Punkt B ist ?
Auch dies ist nicht der Fall. Richtig müsste aber
die Überlegung mit den (gedachten) Tangential-
kegeln mit gemeinsamer Spitze sein, welche ich
in anderen posts beschrieben habe. Das aufeinander
Abrollen der Kegelmäntel (Regelflächen!) garan-
tiert, dass keine relative Rotation der beiden
Kugeln um ihre Zentralachse übrig bleiben kann.
LG
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 16.09.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Bestimmung der Rotation einer Kugel in Abhängigkeit einer
> Referenzkugel, genaue Beschreibung siehe unten.
> Ich habe ein Problem, und zur Verdeutlichung habe ich ein
> Video bei youtube hochgeladen:
>
> http://www.youtube.com/watch?v=NIfW0HwpmgM
>
> Also, gegeben sind 4 Kugeln. Die rote in der Mitte ist die
> Masterkugel, die drei anderen "kleben" an ihr und ändern
> ihre Rotation entsprechend der Masterkugel, die Position
> aller Kugeln bleibt gleich.
Was mit dem "Kleben" genau gemeint ist, ist entscheidend !
> Frage: Wie berechnet man nun die Rotation für die graue
> Kugel?
>
> Wie man im letzten Drittel des Videos sehen kann, ist mein
> Ansatz (den ich hier gar nicht groß thematisieren will)
> Banane. :o)
Hallo,
die Bewegung der grauen Kugel ist wohl schon ganz zu
Beginn des Videos falsch. Wäre die graue Kugel an eine
Rotation um eine Achse gebunden, die zur Rotationsachse
der Masterkugel parallel ist, wäre die Darstellung wohl
richtig: die beiden Kugeln drehen sich in entgegenge-
setztem Drehsinn um ihre parallelen, aber voneinander
verschiedenen Drehachsen. Je ein Breitenkreis jeder
Kugel (in einer gemeinsamen Normalebene zu den
Rotationsachsen) rollen aufeinander ab wie zwei gleich
große Zahnräder. Diese gemeinsame Bewegung beider
Kugeln wäre aber eine quietschende, sobald die Kugel-
radien um ein Epsilon grösser und die Kugeln etwas
elastisch wären, weil sich die Kontaktflächen der Kugeln
gegeneinander verdrehen würden.
Ein Stetigkeitsargument zeigt unmittelbar auf, dass etwas
nicht stimmen kann: Für zueinander parallele, aber nicht
identische Rotationsachsen hätten wir entgegengesetzte
Drehsinne. Wenn die beiden Rotationsachsen aber über-
einstimmen und die beiden Kugeln Pol an Pol rotieren,
wird klar, dass in diesem Fall der Drehsinn übereinstimmen
müsste.
Zwei gleich große Kugeln, welche durch einen (kleinen)
flächenhaften Kontakt durch Reibung verbunden sind,
müssten eher so rotieren, dass zwei kongruente Tangen-
tialkegel mit gemeinsamer Spitze S (=Schnittpunkt der
Rotationsachsen beider Kugeln) aufeinander reibungslos
(also ohne Gleiten) abrollen.
Für zwei unterschiedlich große Kugeln kann man wohl
mit entsprechend gewählten Kegelflächen argumentieren.
LG Al-Chw.
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Hi Al-Chwarizmi,
Ich glaube, Du hast recht. In meinem Video sind die Rotationsachsen der Master- und der grauen Kugel wohl parallel, was keinen wirklichen Sinn zu machen scheint...
Müsste die Rotationsachse der grauen Kugel nicht parallel zur gemeinsamen Normalenebene sein?
LG, Mauszeiger
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> Hi Al-Chwarizmi,
>
> Ich glaube, Du hast recht. In meinem Video sind die
> Rotationsachsen der Master- und der grauen Kugel wohl
> parallel, was keinen wirklichen Sinn zu machen scheint...
>
> Müsste die Rotationsachse der grauen Kugel nicht parallel
> zur gemeinsamen Normalenebene sein?
>
> LG, Mauszeiger
Hallo Mauszeiger,
ich bin dran, die Lösung auszuarbeiten und suche noch
nach Möglichkeiten, dass es nicht zu kompliziert wird.
Es gibt zwei mögliche Betrachtungsweisen: Berühren
sich die Kugeln wirklich nur in einem Punkt, wie es ja
rein geometrisch betrachtet auch sein muss, kann nur
eine tangential gerichtete Kraftkomponente die Slave-
kugel drehen. Sinnvollerweise wäre dann deren Dreh-
achse zu diesem Tangentialvektor und zum Radius-
vektor des Berührpunktes senkrecht. Dies kann dann
aber dazu führen, dass eine relative Rotationsbewegung
um die Mittelpunktsachse übrig bleibt. Im Fall der blauen
Kugel könnte dies bedeuten, dass diese stehen bleibt,
wenn sich die rote nur um die y-Achse dreht.
Zweite Betrachtungsweise: Handelt es sich um Gummi-
kugeln, die so aneinander gepresst werden, dass eine
kleine Kontaktfläche eine Relativrotation um die
Zentralachse verhindert (Kugeln "kleben" aneinander !),
dann findet man die Rotationsachse der Slave-Kugel so:
Die gemeinsame Tangentialebene, welche die beiden
Kugeln trennt, schneidet die Rotationsachse der Master-
Kugel in einem Punkt S. Dieser ist die gemeinsame
Spitze zweier gedachter Kegel. Die Achse des "Slave-
Kegels" ist die Rotationsachse der Slave-Kugel.
Die Winkelgeschwindigkeit von deren Rotation ergibt
sich durch eine trigonometrische Rechnung.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Sa 12.09.2009 | | Autor: | chrisno |
Nun hab ich mir das auch mal angeschaut. Ich will mal den Weg skizzieren, wie ich das angehen würde:
Das Ziel ist, die Lösung für die gelbe oder blaue Kugel auf die rote zu übertragen.
Diese Lösungen funktionieren deshalb, weil die Linie Mittelpunkt, Berührpunkt, Mittelpunkt auf einer der Koordinatenachsen liegt. Also wäre der Ansatz, zur Berechnung der bewegung der grauen Kugeln das Koordinatensystem zu verdrehen, genauer gesagt, ein neues einzuführen, dessen x-Achse (zum Beispiel) auf der Verindungsline Mittelpunkt Masterkugel, Berührpunkt, MIttelpunkt graue Kugel liegt.
Dazu muss nun die Bewegung der Masterkugel in die neuen Kordinaten umgerechnet werden. Wenn die Bewegung in hinreichend kleinen Schritten beerecnet wird, dann vertauschen die Rotationen um die Achsen, sonst nicht.
Also: Drehvektor der Mastekugel bestimmen, per Drehmatrix ins neue Koordinatensystem übertragen, daraus Drehvektor der grauen Kugel bestimmen und mit der Rückdrehmatrix ins alte Koordinatensystem bringen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:54 So 13.09.2009 | | Autor: | mauszeiger |
Das ist lustig chrisno, genau den selben Ansatz hatte ich auch im Sinn.
Da ja die "Billig"-Lösung der gelben Kugel (-> Übernahme der Rotationswerte der Masterkugel nur mit Faktor 1 bzw. -1) zu funktionieren scheint, müßte man nur dynamisch (also für jeden Augenblick neu) den Raum, also das Weltkoordinatensystem so kippen, dass die graue Kugel immer im gleichen Winkel zur roten steht, wie vorher die gelbe.
Das DIng ist nur, die Billiglösung scheint falsch zu sein, bzw. nur zufällig richtig für speziell diesen einen Sonderfall (gleicher Radius, Mittelpunkte beider Kugeln auf der selben Achse...).
Aber ich werde den Ansatz im Kopf behalten, vielleicht bringt er doch noch Vorteile...
Viele Grüße,
Mauszeiger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:38 So 13.09.2009 | | Autor: | chrisno |
Wenn Du eine funktionierende Lösung hast, dann muss die Version mit dem Drehen des Koordinatenystems funktionieren. Es kann ein wenig Dauern, biss alles passt. Genauer hätte ich schreiben müssen: Drehgeschwindigkeitsvektor.
Nachtrag:
Dies ist nun die Lösung. Sie ist recht einfach.
Wenn die beiden Kugeln sich ohne Schlupf drehen sollen,
dann wird [mm] $\vec{\omega}$ [/mm] der einen an der gemeinsamen Tangentialebene gespiegelt zu [mm] $\vec{\omega}$ [/mm] der anderen. Sind die Kugeln nicht gleich groß, dann gilt [mm] $r_1 *\omega_1 [/mm] = [mm] r_2*\omega_2$.
[/mm]
Das ergibt sich aus der Bedingung der Bewegung ohne Schlupf. Diese verlangt, dass im Berührpunkt die Geschwindigkeiten beider Oberflächen nach Betrag und Richtung glich sind. Also gilt [mm] $\vec{v_1} [/mm] = [mm] \vec{v_2} [/mm] = [mm] \vec{\omega_1} \times \vec{r_1} [/mm] = [mm] \vec{\omega_2} \times \vec{r_2}$ [/mm] Da [mm] $\vec{r_1}$ [/mm] und [mm] $\vec{r_2}$ [/mm] entgegengesetzt sind, ergibt sich der Rest.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 So 13.09.2009 | | Autor: | mauszeiger |
Hallo chrisno.
Danke für Dein Posting!
Zitat:
Dies ist nun die Lösung. Sie ist recht einfach.
Leider kann ich Deine Lösung nicht umsetzen, da ich kein Mathematiker bin, und mein Abi liegt schon..., emm, 22 Jahre zurück. Seitdem hatte ich mit Vektoren nix mehr am Hut...
Kannst Du mir das so formulieren, dass ich das in meinen Editor eingeben kann?
Jetzt schau ich mir das Posting von Al-Chwarizmi an, denn er hat was Neues gepostet.
Und dann kommt der Lösungsvorschlag von HJKweseleit. Mal schaun, ob ich da durchsteige... *g*
Viele Grüße, Mauszeiger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 So 13.09.2009 | | Autor: | chrisno |
Kann das Programm, das Du benutzt,auch richtig rechnen?
Sprich: aus der Lage der Kugelmittelpunkte und deren Radien, sowie den Drehwinkeln der Masterkugel wird mit reichlich Multiplikation und Addition ein Satz Drehwinkel für die anligende Kugel berechnet.
Zum Verständnis:
Wie läuft das ab? Gibst Du dem Programm Zeitschritte vor, nach denen eine Drehung um die Winkel erfolgt?
Werden die Winkel absolut oder relativ angegeben. Wenn Du also drei mal um 10° drehen lässt, werden dann 30° daraus?
Ich habe leider wenig Zeit, darum hoffe ich erst einmal, dass auch die anderen weitermachen. Bei mir kann es recht lange dauern, bis es fertig wird.
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> Wenn Du eine funktionierende Lösung hast, dann muss die
> Version mit dem Drehen des Koordinatenystems funktionieren.
> Es kann ein wenig Dauern, biss alles passt. Genauer hätte
> ich schreiben müssen: Drehgeschwindigkeitsvektor.
>
> Nachtrag:
>
> Dies ist nun die Lösung. Sie ist recht einfach.
>
> Wenn die beiden Kugeln sich ohne Schlupf drehen sollen,
> dann wird [mm]\vec{\omega}[/mm] der einen an der gemeinsamen
> Tangentialebene gespiegelt zu [mm]\vec{\omega}[/mm] der anderen.
> Sind die Kugeln nicht gleich groß, dann gilt [mm]r_1 *\omega_1 = r_2*\omega_2[/mm].
>
> Das ergibt sich aus der Bedingung der Bewegung ohne
> Schlupf. Diese verlangt, dass im Berührpunkt die
> Geschwindigkeiten beider Oberflächen nach Betrag und
> Richtung glich sind. Also gilt [mm]\vec{v_1} = \vec{v_2} = \vec{\omega_1} \times \vec{r_1} = \vec{\omega_2} \times \vec{r_2}[/mm]
> Da [mm]\vec{r_1}[/mm] und [mm]\vec{r_2}[/mm] entgegengesetzt sind, ergibt
> sich der Rest.
Hallo chrisno,
Mit der Gleichung [mm] \vec{\omega_1} \times \vec{r_1} [/mm] = [mm] \vec{\omega_2} \times \vec{r_2} [/mm] bin ich einverstanden,
jedoch nicht mit dem daraus gezogenen Schluss, dass
[mm] r_1 *\omega_1 [/mm] = [mm] r_2*\omega_2 [/mm] sein muss. Die Radien, die hier in Betracht
gezogen werden müssen, sind nämlich nicht die Kugelradien,
sondern die Abstände des Berührungspunktes der Kugeln zu
deren Rotationsachsen. Bei gleich großen Kugeln spielt
diese Unterscheidung keine Rolle, bei unterschiedlichen
Radien aber sehr wohl.
(rechnerisch gesehen: in die Berechnung des Vektor-
produktes geht nebst den Beträgen der beteiligten
Vektoren auch deren Winkel ein)
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 Mo 14.09.2009 | | Autor: | chrisno |
Eingesehen, da habe ich mich zu weit aus dem Fenster gelehnt.
So, wie ich mir das nun zusammenreime, ist das aber dennoch mit erträglichem Aufwand berechenbar, oder? Es bleibt doch weiterhin die Frage, ob das Programm entsprechende Berechnungsmöglichkeiten beitet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Mo 14.09.2009 | | Autor: | mauszeiger |
Zitat:
Es bleibt doch weiterhin die Frage, ob das Programm entsprechende Berechnungsmöglichkeiten beitet.
Hallo alle zusammen.
Zunächst mal sorry, dass ich mich so spät melde. Habe leider augenblicklich enorm viel um die Ohren, und komme gerade nur dazu, die Beiträge zu lesen, aber nicht dazu, sie auch zu deuten - oder es wenigstens zu versuchen, denn ehrlich gesagt, Eurer Fachdiskussion kann ich kaum folgen... .
Zur Frage: Der Editor kann wohl so ziemlich alles berechnen, jedenfalls soweit es das hier besprochene Thema betrifft. Das Nadelöhr hier ist ganz klar der Anwender, also ich, denn schwierig für mich dürfte sein, die Algorithmen dann im Editor umzusetzen. Aber versuchen würde ich es gerne. Mit Eurer kompetenten Unterstützung bin ich zuversichtlich, das hinzukriegen. Auf der anderen Seite möchte ich Eure Hilfsbereitschaft natürlich nicht überbeanspruchen. Wenn das also jemandem zu zeitintensiv ist, habe ich dafür vollstes Verständnis.
Cinema4D ist ein 3D-Programm, und somit ein wahrer Rechen-Titan.
Um einen Eindruck zu vermitteln, was man mit dessen Editor machen kann:
Objekte können Ausgänge (lesen) und Eingänge (schreiben) besitzen.
So kann man z.B. einer Kugel einen Ausgang "Winkel H" geben, diesen auslesen und weiterverarbeiten. Ein Eingang "Position Y" an diese Kugel geschaltet, läßt sie in der Höhe festsitzen, wenn man diesen Eingang mit einer Konstante füttert.
Als Parameter für Objektein- und Ausgänge gibt es unter anderem:
- Globale Position (X, Y, Z)
- Globaler Winkel (H, P, B)
- Größe (X, Y, Z)
- Position (X, Y, Z)
- Winkel (H, P, B)
- Globale Matrix
- Lokale Matrix
... und mehr
Bei den Ausgängen gesellen sich noch hinzu:
- Geschwindigkeit der Größe/Position/Rotation
Man kann im Editor die Ein- und Ausgänge beliebig verknüpfen und natürlich mit Operatoren versehen, beliebige Formeln einbauen, etc.
Man kann Matrix zu Vektoren, Reale zu Vektoren, Matrix zu HPB und umgekehrt adaptieren. Es gibt boolsche Schalter, logische Funktionen (Vergleiche), und mehr...
btw. Die Winkel (H, P, B) werden nicht direkt in grad angegeben. Drehe ich ein Objekt um 180°, wird 3,1415 angegeben, also pi. 360° sind 2pi, -360° sind -2 pi.
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> Cinema4D ist ein 3D-Programm, und somit ein wahrer
> Rechen-Titan.
Daran ist nicht zu zweifeln. Ich hatte eine frühere Version
des Programms, habe aber damit nur ganz wenig gemacht.
> Um einen Eindruck zu vermitteln, was man mit dessen Editor
> machen kann:
>
> Objekte können Ausgänge (lesen) und Eingänge (schreiben)
> besitzen.
> So kann man z.B. einer Kugel einen Ausgang "Winkel H"
> geben, diesen auslesen und weiterverarbeiten. Ein Eingang
> "Position Y" an diese Kugel geschaltet, läßt sie in der
> Höhe festsitzen, wenn man diesen Eingang mit einer
> Konstante füttert.
>
> Als Parameter für Objektein- und Ausgänge gibt es unter
> anderem:
>
> - Globale Position (X, Y, Z)
> - Globaler Winkel (H, P, B)
> - Größe (X, Y, Z)
> - Position (X, Y, Z)
> - Winkel (H, P, B)
> - Globale Matrix
> - Lokale Matrix
> ... und mehr
>
> Bei den Ausgängen gesellen sich noch hinzu:
>
> - Geschwindigkeit der Größe/Position/Rotation
>
> Man kann im Editor die Ein- und Ausgänge beliebig
> verknüpfen und natürlich mit Operatoren versehen,
> beliebige Formeln einbauen, etc.
>
> Man kann Matrix zu Vektoren, Reale zu Vektoren, Matrix zu
> HPB und umgekehrt adaptieren. Es gibt boolsche Schalter,
> logische Funktionen (Vergleiche), und mehr...
Ich kenne die Bedeutung der Winkel H,P,B nicht
genau. Hauptproblem ist aber, dass eine gleich-
mässige Rotation um eine beliebige Rotations-
achse sich nicht in lineare Veränderungen dieser
Winkel umsetzt.
Für die vorliegende Aufgabe wäre es am praktischsten,
wenn man eine gleichförmige Rotation durch einen
Vektor in Richtung der Drehachse vorgeben könnte.
Allenfalls kann eine feste Raumrichtung durch zwei
der drei Winkel H,P,B vorgegeben werden.
Könntest du also angeben:
1.) wie die Winkel H,P,B bezüglich des x-y-z-
Koordinatensystems genau definiert sind
2.) wie eine Rotationsbewegung genau festge-
legt werden kann - am besten eben mittels
Axialvektor und Winkelgeschwindigkeit
LG Al-Chw.
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Hallo,
ich habe nun Formeln aufgestellt, nach welchen man
einen Einheitsvektor [mm] \vec{s} [/mm] in Richtung der Rotationsachse
der Slave-Kugel sowie deren Winkelgeschwindigkeit [mm] \omega_2
[/mm]
berechnen kann. Man könnte auch beide Ergebnisse in
einem einzigen vereinen, nämlich dem Vektor [mm] \vec{\omega}_2=\omega_2*\vec{s}
[/mm]
Bezeichnungen:
[mm] M_1, M_2 [/mm] : Kugelmittelpunkte
[mm] r_1, r_2 [/mm] : Kugelradien
[mm] \omega_1, \omega_2 [/mm] : Winkelgeschwindigkeiten
N: Nordpol der Masterkugel (ich nehme also an,
dass die Masterkugel um die Achse $\ M_1N$ rotiert).
B: Berührpunkt der Kugeln
[mm] \rho_1, \rho_2 [/mm] : Rotationsradien bei B gemessen
P: gemeinsame Spitze der zwei Tangentialkegel
Annahmen:
[mm] M_1, [/mm] N, [mm] \omega_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] seien gegeben
Formeln:
$\ [mm] r_1=|\overrightarrow{M_1N}|$
[/mm]
$\ [mm] r_2=|\overrightarrow{M_1M_2}|-r_1$
[/mm]
$\ [mm] B=M_1+\frac{r_1}{r_1+r_2}*\overrightarrow{M_1M_2}$
[/mm]
$\ [mm] k=\frac{\overrightarrow{M_1N}*\overrightarrow{M_1B}}{r_1^2}$
[/mm]
$\ P= [mm] M_1+\frac{1}{k}*\overrightarrow{M_1N}$
[/mm]
$\ [mm] t=|\overrightarrow{PB}|$
[/mm]
[mm] $\alpha=arccos(k)$
[/mm]
[mm] $\beta=arctan(t/r_2)$
[/mm]
[mm] $\rho_1=r_1*sin(\alpha)$
[/mm]
[mm] $\rho_2=r_2*sin(\beta)$
[/mm]
[mm] $\omega_2=\omega_1*\frac{\rho_1}{\rho_2}$
[/mm]
[mm] $\vec{s}=\frac{1}{|\overrightarrow{PM_2}|}*\overrightarrow{PM_2}$
[/mm]
Die Formeln funktionieren im allgemeinen Fall,
können aber in (wichtigen) Spezialfällen versagen.
Für eine komplette Lösung müssten die Formeln
also noch überarbeitet bzw. ergänzt werden
(Fallunterscheidungen).
LG Al-Chwarizmi
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Hallo Al-Chwarizmi.
Vielen Dank für die Formeln!
Ich hoffe, dass ich heute Abend / Nacht dazu kommen werde, sie umzusetzen.
Ich melde mich dann wieder.
Bis dahin viele Grüße,
Mauszeiger
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> Hallo Al-Chwarizmi.
>
> Vielen Dank für die Formeln!
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> Ich hoffe, dass ich heute Abend / Nacht dazu kommen werde,
> sie umzusetzen.
> Ich melde mich dann wieder.
>
> Bis dahin viele Grüße,
>
> Mauszeiger
Guten Tag !
Falls es in Cinema die Möglichkeit gibt, eine Rotations-
Animation durch Angabe der Rotationsachse und der
Winkelgeschwindigkeit festzulegen, sollte es klappen.
Um gewisse Fälle zu vermeiden, in welchen die Formeln
versagen (z.B. parallele Rotationsachsen), habe ich
einen kleinen Trick angewandt: ich verschiebe den
Mittelpunkt der einen Kugel um eine unmerklich kleine
Distanz, um Division durch Null durch Division durch
eine winzige Zahl zu ersetzen. Das ist zwar nicht ganz
stubenrein, aber es funktioniert...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Mi 16.09.2009 | | Autor: | mauszeiger |
Hallo Al-Chwarizmi, hallo HJKweseleit.
Ein Riesenkompliment und ein noch größeres DANKESCHÖN an Euch. Meinen größten Respekt vor Eurem Ehrgeiz und Eurer Hilfsbereitschaft, das findet man wirklich nicht oft im Netz.
Umso mehr bedaure ich, dass ich nicht imstande bin, die Formeln in den nodebasierten Editor einzugeben. Ich habe es ansatzweise probiert, aber dazu fehlen mir einfach zu viele Basics und ich kann und möchte unmöglich weiter Eure Geduld in Anspruch nehmen. :-(
Wie ich weiter oben schon angedeutet habe, fällt es mir sehr schwer, den Ausführungen zu folgen. Ich muss auch gestehen, dass ich mich verschätzt habe, was die Komplexität betrifft. Mein Ansatz war ja ganz einfach (Multiplikation der Rotationswinkel mit 1, bzw. mit -1) - leider war er falsch. Ich dachte und hoffte, vielleicht habe ich nur eine Kleinigkeit übersehen, oder es gibt einen Trick. Dass für so eine (vermeintlich) leichte Sache (eine rotierende Kugel spiegeln) aber dann so viel (für meinen limitieren Mathehorizont) Aufwand und Sachverstand vonnöten ist, hätte ich nicht gedacht.
So, jetzt habe ich also funktionierende Formeln - und bin so schlau wie vorher....
Mir bleibt, glaube ich, nichts anderes übrig, als zu versuchen, die ganze Geschichte anders zu lösen, denn Dein Lösungsweg, lieber Al-Chwarizmi, überschreitet meine Kenntnisse leider.
Ich hoffe, Ihr seid nicht enttäuscht.
Jedenfalls ist hier eine Frage aufgetaucht, die in einem spannenden Thread von mehreren klugen Köpfen thematisiert - und schließlich gelöst wurde - die Suchmaschine, google und Co. freuen sich, und Menschen, die vielleicht einmal vor der gleichen Frage stehen, werden hier eine Antwort finden.
Nochmals herzlichsten Dank für Eure Zeit und Eure Unterstützung!!!
Danke auch nochmal an abakus und chrisno!!!
Spitzen-Forum hier!
Viele Grüße, Mauszeiger
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 10:00 Mi 16.09.2009 | | Autor: | HJKweseleit |
Habe die Grundidee und die Formeln überprüft. Alles richtig! zu ergänzen wäre noch, dass man eine (ganz einfache) Sonderbehandlung für $ [mm] \overrightarrow{M_1N} [/mm] $ senkrecht zu $ [mm] \overrightarrow{M_1M_2} [/mm] $ durchführen sollte:
$ [mm] \vec{s}=\frac{1}{|\overrightarrow{NM_1}|}\cdot{}\overrightarrow{NM_1} [/mm] $
sowie $ [mm] \omega_2=\omega_1\cdot{}\frac{\rho_1}{\rho_2} [/mm] $,
mehr ist dann nicht nötig.
Meine frühere Idee der Aufspaltung in Vektorkomponenten war übrigends nicht richtig.
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