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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Do 06.03.2008 | | Autor: | anna_h |
| Aufgabe | Den zwischen den Abszissen 0 und a<0 liegenden Teil der Parabel [mm] y=\wurzel[3]{x} [/mm] drehe man um die x-Achse und um die y-Achse.
Für welchen wert von a sind die Volumina der so entstehenden Rotationskörper einander gleich? |
So bevor ich in die aufgabe einsteige, habe ich eine grundsätliche Frage:
Es müsste doch a>0 heißen, oder? Hat mein Prof sich da vllt verschrieben?
Komplexe Integrale haben wir noch nie gelöst.
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Hallo!
Komplex ist dieser Ausdruck nicht.
Du hast hier die 3. Wurzel, da sieht das etwas anders aus als bei der quadratischen.
Generell gibt es keine einheitliche Meinung, ob man Wurzeln ungraden Grades aus negativen Zahlen "erlaubt", oder nicht.
Zeichnerisch bekommt man eine Umkehrfunktion ja durch Spiegeln an der 1. Winkelhalbierenden. Während bei [mm] x^2 [/mm] oder [mm] x^4 [/mm] das Problem auftaucht, plötzlich einem x-Wert zwei y-Werte zuzuordnen, gibt es das Problem bei [mm] x^3 [/mm] , [mm] x^5, [/mm] ... ja nicht, weil das eine spiegelsymmetrische Funktion ist.
Kurzum: Es ist dann eigentlich egal, welches Vorzeichen a hat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Mo 10.03.2008 | | Autor: | anna_h |
Und wie läuft das dann mit dem Rotationskörper? Ich habe sowas noch nicht berechnet.
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Hallo [mm]anna\_h[/mm],
> Und wie läuft das dann mit dem Rotationskörper? Ich habe
> sowas noch nicht berechnet.
Für die Rotation um die x-Achse siehe Rotation um die x- Achse.
Für die Rotation um die y-Achse läuft das ähnlich:
[mm]V_{y}=\pi*\integral_{y_{1}}^{y_{2}}{x^{2} dy}[/mm]
Das setzt voraus, dass man die Umkehrfunktion von [mm]y\left(x\right)[/mm] angeben kann. Da dies aber nicht immer möglich ist, macht man folgendes:
[mm]y=f\left(x\right) \Rightarrow dy= f'\left(x\right) dx[/mm]
Damit ist obiges Integral gleichbedeutend mit
[mm]V_{y}=\pi*\integral_{y_{1}=f\left(x_{1}\right)}^{y_{2}=f\left(x_{2}\right)}{x^{2} dy}=\pi*\integral_{x_{1}}^{x_{2}}{x^{2} f'\left(x\right) dx}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Di 11.03.2008 | | Autor: | anna_h |
So, ich habe für
[mm] v_{x}=\bruch{3\pi}{5}*a^{\bruch{5}{3}}
[/mm]
[mm] v_{y}=\bruch{\pi}{7}*a^{\bruch{7}{3}}
[/mm]
Kann das jemand bestätigen? Wenn ein Fehler drin ist, kann ich den WEg noch posten.
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Hallo Anna,
die Ergebnisse sind richtig.
LG, Martinius
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