Rotationskörper um y-Achse < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Sa 28.02.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Die Funktion f(x) = [mm] \bruch{2}{\wurzel{x}} [/mm] und die Gerade x=a definieren einen nach oben offenen Rotationskörper.
Ist das Volumen also für a=2 unbegrenzt? |
Moin!
Für das Volumen eines Rotationskörpers um die y-Achse habe ich folgende Formel gefunden.
[mm] V_y [/mm] = [mm] \pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{(f^{-1}(x))^2 dx}
[/mm]
d.h. f(0)= [mm] \infty
[/mm]
f(2)= [mm] \wurzel{2}
[/mm]
[mm] f^{-1} [/mm]
y = [mm] \bruch{2}{\wurzel{x}} [/mm]
1. vertausche x und y
x = [mm] \bruch{2}{\wurzel{y}} [/mm]
[mm] \wurzel{y}= \bruch{2}{x} [/mm]
y = [mm] \bruch{4}{x}
[/mm]
[mm] V_y [/mm] = [mm] \pi*\integral_{\wurzel{2}}^{\infty}{(\bruch{16}{x^2}) dx}
[/mm]
= [mm] \pi* [-\bruch{16}{x}]
[/mm]
= [mm] \pi*(0 [/mm] - [mm] (-8*\wurzel{2})) [/mm] = [mm] 8*\pi*\wurzel{2}
[/mm]
Richtig?
Gruß
Wolfgang
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Hallo hase-hh,
> Die Funktion f(x) = [mm]\bruch{2}{\wurzel{x}}[/mm] und die Gerade
> x=a definieren einen nach oben offenen Rotationskörper.
>
> Ist das Volumen also für a=2 unbegrenzt?
> Moin!
>
> Für das Volumen eines Rotationskörpers um die y-Achse habe
> ich folgende Formel gefunden.
>
>
> [mm]V_y[/mm] = [mm]\pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{(f^{-1}(x))^2 dx}[/mm]
Hier muss es doch heißen:
[mm]V_y[/mm] = [mm]\pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{(f^{-1}(x))^2 \ d\red{y}}[/mm]
Das kann man auch noch anders schreiben:
[mm]y=f\left(x\right) \Rightarrow dy = f'\left(x\right) \ dx[/mm]
[mm]V_y = \pi*\integral_{a}^{b}{x^{2}*f'\left(x\right) \ dx}[/mm]
>
> d.h. f(0)= [mm]\infty[/mm]
> f(2)= [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> [mm]f^{-1}[/mm]
>
> y = [mm]\bruch{2}{\wurzel{x}}[/mm]
>
> 1. vertausche x und y
>
> x = [mm]\bruch{2}{\wurzel{y}}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{y}= \bruch{2}{x}[/mm]
>
> y = [mm]\bruch{4}{x}[/mm]
>
Hier muß es heißen: [mm]y = \bruch{4}{x^{\red{2}}}[/mm]
>
> [mm]V_y[/mm] = [mm]\pi*\integral_{\wurzel{2}}^{\infty}{(\bruch{16}{x^2}) dx}[/mm]
>
> = [mm]\pi* [-\bruch{16}{x}][/mm]
>
> = [mm]\pi*(0[/mm] - [mm](-8*\wurzel{2}))[/mm] = [mm]8*\pi*\wurzel{2}[/mm]
>
>
> Richtig?
Leider nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Gruß
> Wolfgang
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Sa 28.02.2009 | | Autor: | hase-hh |
Moin
> Hallo hase-hh,
>
> > [mm]V_y[/mm] = [mm]\pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{(f^{-1}(x))^2 dx}[/mm]
>
> Das kann man auch noch anders schreiben:
>
> [mm]y=f\left(x\right) \Rightarrow dy = f'\left(x\right) \ dx[/mm]
>
> [mm]V_y = \pi*\integral_{a}^{b}{x^{2}*f'\left(x\right) \ dx}[/mm]
>
das würde also bedeuten
f(x)= [mm] \bruch{2}{\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] f^{-1}(y) [/mm] = x = [mm] \bruch{2}{\wurzel{y}}
[/mm]
f ' (x) = - [mm] x^{\bruch{-3}{2}} [/mm]
in die Formel einsetzen...
[mm]V_y = \pi*\integral_{a}^{b}{x^{2}*f ' (x) \ dx}[/mm]
[mm]V_y = \pi*\integral_{\wurzel{2}}^{\infty}{x^{2}*(-1)*x^{\bruch{-3}{2}} \ dx}[/mm]
[mm]V_y = \pi*\integral_{\wurzel{2}}^{\infty}{(-1)*x^{\bruch{1}{2}}\ dx}[/mm]
= [mm]\pi* [- \bruch{2}{3}*x^{\bruch{3}{2}][/mm]
Also geht das Volumen doch gegen unendlich?
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Hallo hase-hh,
> Moin
>
> > Hallo hase-hh,
> >
> > > [mm]V_y[/mm] = [mm]\pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{(f^{-1}(x))^2 dx}[/mm]
> >
>
> > Das kann man auch noch anders schreiben:
> >
> > [mm]y=f\left(x\right) \Rightarrow dy = f'\left(x\right) \ dx[/mm]
>
> >
> > [mm]V_y = \pi*\integral_{a}^{b}{x^{2}*f'\left(x\right) \ dx}[/mm]
>
> >
>
> das würde also bedeuten
>
> f(x)= [mm]\bruch{2}{\wurzel{x}}[/mm]
>
> [mm]f^{-1}(y)[/mm] = x = [mm]\bruch{2}{\wurzel{y}}[/mm]
>
> f ' (x) = - [mm]x^{\bruch{-3}{2}}[/mm]
>
> in die Formel einsetzen...
>
> [mm]V_y = \pi*\integral_{a}^{b}{x^{2}*f ' (x) \ dx}[/mm]
>
> [mm]V_y = \pi*\integral_{\wurzel{2}}^{\infty}{x^{2}*(-1)*x^{\bruch{-3}{2}} \ dx}[/mm]
>
> [mm]V_y = \pi*\integral_{\wurzel{2}}^{\infty}{(-1)*x^{\bruch{1}{2}}\ dx}[/mm]
>
> = [mm]\pi* [- \bruch{2}{3}*x^{\bruch{3}{2}][/mm]
>
> Also geht das Volumen doch gegen unendlich?
>
Nein, hier hast Du die Grenzen x=0 und x=2.
Streng genommen mußt Du betrachten:
[mm]V_{y}=\pi \limes_{\epsilon \rightarrow 0} \ [- \bruch{2}{3}*x^{\bruch{3}{2}}]_{\epsilon}^{2}[/mm]
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Sa 28.02.2009 | | Autor: | hase-hh |
ok, also
> > = [mm]\pi* [- \bruch{2}{3}*x^{\bruch{3}{2}][/mm]
> > Also geht das Volumen doch gegen unendlich?
> Nein, hier hast Du die Grenzen x=0 und x=2.
>
> Streng genommen mußt Du betrachten:
>
> [mm]V_{y}=\pi \limes_{\epsilon \rightarrow 0} \ [- \bruch{2}{3}*x^{\bruch{3}{2}}]_{\epsilon}^{2}[/mm]
ok, dann bekomme ich -5,92 heraus ???
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Hallo Wolfgang,
> ok, also
>
> > > = [mm]\pi* [- \bruch{2}{3}*x^{\bruch{3}{2}][/mm]
>
> > > Also geht das Volumen doch gegen unendlich?
>
> > Nein, hier hast Du die Grenzen x=0 und x=2.
> >
> > Streng genommen mußt Du betrachten:
> >
> > [mm]V_{y}=\pi \limes_{\epsilon \rightarrow 0} \ [- \bruch{2}{3}*x^{\bruch{3}{2}}]_{\epsilon}^{2}[/mm]
>
>
> ok, dann bekomme ich -5,92 heraus ??? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Stimmt vom Ergebnis her, aber ein negatives Volumen ist ja komisch, also nimm den Betrag
Oder "schöner" [mm] $\frac{4\cdot{}\sqrt{2}}{3}\cdot{}\pi$
[/mm]
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 So 01.03.2009 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
ich bin nochmal die Formeln durchgegangen, die ja alle zum selben Ergebnis führen müßten.
V = [mm] \pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{(f^{-1}(y))^2 dy}
[/mm]
x = [mm] f^{-1}(y) [/mm]
1. V = [mm] \pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{x^2 dy}
[/mm]
2. V = [mm] \pi*\integral_{a}^{b}{x^2*f '(x) dx}
[/mm]
3. V = [mm] 2*\pi*\integral_{a}^{b}{x*f(x) dx}
[/mm]
Unter Anwendung von 2. erhielten wir
V = | [mm] \bruch{4*\wurzel{2}}{3}*\pi [/mm] |
Bei Anwendung von 3.
V = [mm] 2*\pi*\integral_{0}^{2}{x*\bruch{2}{\wurzel{x}} dx}
[/mm]
V = [mm] 4*\pi*\integral_{0}^{2}{\wurzel{x} dx}
[/mm]
= [mm] 4*\pi*\bruch{2}{3}*2*\wurzel{2}
[/mm]
was ja schon mal was anderes ist -> ?
Bei Anwendung von 1.
V = [mm] \pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{x^2 dy}
[/mm]
f(2)= [mm] \wurzel{2}
[/mm]
f(0)= [mm] \infty
[/mm]
V = [mm] \pi*\integral_{\wurzel{2}}^{\infty}{x^2 dy}
[/mm]
= [mm] \pi*[ x^2*y] [/mm]
dabei ist [mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{4}{y}
[/mm]
= [mm] \pi*[4] [/mm]
= [mm] 4*\pi
[/mm]
noch'n Gedicht... !?
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Hallo hase-hh,
> Moin,
>
> ich bin nochmal die Formeln durchgegangen, die ja alle zum
> selben Ergebnis führen müßten.
>
> V = [mm]\pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{(f^{-1}(y))^2 dy}[/mm]
>
> x = [mm]f^{-1}(y)[/mm]
>
> 1. V = [mm]\pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{x^2 dy}[/mm]
>
> 2. V = [mm]\pi*\integral_{a}^{b}{x^2*f '(x) dx}[/mm]
>
> 3. V = [mm]2*\pi*\integral_{a}^{b}{x*f(x) dx}[/mm]
>
>
> Unter Anwendung von 2. erhielten wir
>
> V = | [mm]\bruch{4*\wurzel{2}}{3}*\pi[/mm] |
>
>
> Bei Anwendung von 3.
>
> V = [mm]2*\pi*\integral_{0}^{2}{x*\bruch{2}{\wurzel{x}} dx}[/mm]
>
> V = [mm]4*\pi*\integral_{0}^{2}{\wurzel{x} dx}[/mm]
>
> = [mm]4*\pi*\bruch{2}{3}*2*\wurzel{2}[/mm]
>
> was ja schon mal was anderes ist -> ?
>
>
> Bei Anwendung von 1.
> V = [mm]\pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{x^2 dy}[/mm]
>
> f(2)= [mm]\wurzel{2}[/mm]
> f(0)= [mm]\infty[/mm]
>
> V = [mm]\pi*\integral_{\wurzel{2}}^{\infty}{x^2 dy}[/mm]
>
> = [mm]\pi*[ x^2*y][/mm]
>
> dabei ist [mm]x^2[/mm] = [mm]\bruch{4}{y}[/mm]
>
> = [mm]\pi*[4][/mm]
>
> = [mm]4*\pi[/mm]
>
> noch'n Gedicht... !?
>
Nein, hier ist die falsche Umkehrfunktion verwendet worden:
[mm]y=\bruch{2}{\wurzel{x}} \Rightarrow x = \bruch{4}{y^{2}}[/mm]
[mm]\Rightarrow x^{2} = \bruch{16}{y^{4}}[/mm]
Das integriert, und die Grenzen eingesetzt, liefert dasselbe wie 2.
Die Herkunft der Formel unter 3 kann ich mir nicht erklären.
>
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 So 01.03.2009 | | Autor: | hase-hh |
> Hallo hase-hh,
>
> > Moin,
> >
> > ich bin nochmal die Formeln durchgegangen, die ja alle zum
> > selben Ergebnis führen müßten.
> >
> > V = [mm]\pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{(f^{-1}(y))^2 dy}[/mm]
> >
> > x = [mm]f^{-1}(y)[/mm]
> >
> > 1. V = [mm]\pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{x^2 dy}[/mm]
> >
> > 2. V = [mm]\pi*\integral_{a}^{b}{x^2*f '(x) dx}[/mm]
> >
> > 3. V = [mm]2*\pi*\integral_{a}^{b}{x*f(x) dx}[/mm]
> >
> >
> > Unter Anwendung von 2. erhielten wir
> >
> > V = | [mm]\bruch{4*\wurzel{2}}{3}*\pi[/mm] |
> >
> >
> > Bei Anwendung von 3.
> >
> > V = [mm]2*\pi*\integral_{0}^{2}{x*\bruch{2}{\wurzel{x}} dx}[/mm]
>
> >
> > V = [mm]4*\pi*\integral_{0}^{2}{\wurzel{x} dx}[/mm]
> >
> > = [mm]4*\pi*\bruch{2}{3}*2*\wurzel{2}[/mm]
> >
> > was ja schon mal was anderes ist -> ?
> >
> >
> > Bei Anwendung von 1.
> > V = [mm]\pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{x^2 dy}[/mm]
> >
> > f(2)= [mm]\wurzel{2}[/mm]
> > f(0)= [mm]\infty[/mm]
> >
> > V = [mm]\pi*\integral_{\wurzel{2}}^{\infty}{x^2 dy}[/mm]
> >
> > = [mm]\pi*[ x^2*y][/mm]
> >
> > dabei ist [mm]x^2[/mm] = [mm]\bruch{4}{y}[/mm]
> >
> > = [mm]\pi*[4][/mm]
> >
> > = [mm]4*\pi[/mm]
> >
> > noch'n Gedicht... !?
> >
>
>
> Nein, hier ist die falsche Umkehrfunktion verwendet
> worden:
>
> [mm]y=\bruch{2}{\wurzel{x}} \Rightarrow x = \bruch{4}{y^{2}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x^{2} = \bruch{16}{y^{4}}[/mm]
>
> Das integriert, und die Grenzen eingesetzt, liefert
> dasselbe wie 2.
Offenbar habe ich bisher die Umkehrfunktion falsch gebildet.
Nämlich
1. vertausche x und y
2. löse nach y auf
Aber eigentlich soll man nur
nach x auflösen...
y = [mm] \bruch{2}{\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] \wurzel(x) [/mm] = [mm] \bruch{2}{y}
[/mm]
x = [mm] \bruch{4}{y^2} [/mm]
> Die Herkunft der Formel unter 3 kann ich mir nicht
> erklären.
Habe ich bei wikipedia gefunden unter Rotationskörper...
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper#Rotation_um_y-Achse
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Hallo hase-hh,
> > Hallo hase-hh,
> >
> > > Moin,
> > >
> > > ich bin nochmal die Formeln durchgegangen, die ja alle zum
> > > selben Ergebnis führen müßten.
> > >
> > > V = [mm]\pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{(f^{-1}(y))^2 dy}[/mm]
> > >
>
> > > x = [mm]f^{-1}(y)[/mm]
> > >
> > > 1. V = [mm]\pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{x^2 dy}[/mm]
> > >
> > > 2. V = [mm]\pi*\integral_{a}^{b}{x^2*f '(x) dx}[/mm]
> > >
> > > 3. V = [mm]2*\pi*\integral_{a}^{b}{x*f(x) dx}[/mm]
> > >
> > >
> > > Unter Anwendung von 2. erhielten wir
> > >
> > > V = | [mm]\bruch{4*\wurzel{2}}{3}*\pi[/mm] |
> > >
> > >
> > > Bei Anwendung von 3.
> > >
> > > V = [mm]2*\pi*\integral_{0}^{2}{x*\bruch{2}{\wurzel{x}} dx}[/mm]
>
> >
> > >
> > > V = [mm]4*\pi*\integral_{0}^{2}{\wurzel{x} dx}[/mm]
> > >
> > > = [mm]4*\pi*\bruch{2}{3}*2*\wurzel{2}[/mm]
> > >
> > > was ja schon mal was anderes ist -> ?
> > >
> > >
> > > Bei Anwendung von 1.
> > > V = [mm]\pi*\integral_{f(a)}^{f(b)}{x^2 dy}[/mm]
> > >
> > > f(2)= [mm]\wurzel{2}[/mm]
> > > f(0)= [mm]\infty[/mm]
> > >
> > > V = [mm]\pi*\integral_{\wurzel{2}}^{\infty}{x^2 dy}[/mm]
> > >
> > > = [mm]\pi*[ x^2*y][/mm]
> > >
> > > dabei ist [mm]x^2[/mm] = [mm]\bruch{4}{y}[/mm]
> > >
> > > = [mm]\pi*[4][/mm]
> > >
> > > = [mm]4*\pi[/mm]
> > >
> > > noch'n Gedicht... !?
> > >
> >
> >
> > Nein, hier ist die falsche Umkehrfunktion verwendet
> > worden:
> >
> > [mm]y=\bruch{2}{\wurzel{x}} \Rightarrow x = \bruch{4}{y^{2}}[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow x^{2} = \bruch{16}{y^{4}}[/mm]
> >
> > Das integriert, und die Grenzen eingesetzt, liefert
> > dasselbe wie 2.
>
> Offenbar habe ich bisher die Umkehrfunktion falsch
> gebildet.
>
> Nämlich
>
> 1. vertausche x und y
> 2. löse nach y auf
>
> Aber eigentlich soll man nur
>
> nach x auflösen...
>
> y = [mm]\bruch{2}{\wurzel{x}}[/mm]
>
> [mm]\wurzel(x)[/mm] = [mm]\bruch{2}{y}[/mm]
>
> x = [mm]\bruch{4}{y^2}[/mm]
>
>
> > Die Herkunft der Formel unter 3 kann ich mir nicht
> > erklären.
>
> Habe ich bei wikipedia gefunden unter Rotationskörper...
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper#Rotation_um_y-Achse
>
>
Ok.
Ich habe herausgefunden, daß sich die Ergebnisse von 1 bzw. 2 um [mm]4*\wurzel{2}[/mm] unterscheiden.
Das ist genau das Volumen wenn das Rechteck,
welches durch die Geraden [mm]x=0, \ x=2, \ y=0, y = \wurzel{2}[/mm] begrenzt wird, um die y-Achse rotiert.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:57 So 01.03.2009 | | Autor: | hase-hh |
moin,
> Ich habe herausgefunden, daß sich die Ergebnisse von 1 bzw.
> 2 um [mm]4*\wurzel{2}[/mm] unterscheiden.
> Das ist genau das Volumen wenn das Rechteck,
> welches durch die Geraden [mm]x=0, \ x=2, \ y=0, y = \wurzel{2}[/mm]
> begrenzt wird, um die y-Achse rotiert.
>
>
> Gruß
> MathePower
Das kann nicht sein.
Ich habe nach dem Einsetzen der "richtigen" Umkehrfunktion dasselbe heraus, d.h. bei 1. und 2.
Alles andere verstehe ich nicht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 03.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 Sa 28.02.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, hier sind ja auch die Betragsstriche
[mm] V_y=\pi\integral_{a}^{b}{x^{2}*|f'(x)| dx}
[/mm]
Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Sa 28.02.2009 | | Autor: | hase-hh |
ok. leider fehlen die betragsstriche bei wikipedia rotationskörper...
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