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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo, Leute!
Also, wir haben letztens Rotationskörper angefangen.
Die Formel für's Volumen, wenn sich Flächen um die x-Achse im Intervall von a bis b drehen, lautet ja:
[mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}{f(x)² dx}
[/mm]
Nur weiß ich leider nicht ganz wieso.
Uns wurde gesagt: Es werden Zylinder eingeschoben, ähnlich wie bei der Ober- & Untersumme bei der Flächenberechnung unter Kurven.
Beispiel am Kegel:
Dann gilt folgende Ungleichung: [mm] V_{Zylinder.O}>V_{Kegel}>V_{Zylinder.U}
[/mm]
[mm] \pi R²h>V_{Kegel}>\pi [/mm] r²h |:h
[mm] \pi R²>\bruch{V_{Kegel}}{h}>\pi [/mm] r²
Jetzt gehen die Höhen der Zylinder gegen 0, also die Anzahl von ihnen gegen unendlich. Deshalb kann man
[mm] \bruch{V_{Kegel}}{h}
[/mm]
als eine Art Differenzialquotienten sehen. Man würde also V' erhalten und integriert deshalb wieder.
[mm] V=\integral_{a}^{b}{\pi r² dr}=\bruch{1}{3}\pi [/mm] r³
Bis hierhin ist auch eigentlich alles klar.
Aber dann wurde uns gesagt, dass dann die allgemeine Form
[mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}{f(x)² dx} [/mm] ist. Woher kommt das ² dort eigentlich? Und wenn etwas falsch ist, bitte ich um Berichtigung und noch etwas Erklärung :) dankeschön.
Oder wenn ihr vielleicht eine andere einfache Herleitung kennt wäre das auch hilfreich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Fr 27.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du die unendlich kleinen "Stücke" rotieren lässt, enstehen unendlich "flache" Kreise, mit dem Radius f(x).
Die Fläche eines Kreises berechnest du ja mit [mm] \pi*r², [/mm] also wird es in diesem Fall
[mm] \pi*[f(x)]²
[/mm]
Wenn du jetzt alle Kreise aufsummierst, erhaltst du
[mm] V(x)=\pi\integral_{a}^{b}[f(x)]²dx
[/mm]
Hilft dir das weiter? Wenn nicht, scheu dich nicht, weiterzufragen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Teufel |
Ah klar, danke dir ;) Ich glaube ich hab's jetzt. Das bestimmte Integral drückt ja dann sozusagen alle Radien der unendlich kleinen Kreise aus, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Fr 27.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Yep
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Teufel |
Ok! Vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Teufel |
Ah cool :) der 2. Link war auch sehr hilfreich! Obwohl ich es auch nicht ganz nachvollziehen kann, warum aus V(x)-V(x+h) das richtige Volmen entsteht. Es ist nur klar, dass es zwischen q(x)*h und q(x+h)h liegt. Die weiteren Schritte sind auch klar, nur nicht, dass daraus wirklich das gesuchte Volumen entsteht.
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Hallo Teufel,
> Ah cool :) der 2. Link war auch sehr hilfreich! Obwohl ich
> es auch nicht ganz nachvollziehen kann, warum aus
> V(x)-V(x+h) das richtige Volmen entsteht. Es ist nur klar,
> dass es zwischen q(x)*h und q(x+h)h liegt. Die weiteren
> Schritte sind auch klar, nur nicht, dass daraus wirklich
> das gesuchte Volumen entsteht.
Ich gehe mal davon aus, dass du die Streifen-Methode zur  Bestimmung des Flächenintegrals verstanden hast.
Sonst ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ![[]](/images/popup.gif) dynamische Veranschaulichung
Da hast du nun die Streifen unter dem Funktionsgraph und weißt, dass sie zusammengenommen eine erste Näherung der Fläche unter dem Graphen darstellen.
Machen wir mal ein Gedankenexperiment:
nimm die Streifen und lass sie mal um die x-Achse drehen:
was entsteht
* für einen Streifen: ein kleiner Zylinder mit der Höhe [mm] $\Delta [/mm] x$ und dem Radius f(x);
* für mehrere Streifen nebeneinander: ein Körper, der aus solchen Zylinderscheiben aufgebaut ist ("Turm von Hanoi", wenn du das Spiel kennst)
Sein Volumen ist jetzt auch wieder eine Näherung für das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man den Graphen um die x-Achse dreht.
Und jetzt macht man wieder den Grenzübergang [mm] $\Delta [/mm] x [mm] \rightarrow [/mm] 0$: die Näherung mit dem Zylinderkörper wird immer besser und hat als Grenzwert das gesuchte Volumen unter dem Graphen.
Verständlich? Sonst frag' gezielt nach.
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Teufel |
Jo, ich glaube, ich hab's jetzt. Vielen Dank!
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