Rotationsmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:02 Fr 24.11.2006 | | Autor: | jasmen |
Hallo,
kann mir jemand helfen, eine Rotationsmatrix in einzelnen Schritten aufstellen, mit der man um die Achse (1,1,1) und den Winkel a rotiert?
Danke vielmals
jasmen
|
|
| |
|
Hallo jasmen!
> Hallo,
> kann mir jemand helfen, eine Rotationsmatrix in einzelnen
> Schritten aufstellen, mit der man um die Achse (1,1,1) und
> den Winkel a rotiert?
(1,1,1) ist keine Achse. Um welche Achse möchtest du denn rotieren? Im [mm] \IR^3? [/mm] Jedenfalls findest du ![[]](/images/popup.gif) hier Rotationsmatrizen für den [mm] \IR^2 [/mm] und für den [mm] \Ir^3 [/mm] um alle Achsen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Fr 24.11.2006 | | Autor: | jasmen |
Hallo Bastiane,
die Rotation soll um den Winkel a erfolgen. Bei der Wikipedia findet man schon fertige Transformationen. Ich brauche die einzelnen Schritte/Transformationen
Danke
jasmem
|
|
|
| |
|
Hallo,
@Bastiane: Es ist doch durchaus üblich, einen Ortsvektor als Drehachse zu benutzen, zumindest in bestimmten Disziplinen. Also geht hier um die Ursprungsgerade durch (1,1,1).
@jasmen;
Ich gehe davon aus, dass du nur elementare Drehungen um x-, y- und z-Achse benutzen darfst. Also müssen wir das Koordinatensystem so drehen, dass deine Achse A auf einer der drei Koordinatenachsen zum Liegen kommt, dann führen wir unsere Drehung durch und machen schließlich die vorherigen Drehungen rückgängig.
Ich schlage vor, wir drehen so, dass A auf der z-Achse zum Liegen kommt.
Zuerst drehen wir A um die y-Achse so, dass sie im positiven Quadranten der yz-Ebene landet. Das sei mal die Rotation [mm] $R_1 [/mm] = [mm] R_y(\phi)$. [/mm] Den Drehwinkel [mm] $\phi$ [/mm] müssen wir noch bestimmen.
Dann drehen wir um die x-Achse, bis unsere Drehachse genau auf der z-Achse liegt. Die Rotation sei [mm] $R_2 [/mm] = [mm] R_x(\psi)$. [/mm] Auch [mm] $\psi$ [/mm] müssen wir noch bestimmen.
Nun kann die Drehung um die z-Achse mit dem Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] erfolgen.
Schließlich stellen wir noch unser Koordinatensystem wieder her, indem wir [mm] $R_1$ [/mm] und [mm] $R_2$ [/mm] wieder rückgängig machen.
Wir können schon einmal so viel ausrechnen:
[mm]R_A(\alpha) = \left(R_2\cdot{}R_1\right)^{-1}\cdot{}R_z(\alpha)\cdot{}R_2\cdot{}R_1\\
= R_1^{-1}\cdot{}R_2^{-1}\cdot{}R_z(\alpha)\cdot{}R_2\cdot{}R_1\\
= R_y(\phi)^{-1}\cdot{}R_x(\psi)^{-1}\cdot{}R_z(\alpha)\cdot{}R_x(\psi)\cdot{}R_y(\phi)[/mm]
[mm]= R_y(-\phi)\cdot{}R_x(-\psi)\cdot{}R_z(\alpha)\cdot{}R_x(\psi)\cdot{}R_y(\phi)[/mm] (I)
Nun müssen wir noch [mm] $\phi$ [/mm] und [mm] $\psi$ [/mm] bestimmen.
Den Winkel zwischen zwei Achsen (gegeben durch Ortsvektoren) berechnen wir gemäß:
[mm]\cos\angle(\vec{u},\vec{v}}) = \bruch{\vec{u}\cdot{}\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\cdot{}\left|\vec{v}\right|}[/mm]
Wenn die Drehung im Uhrzeigersinn stattfindet, muss noch ein Minus davor. Am besten machst du dir mal eine Skizze.
Wir erhalten so [mm] $\phi [/mm] = -45°$.
Um [mm] $\psi$ [/mm] zu erhalten, rechnen wir am besten:
[mm]\cos\psi = \cos\angle(R_1\cdot{}\vektor{1\\1\\1},\vektor{0\\0\\1})[/mm]
Wir bestimmen hier also den Winkel zwischen der um [mm] $\psi$ [/mm] gedrehten Achse und der z-Achse.
Das alles müssen wir nur noch in (I) einsetzen und sind fertig.
Gruß
Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Fr 24.11.2006 | | Autor: | jasmen |
Hallo Martin,
vielen lieben Dank für deine ausführliche Erklärung!
Habe bis zu den Winkeln verstanden:
Wie hast du den ersten Winkel (45°) genau ausgerechnet?
Wie gross ist dann der zweite Winkel?
Danke!
jasmen
|
|
|
| |
|
Hallo,
um den ersten Winkel [mm] $\phi$ [/mm] zu berechnen, überlegen wir, um wieviel wir die Drehachse (1,1,1) um die y-Achse drehen müssen, damit sie in der yz-Ebene landet.
Da sich die Drehung um die y-Achse entlang einer Ebene senkrecht dazu abspielt, projizieren wir mal Start- und Zielachse in die xz-Ebene und erhalten als projizierten Startvektor (1,0,1) (y-Komponente ist 0) und als projizierten Zielvektor (0,0,1). Das sind unsere Vektoren [mm] $\vec{u}, \vec{v}$. [/mm] In die obige Formel einsetzen, Winkel [mm] $\phi$ [/mm] berechnen.
Wendet man nun auf den eigentlichen Startvektor (1,1,1) die Drehung [mm] $R_y(\phi)$ [/mm] an, erhält man den neuen Startvektor. Der neue Zielvektor ist die z-Achse, also (0,0,1). Diese beiden Vektoren wieder für [mm] $\vec{u}$ [/mm] und [mm] $\vec{v}$ [/mm] einsetzen, [mm] $\psi$ [/mm] berechnen und schon hat man alle Zutaten.
Gruß
Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Fr 24.11.2006 | | Autor: | jasmen |
Ok, alles klar, verstanden.
Ist die Reihenfolge bei (I) richtig? Müssen nicht zuerst die Rotationen um y,x,z erfolgen und erst dann die Inversen zu y und x?
Schöne Grüsse
jasmen
|
|
|
| |
|
Nun, dann überleg mal, welche der Matrizen zuerst mit einem Vektor multipliziert wird.
Wenn ich eine Folge von Rotationen habe, die auf einen Vektor angewandt werden:
[mm] $\vec{v}'=R_5\cdot{}R_4\cdot{}R_3\cdot{}R_2\cdot{}R_1\cdot{}\vec{v}$,
[/mm]
dann ist [mm] $R_1$ [/mm] die erste Rotation, die man anwendet, nicht die letzte!
Gruß
Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Fr 24.11.2006 | | Autor: | jasmen |
ok, vielen dank!
jasmen
|
|
|
|
