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Ich möchte & muss die Herleitung einer Rotationsmatrix für eine Drehung im dreidimensionalen Vektorraum verstehen. Meine Frage im Klartext also:
- Wie gelange ich von den mir bekannten Rotationsmatrizen für Rotationen des Vektors [mm]\begin{pmatrix}
x & y & z & 1
\end{pmatrix}[/mm] um die X-,Y- und Z-Achse [mm]R_x, R_y[/mm] und [mm]R_z[/mm]...
[mm]
R_x =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\
0 & -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm]
R_y =
\begin{pmatrix}
\cos \alpha & 0 & -\sin \alpha & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
\sin \alpha & 0 & \cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm]
R_z =
\begin{pmatrix}
\cos \alpha & \sin \alpha & 0 & 0 \\
-\sin \alpha & \cos \alpha & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
...zur folgenden Matrixgleichung für die Drehung um eine beliebige Achse:
[mm]
(1-\cos \alpha)
\begin{pmatrix}
x^2 & xy & xz & 0 \\
xy & y^2 & yz & 0 \\
xz & yz & z^2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
+\cos \alpha
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
-\sin \alpha
\begin{pmatrix}
0 & -z & y & 0 \\
z & 0 & -x & 0 \\
-y & x & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
wobei [mm]x,y[/mm] und [mm]z[/mm] die jeweilige Komponente der normierten Rotationsachse und [mm]\alpha[/mm] den Drehwinkel kennzeichnet.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Daniel!
Wie man aus den Standarddrehungen direkt auf die Darstellung kommt, weiß ich nicht, aber ich kann dir das Ganze ein wenig plausibilisieren. Die vierte Dimension lasse ich weg, denn ich sehe jetzt nicht, warum du die eingeführt hast (damit passiert ja gar nichts).
Für einen nomrierten Vektor $(x,y,z) [mm] \in \IR^3$ [/mm] und einen Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] definiert man eine $(3 [mm] \times [/mm] 3)$-Matrix $D$ durch die Abbildungsvorschrift:
(*) [mm] $D(\alpha)w:= [/mm] w + [mm] (\sin(\alpha)) \cdot [(x,y,z)^T \times [/mm] w] + (1- [mm] \cos(\alpha)) \cdot [(x,y,z)^T \times ((x,y,z)^T \times [/mm] w)]$.
Wegen [mm] $(x,y,z)^T \times (x,y,z)^T [/mm] =0$ folgt:
[mm] $[D(\alpha)]((x,y,z)^T) [/mm] = [mm] (x,y,z)^T$,
[/mm]
d.h. [mm] $\IR [/mm] (x,y,z)$ ist eine Fixgerade von [mm] $D(\alpha)$. [/mm]
Weiterhin gilt natürlich
[mm] $D(\alpha) [/mm] = [mm] D(\alpha [/mm] + [mm] 2\pi)$.
[/mm]
Mit der Grassmann-Identität
($a [mm] \times( [/mm] b [mm] \times [/mm] c) [mm] =\langle [/mm] a,c [mm] \rangle [/mm] b - [mm] \langle [/mm] a,b [mm] \rangle [/mm] c$)
kann man (*) auch so schreiben:
[mm] $D(\alpha)w= [/mm] w + [mm] (\sin(\alpha)) \cdot [(x,y,z)^T \times [/mm] w] + (1- [mm] \cos(\alpha)) \cdot ((x,y,z)^T \times ((x,y,z)^T \times [/mm] w))$
$= w + [mm] (\sin(\alpha)) \cdot [(x,y,z)^T \times [/mm] w] + (1- [mm] \cos(\alpha)) \cdot [/mm] [ [mm] \langle (x,y,z)^T, [/mm] w [mm] \rangle [/mm] (x,y,z)T - [mm] \underbrace{\langle (x,y,z)^T,(x,y,z)^T \rangle}_{=\, 1} [/mm] w]$
$= w + [mm] \sin(\alpha) \cdot [(x,y,z)^T \times [/mm] w] + (1- [mm] \cos(\alpha)) \cdot \langle (x,y,z)^T, [/mm] w [mm] \rangle (x,y,z)^T [/mm] - w + [mm] \cos(\alpha) [/mm] w$
$= [mm] \sin(\alpha) \cdot [(x,y,z)^T \times [/mm] w] + (1- [mm] \cos(\alpha)) \cdot \langle (x,y,z)^T, [/mm] w [mm] \rangle (x,y,z)^T [/mm] + [mm] \cos(\alpha) [/mm] w$.
Überlege dir durch Einsetzen der Einheitsvektoren [mm] $e_i$ [/mm] jetzt mal, wie die Matrixdarstellung von [mm] $D(\alpha)$ [/mm] aussieht, dann siehst du, dass man genau deine Darstellung erhält.
Jetzt muss man sich noch davon überzeugen, dass [mm] $D(\alpha)$ [/mm] tatsächlich eine Drehung, also aus $O(3)$, ist.
Dazu zeigt man (das ist leicht):
1) [mm] $D(\alpha)\, D(\beta) [/mm] = [mm] D(\alpha [/mm] + [mm] \beta)$,
[/mm]
2) [mm] $[D(\alpha)]^T [/mm] = [mm] D(-\alpha)$.
[/mm]
Aus 1) folgt zunächst wegen
[mm] $D(\alpha)\, D(-\alpha) [/mm] = D(0) = [mm] E_3$
[/mm]
die Beziehung
[mm] $[D(\alpha)]^{-1} [/mm] = [mm] D(-\alpha)$
[/mm]
und daraus zusammen mit 2)
[mm] $[D(\alpha)]^T [/mm] = [mm] [D(\alpha)]^{-1}$.
[/mm]
Demnach ist [mm] $D(\alpha)$ [/mm] in der Tat orthogonal, also eine Drehung, und der Vektor [mm] $(x,y,z)^T$ [/mm] wird (siehe oben!) festgehalten.
Die Matrix leistet also alles, was wir uns von ihr wünschen!! ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
Liebe Grüße
Stefan
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