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| Aufgabe | | Eine Kugel hat den Radius r und den Mittelpunkt m. Berechne das Volumen des Kugelsegments der Höhe h.. |
[Diese Frage wurde von mir in keinem anderen Forum gestellt]
Hallo mal wieder!
Die Gleichung eines Kreises in der Ebene lautet m.W.: [mm] x^2+y^2 [/mm] = [mm] r^2.
[/mm]
Da der Mittelpunkt verschoben ist habe ich folgende Formel:
$ [mm] (x-x_M)^2 [/mm] + [mm] (y-y_M)^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] => y = [mm] y_M \pm \sqrt{r^2 - (x-x_M)^2} [/mm] $
Die gesuchte Fläche entspricht nun dem Integral
$ [mm] \pi [/mm] * [mm] \int_{x_M + r-h}^{x_M +r} (y_M^2 [/mm] + [mm] (r^2-(x-x_M)^2) \pm 2y_M\sqrt{r^2-(x-x_M)^2})dx [/mm] $
Kann ich dann nicht von Anfang an den verschobenen Mittelpunkt außer Acht lassen? Wenn ich die Kugel nämlich so verschiebe, dass der Mittelpunkt zum Ursprung wird, dann verändert sich ja gleichermaßen auch die obere bzw. untere Integralgrenze und ich erhalte:
$ [mm] \pi [/mm] * [mm] \int_{r-h}^r (r^2-x^2) [/mm] dx $
Oder muss ich mit obigem Integral weiterrechnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Sa 16.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Eine Kugel hat den Radius r und den Mittelpunkt m. Berechne
> das Volumen des Kugelsegments der Höhe h..
> [Diese Frage wurde von mir in keinem anderen Forum
> gestellt]
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> Hallo mal wieder!
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> Die Gleichung eines Kreises in der Ebene lautet m.W.:
> [mm]x^2+y^2[/mm] = [mm]r^2.[/mm]
>
> Da der Mittelpunkt verschoben ist habe ich folgende
> Formel:
>
> [mm](x-x_M)^2 + (y-y_M)^2 = r^2 => y = y_M \pm \sqrt{r^2 - (x-x_M)^2}[/mm]
>
> Die gesuchte Fläche entspricht nun dem Integral
>
> [mm]\pi * \int_{x_M + r-h}^{x_M +r} (y_M^2 + (r^2-(x-x_M)^2) \pm 2y_M\sqrt{r^2-(x-x_M)^2})dx[/mm]
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> Kann ich dann nicht von Anfang an den verschobenen
> Mittelpunkt außer Acht lassen? Wenn ich die Kugel nämlich
> so verschiebe, dass der Mittelpunkt zum Ursprung wird, dann
> verändert sich ja gleichermaßen auch die obere bzw.
> untere Integralgrenze und ich erhalte:
>
> [mm]\pi * \int_{r-h}^r (r^2-x^2) dx[/mm]
> Oder muss ich mit obigem
> Integral weiterrechnen?
Das ist eine schöne und zulässige Vereinfachung, rechne also mit den letzten Integral weiter.
Marius
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Das freut mich natürlich sehr 
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