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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | | Der Graph der Funktion f mit f(x) = [mm] \bruch{1}{4}x^2+1 [/mm] begrenzt mit der y.Achse und den Geraden mit den Gleichungen y=2 und y=3 eine Fläche, die um die y-Achse rotiert. Bestimmen Sie das Volumen V des entstehenden Rotationskörpers. |
Hallo.
In den folgenden Zeilen gehts mir um die Schreibweise, das Ergebnis scheint mir richtig zu sein.
Also zunächst einmal muss man die Umkehrfunktion von f(x) bilden.
f(x) = [mm] \bruch{1}{4}x^2+1
[/mm]
[mm] y=\bruch{1}{4}x^2+1
[/mm]
[mm] x=\bruch{1}{4}y^2+1 [/mm] // nach y umgestellt
[mm] y^2 [/mm] = 4x-4
Und nun das Volumen berechnen mit
V = [mm] \pi \integral_{2}^{3} y^2 [/mm] dy
V = [mm] \pi \integral_{2}^{3} [/mm] 4y-4 dy
Nun die Frage, darf man das so schreiben? Ist das eine offizielle Schreibweise?
[mm] =6\pi [/mm] (Nebensächlich)
Grüße Phoney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Phoney!
Warum zweifelst du? Weil du am Schluss "statt $x$" wieder $y$ schreibst?
Das ist völlig egal. Wichtig ist nur, dass die Variable beim Integranden und beim Differential identisch ist.
Kleine Anmerkung: Ich würde den Integranden bei Summen und Differenzen immer in Klammern schreiben, ansonsten ist alles bestens. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Mo 09.01.2006 | | Autor: | dominik |
Hallo Phoney
> In den folgenden Zeilen gehts mir um die Schreibweise, das
> Ergebnis scheint mir richtig zu sein.
>
> Also zunächst einmal muss man die Umkehrfunktion von f(x)
> bilden.
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{4}x^2+1[/mm]
> [mm]y=\bruch{1}{4}x^2+1[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{1}{4}y^2+1[/mm] // nach y umgestellt
>
> [mm]y^2[/mm] = 4x-4
>
> Und nun das Volumen berechnen mit
>
> V = [mm]\pi \integral_{2}^{3} y^2[/mm] dy
Es muss heissen:
[mm] $V=\pi \integral_{2}^{3} x^2 [/mm] dy$
[mm] $4y-4=x^2$ [/mm] und nicht [mm] $y^2$
[/mm]
> V = [mm]\pi \integral_{2}^{3}[/mm] 4y-4 dy
Das ist wieder in Ordnung
Viele Grüsse
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Doch, das war schon richtig so, da er ja vorher die Variablen vertauscht hat.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Mo 09.01.2006 | | Autor: | dominik |
Also noch einmal:
[mm] \integral {y^2 dy}\not=\integral{(4y-4)}dy
[/mm]
weil nicht [mm] $y^2$ [/mm] gleich $4y-4$ ist, sondern [mm] $x^2$ [/mm] gleich $4y-4$ ist.
$ [mm] \integral {y^2 dy}= \br {y^3}{3}+C$
[/mm]
[mm] $\integral{(4y-4)}dy=2y^2-4y+C$
[/mm]
Vergleiche: Man schreibt:
$ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)dx}= \integral_{a}^{b}{y\ dx}$
[/mm]
und setzt für $f(x)=y$ die Funktionsgleichung ein, die x als unabhängige Variable enthält, und:
$ [mm] \integral_{c}^{d}{g(y)dy}=\integral_{c}^{d}{x\ dy}$
[/mm]
und setzt hier für $g(y)=x$ die Funktionsgleichung ein, die y enthält.
Und genau das wollte Phoney doch wissen!
Viele Grüsse
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Das war Unsinn...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:24 Di 10.01.2006 | | Autor: | dominik |
Hallo Stephan!
> [mm]\integral {y^2 dy}\not= \integral{(4y-4)}dy[/mm]
>
> Hier kann durchaus ein Gleichheitszeichen stehen, wenn man
> -wie in diesem Fall- bestimmte Integrale hat und keine
> unbestimmten.
Dies hat doch damit nichts zu tun!
Schau doch mal:
[mm] $\integral_{2}^{3} {y^2 dy}=\br {1}{3}[y^3]_{2}^{3} =\br {1}{3}(3^3-2^3)=\br {1}{3}(27-8)=\br [/mm] {19}{3}$
[mm] $\integral_{2}^{3}{(4y-4)}dy=[2y^2-4y]_{2}^{3}=18-12-(8-8)=4$
[/mm]
> Es war also alles richtig.
> Wie man dann die Integrationvariable nennt, ist und bleibt einfach egal.
Viele Grüsse!
dominik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Di 10.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Okay, sorry, jetzt habe ich dein Problem erst verstanden.
Ja, da hast du natürlich Recht!!
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Okay, danke.
Genau das wollte ich wissen.
Grüße Phoney
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