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Rotationsvolumina: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:11 So 19.04.2009
Autor: MontBlanc

Aufgabe
Begründen Sie an einem selbstgewaählten Beispiel, dass zwei flächeninhaltsgleiche Stücke bei der Rotation um die x-Achse nicht zwangsläufig dasselbe rotationsvolumen haben.

Hallo,

also ich habe mir dazu folgendes überlegt:

Nehmen wir als Beispiel [mm] f(x)=x^2 [/mm] und [mm] g(x)=x^3 [/mm]

Im Intervall von [0;1] schließt f(x) einen [mm] \bruch{1}{3} [/mm] Fe großen Flächeninhalt mit der x-Achse ein, [mm] x^3 [/mm] tut dies im intervall [0;1,08] z.B..
Meine Begründung ist nun, dass [mm] x^3 [/mm] quasi nicht so "dick" ist wie [mm] x^2 [/mm] und sich daher die höhe ändert bzw auch die querschnittsfläche. Und da ein Volumen immer von der "höhe" abhängt, ist es bei [mm] x^3 [/mm] kleiner. Kommt mir ein bisschen wenig vor.
Hat jemand eine Idee wie man das eloquenter begründen kann?

Danke schonmal,

exeqter

        
Bezug
Rotationsvolumina: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:34 So 19.04.2009
Autor: benkes

Aufgabe
Begründen Sie an einem selbstgewählten Beispiel, dass zwei flächeninhaltsgleiche Stücke bei der Rotation um die x-Achse nicht zwangsläufig denselben Flächeninhalt einschließen.  

Müsste die Aufgabe nicht

Begründen Sie an einem selbstgewählten Beispiel, dass zwei flächeninhaltsgleiche Stücke bei der Rotation um die x-Achse nicht zwangsläufig dasselbe Rotationsvolumen haben.

lauten??

Bezug
                
Bezug
Rotationsvolumina: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:36 So 19.04.2009
Autor: MontBlanc

hi,

danke für die mitteilung, habe ich geändert.

schönen sonntag

Bezug
        
Bezug
Rotationsvolumina: rechnen!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 So 19.04.2009
Autor: Loddar

Hallo exeqter!


Meines Erachtens heißt hier "begründen", dass Du einfach von beiden Flächen das entsprechende Rotationsvolumen berechnen sollst und anschließend vergleichen.

Wende also auf beide gewählte Funktionen die entsprechende Formel an:
[mm] $$V_x [/mm] \ = \ [mm] \pi*\integral_{x_1}^{x_2}{f^2(x) \ dx}$$ [/mm]


Gruß
Loddar


PS: Du hast falsch gerundet: bei der 2. Funktion muss die obere Grenze lauten:
[mm] $$x_2 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[4]{\bruch{4}{3}} [/mm] \ = \ 1{,}074569932... \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] 1{,}0\red{7}$$ [/mm]


Bezug
                
Bezug
Rotationsvolumina: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:00 So 19.04.2009
Autor: MontBlanc

hallo,

dem ist leider nicht so. Es wurde im Erwartungshorizont (das ist eine Abituraufgabe aus dem Jahr 2008 Niedersachsen, Aufgabe 1A Nachschreibtermin erhöhtes Anforderungsniveau). Und dort wird gefordert die Lage der Graphen zur x-Achse und damit die sich unterscheidenden Rotationsvolumina zu begründen.

Berechnet habe ich die Volumen nun, aber warum sind sie nun nicht gleich ? eben wegen dieser "dicke" oder auch "höhe", wie man es auch nennen möchte?

lg

Bezug
                        
Bezug
Rotationsvolumina: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:57 So 19.04.2009
Autor: Martinius

Hallo,

vielleicht hilft es ja, ein Quadrat mit Seitenlänge 1 cm zu nehmen: einmal liegt es auf der x-Achse, ein anderes mal z. B. 5 cm darüber.

[mm] $V_{x1}=\pi*\int_{0}^1(1)^2\;dx=\pi[x]_{0}^1=\pi cm^3$ [/mm]

[mm] $V_{x1}=\pi*\int_{0}^1(6)^2-(5)^2\;dx=\pi[11x]_{0}^1=11\pi cm^3$ [/mm]

Da ist es doch evident, das mit steigendem Abstand von der x-Achse das Volumen des Rotationskörpers steigt.

LG, Martinius

Bezug
                                
Bezug
Rotationsvolumina: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:38 Mo 20.04.2009
Autor: MontBlanc

hi,

danke dür deine anschauliche erklärung.

lg

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