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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Mi 17.03.2010 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Durch Rotation eines Kreises mit dem Mittelpunkt M(0;b) und dem Radius r mit b [mm] \ge [/mm] r, um die 1. Achse entsteht ein Torus, dessen Volumen zu berechnen ist. Berechne dazu die Volumina derjenigen Körper, die bei Rotation der oberen bzw. unteren Kreislinie um die 1. Achse entstehen.
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Hallo Leute,
also so muss das fertige Gebilde aussehen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
um die Aufgabenstellung zu verstehen, habe ich versucht das Gebilde in einen Koordinatensystem zu packen, komme aber scheinbar nicht ganz klar, was genau gemeint ist.(Weil so kann das nicht hinhauen!)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hat jemand eine Idee??
(Geht nicht um die Berechnung - nur um das Verständnis der Aufgabenstellung)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hi, sifide,
> Durch Rotation eines Kreises mit dem Mittelpunkt M(0;b) und
> dem Radius r mit b [mm]\ge[/mm] r, um die 1. Achse entsteht ein
> Torus, dessen Volumen zu berechnen ist. Berechne dazu die
> Volumina derjenigen Körper, die bei Rotation der oberen
> bzw. unteren Kreislinie um die 1. Achse entstehen.
>
>
> Hallo Leute,
>
> also so muss das fertige Gebilde aussehen:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Naja: Das Bild muss man sich natürlich um 90° gedreht denken,
denn der Kreis soll ja um die x-Achse rotieren.
Also: stehender Autoreifen, nicht liegender.
Nun berechnest Du zunächst das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn Du die obere Hälfte des Kreises um die x-Achse rotieren lässt, also die Funktion y= [mm] +\wurzel{r^{2}-x^{2}}+b. (V_{1})
[/mm]
Dann berechnest Du das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn Du die untere Hälfte des Kreises um die x-Achse rotieren lässt, also die Funktion y= [mm] -\wurzel{r^{2}-x^{2}}+b. (V_{2})
[/mm]
Am Ende muss Du noch V = [mm] V_{1} [/mm] - [mm] V_{2} [/mm] berechnen und Du hast den gesuchten Torus.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mi 17.03.2010 | | Autor: | silfide |
Danke.
Allerdings, wenn ich den Torus einfach nur um 90° drehe, ist mir unklar wie die untere Kreislinie definiert ist.
Deshalb kam ich ja auf die Idee, das anders zu machen - wobei mir dann die Berechnung nicht einleuchten würde...
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Hi, silfide,
> Allerdings, wenn ich den Torus einfach nur um 90° drehe,
> ist mir unklar wie die untere Kreislinie definiert ist.
Naja: Gemeint ist doch, dass Du keinen ganzen Kreis um die x-Achse rotieren lässt, sondern (nacheinander) 2 Halbkreise.
Lässt Du den oberen Halbkreis rotieren, kriegst Du sozusagen ein altsumerisches Rad, also ein Rad, aus einer ganzen Scheibe,
zwar außen schön abgerundet, aber eben kein Reifen" wie wir ihn heute kennen.
Lässt Du den unteren Halbreis rotieren, kriegst Du genau den Teil des Rades, den Du sozusagen "rausbohren" oder "raussägen" musst, um einen Reifen draus zu machen.
Jetzt klar?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mi 17.03.2010 | | Autor: | silfide |
Soweit war es mir ja klar - muss so aussehen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mir fehlt aber irgendwie der Radius des inneren/untere Halbkreises. Oder ist der b? Das quasi r+b=R ist und R der Radius des gesamten Torus (also äußere/obere Kreislinie)??
Ich glaube, ich drücke mich nicht vernünftig aus...
Oder weißt du, was ich meine??
Dateianhänge:
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich schätze mal das sollte wohl eher so aussehen, ein Rotationsvolumen (oberer Halbkreis) erzeugt dir eine Scheibe , die komplett innen gefüllt ist. Um den Torus zu erhalten musst du das Rotationsvolumen das unteren Halbkreises abziehen.
Gruss Christian
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Durch Rotation eines Kreises mit dem Mittelpunkt M(0;b) und
> dem Radius r mit b [mm]\ge[/mm] r, um die 1. Achse entsteht ein
> Torus, dessen Volumen zu berechnen ist. Berechne dazu die
> Volumina derjenigen Körper, die bei Rotation der oberen
> bzw. unteren Kreislinie um die 1. Achse entstehen.
Falls die Aufgabe so gemeint war, wie sie da steht, ist die
Antwort ganz einfach: das Volumen ist gleich Null, weil bei
der Rotation eines Kreisbogens um eine Achse eine Fläche
vom Volumen Null erzeugt wird.
Die gesamte Torusfläche hat deshalb auch das Volumen
Null.
Richtig sollte es in der Aufgabenstellung heißen:
Berechne dazu zunächst die Volumina derjenigen Körper, die
bei der Rotation der beiden Gebiete
$\ [mm] G_1\ [/mm] =\ [mm] \{\ (x,y)\ |\ -r\le x\le r\ \wedge\ 0\le y\le b+\sqrt{r^2-x^2}\ \}$
[/mm]
$\ [mm] G_2\ [/mm] =\ [mm] \{\ (x,y)\ |\ -r\le x\le r\ \wedge\ 0\le y\le b-\sqrt{r^2-x^2}\ \}$
[/mm]
um die x-Achse entstehen.
LG Al-Chw.
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