Rotationsvolumina,Bogenlänge < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:48 So 05.12.2004 | | Autor: | Reele |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mir ist auch nach Nachschlagen in mehreren Büchern nicht ganz klar warum, bei den Formeln für das Rotationsvolumen einer Funktion bzw. für die Bogenlänge die Stetigkeit von f (bei Rotationskörpern) bzw. f' (bei Bogenlängen) voraussgesetzt werden muss. Entscheidend ist doch jeweils die Integrierbarkeit, also die Existenz des Grenzwertes der Zerlegungssummen. Und Stetigkeit ist zwar hinreichend für Integrierbarkeit, nicht aber zwingend notwendig (z.B. bei Treppenfunktionen).
Was habe ich da übersehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 So 05.12.2004 | | Autor: | baskolii |
Hi!
Also ich kann mich daran erinnern, dass ich bei der Herleitung der Formel für das Rotationsvolumen einer Funktion den Fundamentalsatz der Int.+Diff.-rechnung gebraucht habe und der gilt nun mal nur für stetige Funktionen.
Aber stell dir doch mal einen Körper vor, der durch Rotation einer Funktion entsteht, die an einer Stelle unstetig ist. Der wäre ja nicht abgeschlossen und wie will man da das Volumen berechnen.
Im übrigen muss deine Funktion ja auch nur auf dem betrachteten Intervall stetig sein.
ich hoffe das hilft dir.
mfg Verena
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 So 05.12.2004 | | Autor: | Reele |
Deine Antwort hilft mir leider nicht so recht. Anschaulich ist die Sache klar (die Randlinie eines Körpers muss natürlich stetig sein), aber rein formal geht es doch nur um die Existenz des jeweiligen Integrals bei beiden Formeln. Und wo wird beim Beweis der Formel der Fundamentalsatz (Hauptsatz) gebraucht ? In den Büchern, in denen ich nachgelesen habe wird dieser nicht erwähnt. Das wäre auch komisch, denn der Hauptsatz (in dem ja tatsächlich Stetigkeit verlangt wird), macht doch nur eine Aussage über die Berechenbarkeit von Integralen mit Hilfe von Stammfunktionen, nicht aber die über die Existenz.
Also muss da noch was anderes sein, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:29 Do 09.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Reele,
> Deine Antwort hilft mir leider nicht so recht. Anschaulich
> ist die Sache klar (die Randlinie eines Körpers muss
> natürlich stetig sein), aber rein formal geht es doch nur
> um die Existenz des jeweiligen Integrals bei beiden
> Formeln. Und wo wird beim Beweis der Formel der
> Fundamentalsatz (Hauptsatz) gebraucht ? In den Büchern, in
> denen ich nachgelesen habe wird dieser nicht erwähnt. Das
> wäre auch komisch, denn der Hauptsatz (in dem ja
> tatsächlich Stetigkeit verlangt wird), macht doch nur eine
> Aussage über die Berechenbarkeit von Integralen mit Hilfe
> von Stammfunktionen, nicht aber die über die Existenz.
>
> Also muss da noch was anderes sein, oder?
Deine Formel für Rotationsvolumina hat doch einen schulischen Hintergrund, oder?
Dort werden doch nur Riemann-Integrale behandelt, die doch nur für stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen erklärt sind (soweit ich mich erinnere).
Dort werden sie zwar noch erweitert auf bestimmte offene Intervalle (uneigentliche Integrale 1. und 2. Art) und dann natürlich auch auf stückweise stetige Funktionen.
Insofern verwundert doch die Voraussetzung nicht, dass f stetig sein soll. Wie du ja bereits überlegt hast, kann man die Klasse der integrierbaren Funktionen zwar noch erweitern, die Erweiterung greift aber immer auf die ursprüngliche Definition mit einer stetigen Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall zurück.
Viele Grüße,
Marc
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