Rotierendes Dreieck im Graphen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich schreibe am Montag eine Matheklausur (GK) und habe i-wie voll Probleme mit dieser Aufgabe:
Und zwar: Ein rechtwinkeliges Dreieck befindet sich innerhalb eines Graphen.
f(u)= Wurzel u - 1/3u
a) Es soll möglichst groß werden
A(u)=1/2*u*f(u)
Was muss ich hier für u einsetzen?
Dann berechne ich doch das Maxium [A'(u) und A''(u)]
b) Berechnen Sie den eingeschlossenen Rest (zwischen Graphen und Dreieck) [0<u<9]
Also Integral 0-9 - A(u rest) hat unser Lehrer an die Tafel geschrieben, aber wie berechene ich hier den A(u rest)
c) Wie groß ist der %tuale Anteil des Restes?
Rest*100/Gesamtfläche
d) Das Dreieck rotiert
Also ergibt sich doch ein Kegel
Höhe h - u Wert (was ist denn nun der u Wert?)
Radius - f(u)
Volumen eines Kegels Vk=1/3*Pi*r²*h
=1/3*Pi*(Wurzel u - 1/4*u)²*u
e) Wann hat der Kegel das größte Volumen?
Also wieder von der o.g. Formel das Maximum suchen
Brauche ich da wieder das Integral?
Unser Lehrer hat die Aufgabe in den letzten 2 Minuten an die Tafel geschrieben und ist nicht mehr zum rechnen gekommen ... .
Könnte mir bitte einer Grob nee Übersichersicht der Aufgabe hinschreiben, so dass ich es verstehe?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hi,
Hi.
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> ich schreibe am Montag eine Matheklausur (GK) und habe
> i-wie voll Probleme mit dieser Aufgabe:
>
> Und zwar: Ein rechtwinkeliges Dreieck befindet sich
> innerhalb eines Graphen.
>
> f(u)= Wurzel u - 1/3u
>
> a) Es soll möglichst groß werden
>
> A(u)=1/2*u*f(u)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Was muss ich hier für u einsetzen?
>
? Gar nichts, das ist die Variable, von der die Dreiecksflächeninhaltsfunktion abhängig ist. Du musst lediglich für $f(u)$ das entsprechende Einsetzen.
> Dann berechne ich doch das Maxium [A'(u) und A''(u)]
>
> b) Berechnen Sie den eingeschlossenen Rest (zwischen
> Graphen und Dreieck) [0<u<9]
>
> Also Integral 0-9 - A(u rest) hat unser Lehrer an die Tafel
> geschrieben, aber wie berechene ich hier den A(u rest)
>
Also du ziehst einfach von der Fläche zwischen $x$-Achse und Graph den Flächeninhalt des Dreiecks ab. Was hier das "rest" in der Klammer zu suchen hat, ist mir nicht klar.
> c) Wie groß ist der %tuale Anteil des Restes?
>
> Rest*100/Gesamtfläche
>
> d) Das Dreieck rotiert
>
> Also ergibt sich doch ein Kegel
>
> Höhe h - u Wert (was ist denn nun der u Wert?)
Du hast doch ein bestimmtes $u$ für den maximalen Flächeninhalt des Dreiecks berechnet.
> Radius - f(u)
>
> Volumen eines Kegels Vk=1/3*Pi*r²*h
> =1/3*Pi*(Wurzel u - 1/4*u)²*u
>
> e) Wann hat der Kegel das größte Volumen?
>
> Also wieder von der o.g. Formel das Maximum suchen
>
> Brauche ich da wieder das Integral?
>
Nein, du sollst nur das bestimmte $u$ (ich würde jetzt lieber eine andere Variable nehmen, z.B. $p$) für das maximale Volumen bestimmen, das hat nichts mit dem Volumen an sich zu tun, welches du mit einem Integral bestimmen könntest. Aber deine Vorgehensweise ist ebenso richtig.
> Unser Lehrer hat die Aufgabe in den letzten 2 Minuten an
> die Tafel geschrieben und ist nicht mehr zum rechnen
> gekommen ... .
>
> Könnte mir bitte einer Grob nee Übersichersicht der Aufgabe
> hinschreiben, so dass ich es verstehe?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Grüße, Stefan.
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Wenn ich jetzt z.B. die Gleichung [mm] f(x)=4*e^{x} [/mm] hätte, dann sähe doch a) so aus:
[mm] A(x)=0,5*x4*e^{x}
[/mm]
Das könnte ich doch dann auch so schreiben:
[mm] A(x)=2x*e^{x}
[/mm]
Produktregel angewendet:
u = 2x
u'=2
v= [mm] e^{x} [/mm]
v'= [mm] e^{x}
[/mm]
f'(x)=u'*v+u*v'
[mm] f'(x)=2*e^{x}+2x*e^{x}
[/mm]
Ausklammern von 2 und [mm] e^{x}
[/mm]
[mm] f'(x)=2e^{x}(1+x)
[/mm]
Anwendung der Produktregel:
u= [mm] 2e^{x} [/mm]
[mm] u'=2e^{x}
[/mm]
v= 1+x
v'= 1
f'(x)=u'*v+u*v'
[mm] f'(x)=2e^{x} [/mm] * (1+x) [mm] +2e^{x} [/mm] *1
[mm] f'(x)=2e^{x} [/mm] * (1+1+x) [Ist falsch abgeleitet oder?]
Maximum:
NB: f'(x)=0
[mm] f'(x)=2e^{x}(1+x) [/mm] = 0
Bevor ich weiter rechne habe ich folgende Fragen:
- Wie bestimme ich hier die Nullstellen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Maraike89 |
[mm] \f'(x)=2e^{x} [/mm] (1+x) = 0
[mm] 2e^{x} [/mm] ^ (1+x)
x1=-1
Aber wie geht die für [mm] 2e^{x} [/mm] oder war da nur eine Nullstelle?
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Hallo,
[mm] f''(x)=2e^{x}(1+1+x)=2e^{x}(2+x)
[/mm]
[mm] 0=2e^{x}(1+x) [/mm] ein Produkt wird zu Null, wenn einer der Faktoren Null ist, [mm] 2e^{x} [/mm] kann nicht zu Null werden, also (1+x)=0 für x=-1
Steffi
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Danke euch beiden schon mal!
Ein rechtwinkeliges Dreieck befindet sich innerhalb eines Graphen.
a) Es soll möglichst groß werden:
Wenn ich jetzt z.B. die Gleichung [mm] f(x)=4*e^{x} [/mm] hätte, dann sähe doch so aus:
[mm] A(x)=0,5*x*4*e^{x}
[/mm]
Das könnte ich doch dann auch so schreiben:
[mm] A(x)=2x*e^{x}
[/mm]
Produktregel angewendet:
u = 2x
u'=2
v= [mm] e^{x}
[/mm]
v'= [mm] e^{x}
[/mm]
A'(x)=u'*v+u*v'
[mm] A'(x)=2*e^{x}+2x*e^{x}
[/mm]
Ausklammern von 2 und [mm] e^{x}
[/mm]
[mm] A'(x)=2e^{x}(1+x)
[/mm]
Anwendung der Produktregel:
u= [mm] 2e^{x}
[/mm]
[mm] u'=2e^{x}
[/mm]
v= 1+x
v'= 1
A''(x)=u'*v+u*v'
[mm] A''(x)=2e^{x} [/mm] * (1+x) [mm] +2e^{x} [/mm] *1
[mm] A''(x)=2e^{x} [/mm] * (2+x)
Maximum:
NB: f'(x)=0
[mm] A'(x)=2e^{x}(1+x) [/mm] = 0
[mm] \A'(x)=2e^{x} [/mm] (1+x) = 0
[mm] 2e^{x} [/mm] ^ (1+x)
x1=-1
************ Weiterführung***************
NB: A'= 0 und A'' [mm] \not= [/mm] 0
Einsetzen von (-1) in A''(x)
[mm] A''(-1)=2e^{-1} [/mm] * (2-1) = 0,74 Ist also ein Tiefpunkt :-( da 0<0,74
[Die Aufgabe habe ich selber erfunden ich tue mal so als ob das ein Hochpunkt wäre]
b) Berechnen Sie den eingeschlossenen Rest (zwischen Graphen und Dreieck) [0<u<9]
Berechnung des Flächeninhaltes des Graphen im Intervall 0-9
| A= [mm] \integral_{0}^{9}{4*e^{x} dx} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{9}{2x*e^{x} dx} [/mm] |
*** Ausgerechnet mit Taschenrechner [Casio fx-991ES]****
|A= 32408,33 - 129651,34|
A = 97243,01
C)Prozentualer Anteil an der Gesamtfläche
Rest*100/Gesamtfläche
1295641,34*100 / 32408,33 = 3997,87 % (hab ich i-wie einen Fehler gemacht oder liegt das an der ausgedachten Aufgabe, bei der der TP ein HP ist usw.?)
d) Das Dreieck rotiert
Also ergibt sich ein Kegel
Höhe h [mm] \hat= [/mm] x Wert
Radius [mm] \hat= [/mm] A(x) oder f(x) ?
Vk=1/3*Pi*r²*h
[mm] Vk=1/3*Pi*(4*e^{x})²*[blue](-1) [/mm] oder?[/blue]
e) Wann hat der Kegel das größte Volumen?
Maximum suchen
[mm] Vk=1/3*Pi*(4*e^{x})²*(-1)
[/mm]
NB Vk=0
Vk'= Wie leite ich denn das jetzt ab, mit der Produktregel? Sry aber wir hatten das immer mit max. 2 Zahlen, könnte mir das mal einer detailliert aufschreiben
Stimmt das alles so?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Sa 19.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mareike!
Dein Beispiel ist etwas ungünstig gewählt mit $f(x) \ = \ [mm] 4*e^x$ [/mm] , da hier keine abgeschlossener Bereich zwischen Kurve und Achsen abgeschlossen wird.
> a) Es soll möglichst groß werden:
>
> Wenn ich jetzt z.B. die Gleichung [mm]f(x)=4*e^{x}[/mm] hätte, dann
> sähe doch so aus:
>
> [mm]A(x)=0,5*x*4*e^{x}[/mm]
> Das könnte ich doch dann auch so schreiben:
> [mm]A(x)=2x*e^{x}[/mm]
> Produktregel angewendet:
>
> u = 2x
> u'=2
> v= [mm]e^{x}[/mm]
> v'= [mm]e^{x}[/mm]
>
> A'(x)=u'*v+u*v'
> [mm]A'(x)=2*e^{x}+2x*e^{x}[/mm]
>
> Ausklammern von 2 und [mm]e^{x}[/mm]
>
> [mm]A'(x)=2e^{x}(1+x)[/mm]
> Anwendung der Produktregel:
>
> u= [mm]2e^{x}[/mm]
> [mm]u'=2e^{x}[/mm]
> v= 1+x
> v'= 1
>
>
> A''(x)=u'*v+u*v'
> [mm]A''(x)=2e^{x}[/mm] * (1+x) [mm]+2e^{x}[/mm] *1
> [mm]A''(x)=2e^{x}[/mm] * (2+x)
> x1=-1
> NB: A'= 0 und A'' [mm]\not=[/mm] 0
>
> Einsetzen von (-1) in A''(x)
>
> [mm]A''(-1)=2e^{-1}[/mm] * (2-1) = 0,74 Ist also ein Tiefpunkt :-(
> da 0<0,74
>
> [Die Aufgabe habe ich selber erfunden ich tue mal so als ob
> das ein Hochpunkt wäre]
Nun ja, Du hast halt ein minimales Dreiecke ermittelt. Denn ein maximales gibt es für diese Funktion nicht.
> b) Berechnen Sie den eingeschlossenen Rest (zwischen
> Graphen und Dreieck) [0<u<9]
>
> Berechnung des Flächeninhaltes des Graphen im Intervall 0-9
Und hier wird es nun unlogisch (wie Du auch an Deinen Prozentsätzen merkst).
Dein Dreieck liegt ja hier im 2. Quadranten (alos für negative x-Werte) und Du vergleichst das nun mit einer willkürlich gewählten Fläche im 1. Quadranten.
Aber prinzipiell scheinst Du das richtig zu machen.
> C)Prozentualer Anteil an der Gesamtfläche
>
> Rest*100/Gesamtfläche
>
> 1295641,34*100 / 32408,33 = 3997,87 % (hab ich i-wie einen
> Fehler gemacht oder liegt das an der ausgedachten Aufgabe,
> bei der der TP ein HP ist usw.?)
Kommentar / Erläuterung: siehe oben!
> d) Das Dreieck rotiert
>
> Also ergibt sich ein Kegel
>
> Höhe h [mm]\hat=[/mm] x Wert
> Radius [mm]\hat=[/mm] A(x) oder f(x) ?
Der Radius wird gebildet durch den Funktionswert $r \ = \ f(x)$ (im Zweifelsfalle eine Skizze machen).
> Vk=1/3*Pi*r²*h
> [mm]Vk=1/3*Pi*(4*e^{x})²*[blue](-1)[/mm] oder?[/blue]
Wenn Du nun das Volumen für [mm] $x_0 [/mm] \ = \ -1$ berechnen willst, musst Du natürlich auch überall $x_$ ersetzen durch $-1_$ ...
> e) Wann hat der Kegel das größte Volumen?
> Maximum suchen
[mm]Vk=1/3*Pi*(4*e^{x})²*(-1)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Dann darfst Du natürlich nicht schon $-1_$ einsetzen.
> NB Vk=0
> Vk'= Wie leite ich denn das jetzt ab, mit der
> Produktregel? Sry aber wir hatten das immer mit max. 2 [/mm]
> Zahlen, könnte mir das mal einer detailliert aufschreiben[/blue]
Deine Volumenfunktion sieht ja nun wie folgt aus:
[mm] $V_K [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\pi*\left(4*e^x\right)^2*x [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{3}*x*16*e^{2x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{16\pi}{3}*x*e^{2x}$
[/mm]
Damit hast Du ja nun wieder nur 2 Faktoren, die Du wie gewohnt mit der  Produktregel ermitteln kannst.
Für 3 Faktoren lautet die entsprechende Produktregel:
$(u*v*w)' \ = \ u'*v*w+u*v'*w+u*v*w'$
Gruß
Loddar
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Danke, na ja so etwas hatten wir noch nicht.
Der Lehrer hat als Beispielgleichung [mm] \wurzel{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}x [/mm] schnell an die Tafel geschrieben. Kann ich die Gleichung folgendermaßen Umformen:
[mm] \wurzel{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}x [/mm] |()²
x = [mm] \bruch{1}{9}x²
[/mm]
- [mm] \bruch{1}{9}x² [/mm] + x = f(x)
Und dann dauerhaft als Gleichung benutzen und muss man das aus jedem Ergebnis die Wurzel ziehen? Oder wie gehe ich mit der [mm] \wurzel{x} [/mm] um? x hoch 1/2 ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 So 20.05.2007 | | Autor: | Kroni |
> Danke, na ja so etwas hatten wir noch nicht.
>
> Der Lehrer hat als Beispielgleichung [mm]\wurzel{x}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{3}x[/mm] schnell an die Tafel geschrieben. Kann ich
> die Gleichung folgendermaßen Umformen:
Nein, kannst du nicht! Quadrieren ist im Normalfall keine Äquivalenzumformung!
>
> [mm]\wurzel{x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}x[/mm] |()²
> x = [mm]\bruch{1}{9}x²[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{9}x²[/mm] + x = f(x)
>
> Und dann dauerhaft als Gleichung benutzen und muss man das
> aus jedem Ergebnis die Wurzel ziehen? Oder wie gehe ich mit
> der [mm]\wurzel{x}[/mm] um? x hoch 1/2 ?
Du wirst, falls es sich hier um eine Funktion handelt, einfach weiter mit dem [mm] \wurzel{x}-1/3 [/mm] x weiter rechnen müssen.
Dass das Ganze nicht passt, kannst du dir hier ansehen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und auch selbst, wenn du die Wurzel aus deinem f(x) zeihst, passt das ganze nicht.
LG
Kroni
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Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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b) Berechnen Sie den eingeschlossenen Rest (zwischen Graphen und Dreieck) [0<u<9]
Muss man das so rechnen:
Also Intervall (Graph) minus Intervall (Dreieck)
| A= $ [mm] \integral_{0}^{9}{4\cdot{}e^{x} dx} [/mm] $ - $ [mm] \integral_{0}^{9}{2x\cdot{}e^{x} dx} [/mm] $ |
oder
f(x)=A(x)
[mm] 4\cdot{}e^{x} [/mm] $ = [mm] 2x\cdot{}e^{x} [/mm] $
Und dann zusammenrechnen und die Gleichung dann in ein Intervall einsetzen? Oder kommt das aufs Gleiche raus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 So 20.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
> b) Berechnen Sie den eingeschlossenen Rest (zwischen
> Graphen und Dreieck) [0<u<9]
>
> Muss man das so rechnen:
> Also Intervall (Graph) minus Intervall (Dreieck)
>
> | A= [mm]\integral_{0}^{9}{4\cdot{}e^{x} dx}[/mm] -
> [mm]\integral_{0}^{9}{2x\cdot{}e^{x} dx}[/mm] |
>
Genau das.
[mm] A=\integral_{0}^{9}{4\cdot{}e^{x}dx}-\integral_{0}^{9}{2x\cdot{}e^{x}dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{9}{4\cdot{}e^{x}-2x\cdot{}e^{x}dx}
[/mm]
Marius
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