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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Fry |
Hey !
Also ich habe eine Frage zum Beweis des Satzes von Rouché
Dort hat man folgenden Ausdruck:
[mm] N(t)=\frac{1}{2\pi i}*\int_{\Gamma}\frac{f'(z)+t*(g'(z)-f'(z))}{f(z)+t*(g(z)-f(z))}dz
[/mm]
wobei f,g holomorphe Funktionen auf offener Menge U, [mm] t\in [/mm] [0,1]
[mm] \Gamma [/mm] Randzyklus von K (Menge, die relativkompakt in U liegt)
[mm] \underline{Frage:} [/mm] Jetzt wird gesagt, dass der Integrand eine stetige Fkt (nach t) ist und daher auch N(t) stetige Fkt .Aber warum?
Hier hat man wohl die Sätze aus der Integrationstheorie bzw über parameterabhängiger Integrale benutzt oder ?
Ein Satz lautet: [mm] \Gamma [/mm] Int-Weg, [mm] M\subset\IR^n [/mm] und f: Sp [mm] \Gamma\times M\to \IC [/mm] stetige Funktion. Dann gilt:
[mm] $F(t)=\int_{\Gamma}\ [/mm] f(z,t) dz$ ist stetig auf M.
Warum reicht es anscheinend nur Stetigkeit auf [0,1] zu untersuchen ?
Es müsste doch die Funktion auf Stetigkeit auf Sp [mm] \Gamma [/mm] x [0,1] untersucht werden...
Könnte mir jemand da weiterhelfen?
Wäre echt super, wenn jemand Rat wüsste.
Gruß
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Sa 10.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hey !
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> Also ich habe eine Frage zum Beweis des Satzes von Rouché
> Dort hat man folgenden Ausdruck:
>
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> [mm]N(t)=\frac{1}{2\pi i}*\int_{\Gamma}\frac{f'(z)+t*(g'(z)-f'(z))}{f(z)+t*(g(z)-f(z))}dz[/mm]
>
>
> wobei f,g holomorphe Funktionen auf offener Menge U, [mm]t\in[/mm]
> [0,1]
> [mm]\Gamma[/mm] Randzyklus von K (Menge, die relativkompakt in U
> liegt)
>
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> [mm]\underline{Frage:}[/mm] Jetzt wird gesagt, dass der Integrand
> eine stetige Fkt (nach t) ist und daher auch N(t) stetige
> Fkt .Aber warum?
>
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> Hier hat man wohl die Sätze aus der Integrationstheorie
> bzw über parameterabhängiger Integrale benutzt oder ?
>
> Ein Satz lautet: [mm]\Gamma[/mm] Int-Weg, [mm]M\subset\IR^n[/mm] und f: Sp
> [mm]\Gamma\times M\to \IC[/mm] stetige Funktion. Dann gilt:
> [mm]F(t)=\int_{\Gamma}\ f(z,t) dz[/mm] ist stetig auf M.
>
>
> Warum reicht es anscheinend nur Stetigkeit auf [0,1] zu
> untersuchen ?
> Es müsste doch die Funktion auf Stetigkeit auf Sp [mm]\Gamma[/mm]
> x [0,1] untersucht werden...
Der fragliche Integrand ist eine holomorphe und damit stetige Funktion von z, und der Nenner hat auf [mm] $\Gamma$ [/mm] keine Nullstellen. Also ist der Integrand stetig.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Fry |
Danke schön :)!
LG
Fry
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