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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | [mm] A\in\IR^{2x2}, b\in\IR^2
[/mm]
a)Schreiben Sie ein Programm in MATLAB, das die Lösung des Systems Ax=b nach der Cramerschen Regel findet.
b)Zeigen Sie durch ein numerisches Beispiel, das die Berechnung der Lösung mit der Cramerschen Regel nicht rückwärtsstabil ist. |
Hallo.
a) habe ich bereits fertig:
function x = cramer(A,b)
x=zeros(2,1);
d=A(1,1)*A(2,2)-A(1,2)*A(2,1);
x(1)=(A(2,2)*b(1)-A(1,2)*b(2))/d;
x(2)=(-A(2,1)*b(1)+A(1,1)*b(2))/d;
end
Das klappt auch.
b) Hier weiß ich leider nicht so genau wie ich vorgehen soll. Mir ist klar, dass ich eine schlecht konditionierte Matrix nehmen muss. Ich dachte an sowas: [mm] A=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0.99 }, cond_\infty(A) [/mm] = [mm] ||A||_\infty ||A^{-1}||_\infty [/mm] = 2*200=400
Wie hatten allerdings nie eine Definition des Begriffes "rückwärtsstabil", daher habe ich mir eine herausgesucht:
![[]](/images/popup.gif) http://mitschriebwiki.nomeata.de/Numerik1Latex.pdf.5.pdf(Seite 7, Rückwärtsanalyse), allerdings weiß ich irgendwie nicht wie ich das hier in meiner Aufgabe realisieren soll, weil mir nicht klar ist, was die x, die da in den Normen stehen hier in meiner aufgabe sein sollen. Es sind doch eigentlich Eingabewerte oder? Ich habe aber 2 Eingabewerte, nämlich A und b und ich weiß nicht, wie ich da dieses rho berechnen soll...Ich glaube ich verstehe die Definition nicht ganz.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Ich habe den Link oben korrigiert. Nun solltest Du nicht mehr im Nirvana landen. 
Gruß
Loddar
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> Ich habe den Link oben korrigiert. Nun solltest Du nicht
> mehr im Nirvana landen.
Hallo Loddar,
hab mich jetzt hier im Nirvana ein wenig umgeschaut,
und es gefällt mir eigentlich ausnehmend gut ...
Ich denke, dass ich von jetzt an so periodisch hin
und her pendeln werde.
Vorerst wünsche ich euch allen einen schönen Winter !
LG Al
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> [mm]A\in\IR^{2x2}, b\in\IR^2[/mm]
>
> a)Schreiben Sie ein Programm in MATLAB, das die Lösung des
> Systems Ax=b nach der Cramerschen Regel findet.
>
> b)Zeigen Sie durch ein numerisches Beispiel, das die
> Berechnung der Lösung mit der Cramerschen Regel nicht
> rückwärtsstabil ist.
>
>
> Hallo.
>
> a) habe ich bereits fertig:
>
> function x = cramer(A,b)
> x=zeros(2,1);
> d=A(1,1)*A(2,2)-A(1,2)*A(2,1);
> x(1)=(A(2,2)*b(1)-A(1,2)*b(2))/d;
> x(2)=(-A(2,1)*b(1)+A(1,1)*b(2))/d;
> end
>
> Das klappt auch.
>
> b) Hier weiß ich leider nicht so genau wie ich vorgehen
> soll. Mir ist klar, dass ich eine schlecht konditionierte
> Matrix nehmen muss. Ich dachte an sowas: [mm]A=\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0.99 }, cond_\infty(A)[/mm]
> = [mm]||A||_\infty ||A^{-1}||_\infty[/mm] = 2*200=400
>
> Wie hatten allerdings nie eine Definition des Begriffes
> "rückwärtsstabil", daher habe ich mir eine herausgesucht:
> http://mitschriebwiki.nomeata.de/Numerik1Latex.pdf.5.pdf(Seite
> 7, Rückwärtsanalyse), allerdings weiß ich irgendwie
> nicht wie ich das hier in meiner Aufgabe realisieren soll,
> weil mir nicht klar ist, was die x, die da in den Normen
> stehen hier in meiner aufgabe sein sollen. Es sind doch
> eigentlich Eingabewerte oder? Ich habe aber 2 Eingabewerte,
> nämlich A und b und ich weiß nicht, wie ich da dieses rho
> berechnen soll...Ich glaube ich verstehe die Definition
> nicht ganz.
Hallo Zero_112 ,
es handelt sich wirklich um eine ziemlich komplizierte
Definition. Ich denke, dass der Eingabevektor effektiv
wirklich ganz A und b enthalten müsste. Er hätte also
insgesamt 6 Einzelkomponenten.
Ich denke aber, dass es zum Zweck des Findens eines
Gegenbeispiels genügen würde, wenn man annimmt,
dass zwar die Werte der Matrix A nicht durch Störungen
beeinflusst sind, sondern nur die 2 Komponenten des
Vektors b . Falls man schon bei dieser Betrachtung ein
Beispiel vorlegen kann, das die Instabilität belegt, dann
könnte es ja damit nur noch schlimmer werden, wenn
auch noch weitere Störfaktoren dazu kommen können.
LG , Al-Chw.
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