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Forum "Topologie und Geometrie" - S^1 isomorph zu S^2?
S^1 isomorph zu S^2? < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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S^1 isomorph zu S^2?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:29 So 07.05.2006
Autor: Langfingerli

Aufgabe
Ist [mm] S^1 \cong S^2? [/mm]

So, ich würde sagen, daß diese Aussage falsch ist. Über welches Argument würdet ihr das zeigen?
Gruß,
Lf

        
Bezug
S^1 isomorph zu S^2?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:18 So 07.05.2006
Autor: andreas

hi

um zu zeigen, dass [mm] $S^1$ [/mm] und [mm] $S^2$ [/mm] nicht homöomorph sind, gibt es viele möglichkeiten, die verschiedenes vorwissen voraussetzen.

eine möglichkeit wäre zu zeigen, dass [mm] $\pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z}$ [/mm] und [mm] $\pi_1(S^2) [/mm] = 0$, die fundamentalgruppen sich also unterscheiden. da fundamentalgruppen homöomorphie-invarianten sind, können die räume also nicht homöomorph sein.

grüße
andreas

Bezug
                
Bezug
S^1 isomorph zu S^2?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:30 So 07.05.2006
Autor: Langfingerli

Hm, ich höre gerade meine erste Topologievorlesung, hatte noch kein Algebra etc., bin im dritten Semester.
Gibt es keine direktere Möglichkeit, also einen Widerspruch zur Definition eines Homöomorphismus zu finden? Wir haben am Anfang der Vorlesung Grundlagen der Punktmengentopologie und Sachen wie Zusammenhang(läßt sich vielleicht damit was reißen?)
Gruß,
Lf

Bezug
                        
Bezug
S^1 isomorph zu S^2?: Elementare Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:14 So 07.05.2006
Autor: topotyp

Mit sterografischer Projektion

[mm] $S^1 \setminus\{*\} \approx \mathbb{R} [/mm] $
[mm] $S^2 \setminus\{*\} \approx \mathbb{R}^2 [/mm] $

aber [mm] $\mathbb{R}\setminus\{*\} [/mm] $ ist nicht homöomorph zu [mm] $\mathbb{R}^2\setminus\{*\}$ [/mm]
aus Zusammenhangsgründen. Hierbei bezeichnen [mm] $\{*\}$ [/mm] jeweils
Räume aus einem Punkt (möglicherweise unterschiedliche Punkte!).
Gruss topotyp

Bezug
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