SKP im Lebesgue Raum < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Fr 05.09.2014 | | Autor: | Samyy |
Hallo,
ich habe eine eigentlich simple Frage. Bisher habe ich mich in der Integrationstheorie nur mit reellwertigen Funktionen beschaeftigt und arbeite nun mit komplexwertigen Funktionen. Dazu habe ich folgende Frage:
Betrachten wir [mm] $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ [/mm] offen und [mm] $L^2(\Omega,\mathbb{C}):=\lbrace f:\Omega\rightarrow \mathbb{C} \vert \int\limits_{\Omega}\vert f(x)\vert^2 [/mm] dx [mm] <\infty \rbrace$.
[/mm]
Die Bedingung [mm] $\int\limits_{\Omega}\vert f(x)\vert^2 [/mm] dx [mm] <\infty$ [/mm] ist soweit verstaendlich, da die Funktion [mm] $\vert f(x)\vert^2$ [/mm] eine reellwertige Funktion ist.
Wie wuerde man aber zum Beispiel folgenden Ausdruck berechnen:
[mm] $\langle [/mm] f,g [mm] \rangle_{L^2}:=\int_{\Omega}f(x)\overline{g(x)}dx$?
[/mm]
Mit anderen Worten, wie ist das Lebesgue-Integral einer komplexwertigen Funktion genau definiert?
Kann man das eventuell wie folgt berechnen? [mm] $f(x)=Re(f(x))+i\cdot [/mm] Im(f(x))$ bzw. [mm] $g(x)=Re(g(x))+i\cdot [/mm] Im(g(x))$ und dann
[mm] $f(x)\cdot \overline{g(x)}=Re(f(x))Re(g(x))+Im(f(x))Im(g(x))-i\cdot\left( Re(f(x))Im(g(x))-Im(f(x))Re(g(x)) \right).$ [/mm] Und dann
[mm] $\int_{\Omega}f(x)\overline{g(x)}dx=\int_{\Omega}Re(f(x))Re(g(x))+Im(f(x))Im(g(x))dx [/mm] - [mm] i\int_{\Omega}\left( Re(f(x))Im(g(x))-Im(f(x))Re(g(x)) \right)dx$.
[/mm]
Kann ich das so machen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Fr 05.09.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Samyy,
willkommen im Forum!
Ich hatte mal kurz in der Vorlesung folgendes zum Lebesgue-Integral von komplexwertigen Funktionen f.
> Mit anderen Worten, wie ist das Lebesgue-Integral einer
> komplexwertigen Funktion genau definiert?
f heißt Lebesgue-integrierbar über [mm] M\subseteq\IR^n, [/mm] falls M Lebesgue-messbar (d.h.: [mm] \chi_M(x) [/mm] ist Lebesgue-messbare Funktion), Re(f) und Im(f) Lebesgue-integrierbar über M. Man schreibt dann:
[mm] \int_M f(x)d\lambda^n(x):=\int_M Re(f(x))d\lambda^n(x)+i\cdot\int_M Im(f(x))d\lambda^n(x) [/mm] (*)
> Wie wuerde man aber zum Beispiel folgenden Ausdruck
> berechnen:
>
> [mm]\langle f,g \rangle_{L^2}:=\int_{\Omega}f(x)\overline{g(x)}dx[/mm]?
>
> Mit anderen Worten, wie ist das Lebesgue-Integral einer
> komplexwertigen Funktion genau definiert?
>
> Kann man das eventuell wie folgt berechnen?
> [mm]f(x)=Re(f(x))+i\cdot Im(f(x))[/mm] bzw. [mm]g(x)=Re(g(x))+i\cdot Im(g(x))[/mm]
> und dann
>
> [mm]f(x)\cdot \overline{g(x)}=Re(f(x))Re(g(x))+Im(f(x))Im(g(x))-i\cdot\left( Re(f(x))Im(g(x))-Im(f(x))Re(g(x)) \right).[/mm]
> Und dann
>
> [mm]\int_{\Omega}f(x)\overline{g(x)}dx=\int_{\Omega}Re(f(x))Re(g(x))+Im(f(x))Im(g(x))dx - i\int_{\Omega}\left( Re(f(x))Im(g(x))-Im(f(x))Re(g(x)) \right)dx[/mm].
>
> Kann ich das so machen?
Ich wüßte nicht, was dagegen spräche. Die Gleichheit ist gerechtfertigt, da ja
[mm]\int_{\Omega}f(x)\overline{g(x)}dx=\int_{\Omega}(Re(f(x))+i\cdot Im(f(x)))\cdot(Re(g(x))-i\cdot Im(g(x)))dx=\int_{\Omega}Re(f(x))Re(g(x))+Im(f(x))Im(g(x))+i\cdot\left( Im(f(x))Re(g(x))-Re(f(x))Im(g(x)) \right)dx[/mm]
[mm] $=\int_{\Omega}Re(f(x))Re(g(x))+Im(f(x))Im(g(x))dx [/mm] + [mm] i\int_{\Omega}\left( Im(f(x))Re(g(x))-Re(f(x))Im(g(x)) \right)dx$
[/mm]
Man kann also im Sinne obiger Definion sagen:
[mm] Re(f(x))Re(g(x))+Im(f(x))Im(g(x))=:Re(f(x)\overline{g(x)}) [/mm] und
[mm] Im(f(x))Re(g(x)-Re(f(x))Im(g(x)))=:Im(f(x)\overline{g(x)})
[/mm]
Anschließend folgt einfaches Einsetzen in (*).
MfG
Ladon
PS: Ich hoffe ich habe keine Fehler in der Klammersetzung gemacht :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Fr 05.09.2014 | | Autor: | Samyy |
Dankeschoen!!
|
|
|
|
