SL_2(F_2) isomorph S_3 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 Mo 03.11.2014 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Es bezeichne [mm] $\mathbb{F}_2$ [/mm] den Körper mit zwei Elementen sowie, wie gewöhnt, [mm] $S_3$ [/mm] die symmetrische Gruppe vom Grad $3$. Zeigen Sie, dass
[mm] $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_2) \cong S_3$ [/mm]
gilt. |
Hallo mal wieder,
irgendwie weiß ich nicht so richtig, wie ich diese Aufgabe (und Aufgaben dieser Art allgemein, bei denen kein Satz zur Verfügung steht, bzw. mir kein passender einfällt) ökonomisch angehen soll. Da mir kein Satz einfällt, den ich hier nutzen könnte, um das Ganze schnell zu beweisen, wollte ich explizit einen Isomorphismus konstruieren. Dafür habe ich mir erstmal beide Gruppen aufgeschrieben und folgende Darstellung mit Erzeugendensystemen gefunden.
[mm] $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_2) [/mm] = [mm] \left\langle\left\{ \pmat{1 & 1 \\ 0 & 1}, \pmat{0 & 1 \\ 1 & 1} \right\}\right\rangle$ [/mm] und
[mm] $S_3 [/mm] = [mm] \left\langle\left\{(1 \, 2), (2 \, 3) \right\}\right\rangle$. [/mm]
Wie kann ich nun effizient einen Isomorphismus definieren, bspw. mit folgenden Eigenschaften (das bietet sich ja an):
[mm] $\phi\colon \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_2) \to S_3$, $\phi\left( \pmat{1 & 1 \\ 0 & 1}\right) [/mm] = (1 [mm] \, [/mm] 2), [mm] \quad \phi\left( \pmat{0 & 1 \\ 1 & 1}\right) [/mm] = (2 [mm] \, [/mm] 3)$
Wäre es beispielsweise legitim [mm] $\phi$ [/mm] einfach so zu definieren, dass [mm] $\phi(a\cdot [/mm] b) = [mm] \phi(a) \circ \phi(b)$ [/mm] ohne dazu weiter groß Worte zu verlieren, und dann die Surjektivität einfach über die Bilder der Erzeuger zu begründen, oder so etwas in der Art?
Oder geht es sowieso viel besser und schneller über einen ganz anderen Weg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:33 Di 04.11.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es bezeichne [mm]\mathbb{F}_2[/mm] den Körper mit zwei Elementen
> sowie, wie gewöhnt, [mm]S_3[/mm] die symmetrische Gruppe vom Grad
> [mm]3[/mm]. Zeigen Sie, dass
>
> [mm]\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_2) \cong S_3[/mm]
>
> gilt.
> Hallo mal wieder,
>
> irgendwie weiß ich nicht so richtig, wie ich diese Aufgabe
> (und Aufgaben dieser Art allgemein, bei denen kein Satz zur
> Verfügung steht, bzw. mir kein passender einfällt)
Eventuell hattet ihr mal eine Bemerkung in der Vorlesung oder in den Übungen a la "Es gibt genau zwei Isomorphieklassen von Gruppen der Ordnung 6, und zwar welche die zu [mm] $\IZ/6\IZ$ [/mm] isomorph sind und solche die zu [mm] $S_3$ [/mm] isomorph sind". (Manchmal klassifiziert man alle kleinen Gruppen bis zu 10 oder 15 Elementen, dann weiss man zu welchen Gruppen Gruppen mit bis zu sovielen Elementen isomorph sein können.)
In dem Fall reicht es aus zu zeigen, dass die Gruppe 6 Elemente hat und nicht kommutativ ist. Dann muss sie isomorph zu [mm] $S_3$ [/mm] sein und du bist fertig.
> ökonomisch angehen soll. Da mir kein Satz einfällt, den
> ich hier nutzen könnte, um das Ganze schnell zu beweisen,
> wollte ich explizit einen Isomorphismus konstruieren.
> Dafür habe ich mir erstmal beide Gruppen aufgeschrieben
> und folgende Darstellung mit Erzeugendensystemen gefunden.
>
> [mm]\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_2) = \left\langle\left\{ \pmat{1 & 1 \\ 0 & 1}, \pmat{0 & 1 \\ 1 & 1} \right\}\right\rangle[/mm]
> und
>
> [mm]S_3 = \left\langle\left\{(1 \, 2), (2 \, 3) \right\}\right\rangle[/mm].
Sieht schonmal gut aus.
> Wie kann ich nun effizient einen Isomorphismus definieren,
> bspw. mit folgenden Eigenschaften (das bietet sich ja an):
>
> [mm]\phi\colon \mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_2) \to S_3[/mm], [mm]\phi\left( \pmat{1 & 1 \\ 0 & 1}\right) = (1 \, 2), \quad \phi\left( \pmat{0 & 1 \\ 1 & 1}\right) = (2 \, 3)[/mm]
>
> Wäre es beispielsweise legitim [mm]\phi[/mm] einfach so zu
> definieren, dass [mm]\phi(a\cdot b) = \phi(a) \circ \phi(b)[/mm]
> ohne dazu weiter groß Worte zu verlieren, und dann die
> Surjektivität einfach über die Bilder der Erzeuger zu
> begründen, oder so etwas in der Art?
Streng genommen musst du [mm] $\phi$ [/mm] für alle Werte explizit definieren und zeigen, dass [mm] $\phi(a \cdot [/mm] b) = [mm] \phi(a) \circ \phi(b)$ [/mm] immer gilt.
Es sei denn, du hast bessere Beschreibungen von [mm] $S_3$ [/mm] und [mm] $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_2)$ [/mm] und kannst diese verwenden, um dir Arbeit zu ersparen. Etwa wenn du alle Beziehungen zwischen den beiden erzeugenden Elementen kennst: wenn diese jeweils gleich sind (bei beiden Gruppen), reicht es aus, den Homomorphismus auf diesen beiden Elementen zu definieren.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Di 04.11.2014 | | Autor: | Lustique |
Hi Felix,
> Eventuell hattet ihr mal eine Bemerkung in der Vorlesung
> oder in den Übungen a la "Es gibt genau zwei
> Isomorphieklassen von Gruppen der Ordnung 6, und zwar
> welche die zu [mm]\IZ/6\IZ[/mm] isomorph sind und solche die zu [mm]S_3[/mm]
> isomorph sind". (Manchmal klassifiziert man alle kleinen
> Gruppen bis zu 10 oder 15 Elementen, dann weiss man zu
> welchen Gruppen Gruppen mit bis zu sovielen Elementen
> isomorph sein können.)
>
> In dem Fall reicht es aus zu zeigen, dass die Gruppe 6
> Elemente hat und nicht kommutativ ist. Dann muss sie
> isomorph zu [mm]S_3[/mm] sein und du bist fertig.
nein, das kam leider in der Vorlesung so (noch) nicht dran. Wir haben in der VL gezeigt, dass zyklische Gruppen $G$ zu [mm] $\mathbb{Z}\slash [/mm] (m)$ isomorph sind mit $m=|G|$ falls [mm] $m<\infty$ [/mm] und sonst $m=0$. Außerdem haben wir noch in einer Übung den Satz von Cayley bewiesen, aber der würde mir ja nur sagen, dass [mm] $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_2) \cong [/mm] U [mm] \leqslant S_3$, [/mm] und das bringt mir ja nichts.
Könnte ich sagen, dass aus [mm] $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_2) \cong [/mm] U [mm] \leqslant S_3$ [/mm] und [mm] $|\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_2)| [/mm] = [mm] |S_3|$ [/mm] folgt, dass [mm] $\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_2) \cong S_3$, [/mm] weil ja $|U| = 6$ gelten muss? Ne, das ist wohl auch Quatsch, bringt mir also doch nichts…
> Streng genommen musst du [mm]\phi[/mm] für alle Werte explizit
> definieren und zeigen, dass [mm]\phi(a \cdot b) = \phi(a) \circ \phi(b)[/mm]
> immer gilt.
>
> Es sei denn, du hast bessere Beschreibungen von [mm]S_3[/mm] und
> [mm]\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_2)[/mm] und kannst diese verwenden, um
> dir Arbeit zu ersparen. Etwa wenn du alle Beziehungen
> zwischen den beiden erzeugenden Elementen kennst: wenn
> diese jeweils gleich sind (bei beiden Gruppen), reicht es
> aus, den Homomorphismus auf diesen beiden Elementen zu
> definieren.
>
> LG Felix
Ich glaube so wie ich die Elemente gewählt und dann damit überprüft habe, dass sie tatsächlich ihre jeweiligen Gruppen erzeugen, sollten eigentlich schon die von dir beschriebenen Beziehungen deutlich werden. Ich denke mal, ich werde es so versuchen, oder zur Not tatsächlich doch noch alle Werte explizit definieren. Ich glaube ich mache das davon abhängig, wieviel Platz ich noch auf dem Zettel habe. :D
Die Injektivität bekomme ich dann ja noch automatisch über die offensichtliche Surjektivität.
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Hallo,
Anstatt für deine Abbildung $ f (xy)=f (x) f (y)$ für 36 verschiedene Paare $(x, y)$ nachzurechnen, geht es dann, denke ich sogar schneller einfach die Gruppentafeln (von denen ich eigentlich gar kein Freund bin) aufzuschreiben und zu vergleichen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hallo,
ich habe auch in die Richtung gedacht wie felix, das heißt, einfach die Ordnung der Gruppe bestimmen und zeigen, dass sie nicht kommutativ ist.
Alternativ könntest du dir auch ein Element der Ordnung drei hernehmen (etwa das Produkt der beiden Elemente aus deinem Erzeugendsystem) und überprüfen, dass dessen erzeugte Untergruppe ein Normalteiler ist. Da dieses Element zusammen mit einem deiner beiden Elemente aus deinem jetzigen EZS die ganze SL erzeugt (dies ist klar, da deine jetzigen Erzeuger selbstinvers sind), erhältst du eine Darstellung [mm] $\IZ/3\rtimes\IZ/2$. [/mm]
Allerdings ist das immer noch etwas technisch und etwas hübscheres fällt mir noch nicht ein. (Es sei denn, ihr habt schon eine schöne Gruppenpräsentation?) Im übrigen, da $1$ das einzige Element [mm] $\not=0$ [/mm] ist, ist $ Gl (n, [mm] \IF_2)=Sl (n,\IF_2) [/mm] $.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Di 04.11.2014 | | Autor: | Lustique |
> Hallo,
>
> ich habe auch in die Richtung gedacht wie felix, das
> heißt, einfach die Ordnung der Gruppe bestimmen und
> zeigen, dass sie nicht kommutativ ist.
>
> Alternativ könntest du dir auch ein Element der Ordnung
> drei hernehmen (etwa das Produkt der beiden Elemente aus
> deinem Erzeugendsystem) und überprüfen, dass dessen
> erzeugte Untergruppe ein Normalteiler ist. Da dieses
> Element zusammen mit einem deiner beiden Elemente aus
> deinem jetzigen EZS die ganze SL erzeugt (dies ist klar, da
> deine jetzigen Erzeuger selbstinvers sind), erhältst du
> eine Darstellung [mm]\IZ/3\rtimes\IZ/2[/mm].
>
> Allerdings ist das immer noch etwas technisch und etwas
> hübscheres fällt mir noch nicht ein. (Es sei denn, ihr
> habt schon eine schöne Gruppenpräsentation?) Im übrigen,
> da [mm]1[/mm] das einzige Element [mm]\not=0[/mm] ist, ist [mm]Gl (n, \IF_2)=Sl (n,\IF_2) [/mm].
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
Hi,
ich befürchte, ich werde es aus den Gründen, die in der Antwort zu Felix' Antwort stehen, wohl doch zu Fuß machen müssen, oder auch, wie es einer meiner Tutoren immer mal formuliert hat, die Aufgabe „plattrechnen“ (?).
Mit [mm] $\IZ/3\rtimes\IZ/2$ [/mm] kann ich leider auch (noch) nichts anfangen. Semidirekte Produkte (?) kamen in der VL nicht dran. Da sich mein Dozent bis jetzt sehr an den Bosch hält, kommt das vielleicht auch nicht mehr (da taucht das nämlich nicht auf). Aber trotzdem danke für deine Hilfe!
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