S^(-1)BS, Diagonalmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Sa 28.06.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Gegeben Sei
[mm] $B=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times 3}$
[/mm]
Bestimmen Sie eine Matrix [mm] $S\in GL_3(\mathbb{R})$ [/mm] so, dass gilt:
[mm] $S^{-1}BS=\begin{pmatrix}\alpha_1&0&0\\0&\alpha_2&0\\0&0&\alpha_3\end{pmatrix}$ [/mm] |
Hi,
ich würde gerne diese Matrix S berechnen, aber ich kenne leider den Algorithmus dazu nicht. Gibt es einen solchen überhaupt?
Könnte mir jemand die Vorgehensweise erklären, oder vielleicht einen Link dazu geben, damit ich diese Matrix bestimmen kann?
Das wäre sehr nett.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 Sa 28.06.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo YuSul!
> Gegeben Sei
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> [mm]B=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{3\times 3}[/mm]
>
> Bestimmen Sie eine Matrix [mm]S\in GL_3(\mathbb{R})[/mm] so, dass
> gilt:
>
> [mm]S^{-1}BS=\begin{pmatrix}\alpha_1&0&0\\0&\alpha_2&0\\0&0&\alpha_3\end{pmatrix}[/mm]
>
>
>
> Hi,
>
> ich würde gerne diese Matrix S berechnen, aber ich kenne
> leider den Algorithmus dazu nicht. Gibt es einen solchen
> überhaupt?
> Könnte mir jemand die Vorgehensweise erklären, oder
> vielleicht einen Link dazu geben, damit ich diese Matrix
> bestimmen kann?
Berechne die Egenwerte von B und die zugehörigen Eigenvektoren. (Wie das geht steht im Skript oder auch auf Wikipedia.)
Für die Spalten der Matrix S nimmst du die berechneten Eigenvektoren. [mm] $S^{-1}BS$ [/mm] ist dann eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Sa 28.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank, wird direkt erledigt, nun sollte ich wissen wie man vorgeht. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Sa 28.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Mit der Regel von Sarrus erhalte ich folgendes Polynom:
[mm] $(1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)-(2-\lambda)$
[/mm]
Das sollte sich zu
[mm] $(2-\lambda)(\lambda-2+\sqrt{2})(\lambda-2-\sqrt{2})$
[/mm]
vereinfachen lassen, wo ich die Eigenwerte nun direkt ablesen kann.
[mm] $\lambda_1=2$
[/mm]
[mm] $\lambda_2=2-\sqrt{2}$
[/mm]
[mm] $\lambda_3=\sqrt{2}-2$
[/mm]
Um die Eigenräume zu berechnen muss ich nun die Eigenwerte jeweils von der Hauptdiagonalen abziehen und dann das homogene LGS lösen um den Kern zu ermitteln, oder?
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Hallo YuSul,
> Mit der Regel von Sarrus erhalte ich folgendes Polynom:
>
> [mm](1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)-(2-\lambda)[/mm]
>
Das stimmt nicht.
Es steht als Determinante nur der erste Summand da.
> Das sollte sich zu
>
> [mm](2-\lambda)(\lambda-2+\sqrt{2})(\lambda-2-\sqrt{2})[/mm]
>
> vereinfachen lassen, wo ich die Eigenwerte nun direkt
> ablesen kann.
>
> [mm]\lambda_1=2[/mm]
> [mm]\lambda_2=2-\sqrt{2}[/mm]
> [mm]\lambda_3=\sqrt{2}-2[/mm]
>
> Um die Eigenräume zu berechnen muss ich nun die Eigenwerte
> jeweils von der Hauptdiagonalen abziehen und dann das
> homogene LGS lösen um den Kern zu ermitteln, oder?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Sa 28.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, hast recht, habe mich wohl in der Matrix verguckt beim anwenden von Sarrus.
Dann sind es aber nettere Werte, was schön ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Sa 28.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich erhalte die drei Matrizen
[mm] $\begin{pmatrix}0&0&0&|0\\1&1&0&|0\\1&0&2&|0\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $\vec{x}_1=\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $\begin{pmatrix}-1&0&0&|0\\1&0&0&|0\\1&0&1&|0\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $\vec{x}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $\begin{pmatrix}-2&0&0&|0\\1&-1&0&|0\\1&0&0&|0\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $\vec{x}_3=\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}$
[/mm]
Ich bin mir bei den Eigenvektoren nicht ganz sicher.
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Hallo YuSul,
> Ich erhalte die drei Matrizen
>
> [mm]\begin{pmatrix}0&0&0&|0\\1&1&0&|0\\1&0&2&|0\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\vec{x}_1=\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\begin{pmatrix}-1&0&0&|0\\1&0&0&|0\\1&0&1&|0\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\vec{x}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix}-2&0&0&|0\\1&-1&0&|0\\1&0&0&|0\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\vec{x}_3=\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}[/mm]
>
Hier muss der Eigenvektor doch so lauten:
[mm]\vec{x}_3=\begin{pmatrix}0\\\blue{0}\\\blue{1}\end{pmatrix}[/mm]
> Ich bin mir bei den Eigenvektoren nicht ganz sicher.
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Sa 28.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Stimmt, ich habe mich in der letzten Zeile verschrieben und da versehentlich auch eine Null reingeschmuggelt, jetzt komme ich auch auf diesen Vektor.
Dann lautet die Matrix nun also so?
[mm] $S=\begin{pmatrix}-2&0&1\\2&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$
[/mm]
Jetzt nur noch die Inverse von S bestimmen und ausmultiplizieren?
[mm] $S^{-1}=\begin{pmatrix} 0&0&1\\0&1&-2\\1&0&2\end{pmatrix}$
[/mm]
Gibt es eine Erklärung dafür, dass die Inverse einfach die Matrix S "auf den Kopf gestellt" ist? Die transponierte ist es ja nicht.
Ich habe es mit Wolframalpha ausgerechnet, da komme ich leider nicht auf eine Diagonalmatrix.
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Hallo YuSul,
> Stimmt, ich habe mich in der letzten Zeile verschrieben und
> da versehentlich auch eine Null reingeschmuggelt, jetzt
> komme ich auch auf diesen Vektor.
>
> Dann lautet die Matrix nun also so?
>
> [mm]S=\begin{pmatrix}-2&0&1\\2&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}[/mm]
Die Matrix S lautet doch:
[mm]S=\begin{pmatrix}-2&0&\blue{0}\\2&1&0\\ 1&0&\blue{1}\end{pmatrix}[/mm]
>
> Jetzt nur noch die Inverse von S bestimmen und
> ausmultiplizieren?
>
> [mm]S^{-1}=\begin{pmatrix} 0&0&1\\0&1&-2\\1&0&2\end{pmatrix}[/mm]
>
> Gibt es eine Erklärung dafür, dass die Inverse einfach
> die Matrix S "auf den Kopf gestellt" ist? Die transponierte
> ist es ja nicht.
>
> Ich habe es mit Wolframalpha ausgerechnet, da komme ich
> leider nicht auf eine Diagonalmatrix.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Sa 28.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Danke.
Und so kann man immer eine geeignete Matrix S finden? Einfach Eigenwerte und Eigenräume bestimmen und die Inverse berechnen?
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Hallo YuSul,
> Danke.
>
> Und so kann man immer eine geeignete Matrix S finden?
> Einfach Eigenwerte und Eigenräume bestimmen und die
> Inverse berechnen?
Sofern die betreffende Matrix diagonalisierbar ist, ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Sa 28.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Und wenn sie nicht Diagonalisierbar ist? Dann hat man keine Möglichkeit solche Matrizen anzugeben?
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> Und wenn sie nicht Diagonalisierbar ist? Dann hat man keine
> Möglichkeit solche Matrizen anzugeben?
Genau.
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Sa 28.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, vielen Dank.
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