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| Aufgabe | Jeder Kaugummipackung einer bestimmten Marke ist ein Sammelbild beigefügt; zu einer Serie gehören 15 Bilder.Es kann sein, dass man beim Kauf von 5 Packungen mindestens eines der Bilder doppelt hat.
Ist die Wahrcheinlichkeit hierfür sehr groß? Bestimme einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit durch Simulation.
(Lösungsbuch: Die WS für eine Wdh. beträgt ca. 52,5 %.) |
Hallo liebe Leute,
ich kann gerade die Lösung im Buch nicht nachvollziehen.
Ich dachte binomialverteilt:
$P(2 [mm] \le [/mm] X) [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] 1 - P(alle [mm] \; [/mm] fuenf [mm] \; [/mm] verschieden) [mm] \; [/mm] = [mm] \; 1-\left( \frac{14}{15}\right)^{5} \; \approx \; [/mm] 29,8 $%
bzw. hypergeometrisch:
$P(2 [mm] \le [/mm] X) [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] 1 - P(alle [mm] \; [/mm] fuenf [mm] \; [/mm] verschieden) [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] 1- [mm] \frac{14!}{9!}*\frac{10!}{15!} \; \approx \; [/mm] 33,3 $%
Ich habe mal kurz "simuliert", 12 Serien à 5 Würfen mit einem Ikosaeder (ohne 16 - 20): da liegt die Quote mit Wdh. bei 66,6 % - also ein Indiz, dass die Lösung im Buch stimmen könnte.
Besten Dank für eine Erhellung des Zusammenhanges.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Martinius,
die Wahrscheinlichkeit, fünf verschiedene Bilder zu erhalten ist
[mm]1\cdot\frac{14}{15}\cdot\frac{13}{15}\cdot\frac{12}{15}\cdot\frac{11}{15}\approx 0.475[/mm].
(das erste Bild ist egal, für das zweite gibt es nur noch 14 Möglichkeiten, für das dritte nur noch 13, usw.)
Das heißt, die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein doppeltes Bild ist [mm]1-0.475=0.525[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo Fulla,
sei herzlich bedankt für Deine Antwort!
Ich habe mir eben anhand eines verzweigten Baumes plausibel gemacht, Dass Deine Lösung richtig ist.
Kann man dann sagen, dass es sich weder um eine Binomialverteilung noch um eine hypergeometrische Verteilung handelt?
Liebe Grüße, Martin
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Hallo Martinius,
> Kann man dann sagen, dass es sich weder um eine
> Binomialverteilung noch um eine hypergeometrische
> Verteilung handelt?
ja, das kann man eindeutig sagen. Denn in beiden Fällen bräuchte man eine Zufallsvariable, welche die Anzahl der Treffer eines Bernoulli-Experimentes zählen würde, welches eben im Fall der hypergeometrischen Verteilung jedesmal mit anderen Parametern ablaufen würde.
Aber eine solche Zufallsvariable hast du hier nicht.
Diese Art von Aufgaben gehören in den Dunstkreis des sog. ![[]](/images/popup.gif) Sammlerproblems welches hier in der Frage bestehen würde, wie viele Kaugummipackungen man im Mittel kaufen müsste, bis man eine komplette Serie Bildchen zusammen hat. Während man diesen Erwartungswert noch relativ einfach bestimmt, ist die geschlossene Darstellung der Verteilung der Anzahl nötiger Käufe recht anspruchsvoll und gelingt mit der sog. Siebformel.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Martinius |
Hallo Diophant,
auch an Dich geht mein herzlicher Dank!
Ich werde mir mal die Links angucken.
LG, Martin
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