Sandwich-Lemma < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Mo 17.11.2014 | | Autor: | abbudeh |
| Aufgabe | Betrachten Sie jeweils zu den de nierten an die Folge [mm] (an)n\inN [/mm] und untersuchen
Sie [mm] (an)n\inN [/mm] mit dem Sandwich-Lemma auf Konvergenz. |
Ich habe eine Frage zur Sandwich-Lemma
Ich muss [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{x^{2}})^x
[/mm]
durch sandwich-lemma bestimmen.
kann jemand mir weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Mo 17.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Es gilt doch bestimmt
[mm] $\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac1{n^2}\right)^n$
[/mm]
zu berechnen.
Hast du denn so eine Idee was der Grenzwert ist?
Mit dem Sandwich-Lemma darauf zu kommen halte ich nicht für ganz einfach. Vor allem wenn man nicht weiß wogegen die Folgen "zum einschließen" konvergieren sollen. Diese Frage solltest du also zu erst klären. Die betrachtete Folge sollte dir bekannt vor kommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Mo 17.11.2014 | | Autor: | abbudeh |
ich habe mich vertippt
Es wurde auch eine Hinweis dazu geschrieben
Hinweis: [mm] (1+\bruch{1}{n})^n \le [/mm] 3
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:49 Mo 17.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielleicht war mein Tipp etwas irreführend, weil ich am Anfang einen "komplizierteren" Grenzwert im Auge hatte. [mm] $\sqrt{e}$ [/mm] um genau zu sein.
Habe aber einen Fehler gemacht...
So kompliziert ist der Grenzwert nicht.
Vielleicht gebe ich dir mal das Stichwort "Binomischer Lehrsatz". Damit lassen sich gewöhnlicherweise recht gut solche Folgen einschließen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Mo 17.11.2014 | | Autor: | abbudeh |
meinen Sie, ich muss zwei Folgen wählen.
eine kleinere Folge mit [mm] an^n-1 [/mm] und eine größere mit [mm] an^n+1 [/mm] ?
wie berechne ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n-1}\vektor{n-1 \\ k}1^n-k \bruch{1}{n^2}^k
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Mo 17.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Du brauchst mich nicht zu sietzen.
Nimm die "normale" Form für den binomischen Lehrsatz. Wie du auf deine Kommst verstehe ich nur so halb. Jedenfalls klappt es mit der altbewährten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Mo 17.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Zu dieser Frage habe ich mich bereits in einer Mitteilung geäußert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Mo 17.11.2014 | | Autor: | abbudeh |
könntest du bitte mal hinschreiben was du meinst?
Damit ich besser verstehe, was mit dem altbewährten gemeint ist..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:45 Mo 17.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Der binomische Lehrsatz lautet:
[mm] $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^kb^{n-k}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mo 17.11.2014 | | Autor: | abbudeh |
ja und wie verwende ich den Satz für meinen Fall ,, ich kann auf die Lösung nicht weiterkommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Mo 17.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Zu erst einmal frage dich was hier der Grenzwert der Folge sein könnte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mo 17.11.2014 | | Autor: | abbudeh |
ist es 3 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Mo 17.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Nein.
Rechne mal mit dem Taschenrechner ein paar Werte aus. Setze zum Beispiel für n einmal 100 ein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:19 Mo 17.11.2014 | | Autor: | abbudeh |
scheint 1 zu sein.
wegen 1 + [mm] \summe_{k=1}^{n}\vektor{n \\ k}1^k(\bruch{1}{n^2})^{n-k}
[/mm]
Zweite Polynom geht gegen 0
Aber ich kann das nicht äußern
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 Mo 17.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Woher kommt die +1?
Ist dir überhaupt klar, was das Sandwich Lemma besagt, bzw. worauf es abzielt?
Benutze den binomischen Lehrsatz um eine Abschätzung nach unten und nach oben anzugeben welche beide gegen 1 konvergieren. 1 ist der korrekte Grenzwert.
Ich bin jetzt übrigens im Bett.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Mo 17.11.2014 | | Autor: | abbudeh |
es ist mir klar was Sandwich Lemma besagt..
aber es ist mir nicht klar warum gibst du die Antwort nicht einfach ein dann träumst du schön als auch ich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Mo 17.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Weil dann der Lerneffekt für dich nicht so groß ist.
Versuche doch einmal eine Abschätzung nach unten anzugeben. Das ist einfacher. Bedenke, die Abschätzung muss wieder gegen 1 konvergieren. Schreibe also einfach mal ein paar Summanden des binomischen Lehrsatzes hin.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:19 Di 18.11.2014 | | Autor: | abbudeh |
ok iah habe [mm] 1+\bruch{1}{n^2} [/mm] als kleinere Folge abgeschätzt aber auf die obere komme ich nicht ..
Ich frage mich wie sollten wir den Hinweis benutzen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:09 Di 18.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> ok iah habe [mm]1+\bruch{1}{n^2}[/mm] als kleinere Folge abgeschätzt
Begründung?
> aber auf die obere komme ich nicht ..
> Ich frage mich wie sollten wir den Hinweis benutzen!
Der Hinweis dient zur Abschätzung nach oben!
YuSul wollte für die untere Schranke auf folgendes hinaus:
Mit dem Binomischer Lehrsatz (für natürliche Exponenten)
[mm] (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^k*b^{n-k} [/mm] für alle [mm] a,b\in\IC [/mm] und [mm] n\in\IN_0
[/mm]
erhalten wir die Bernoullische Ungleichung
[mm] $(1+a)^n\ge [/mm] 1+an$ für alle [mm] $x\ge [/mm] -1$ und [mm] n\in\IN_0.
[/mm]
Das kannst du ganz einfach nachrechnen. Ansonsten kannst du die
Ungleichung auch mit vollständiger Induktion leicht zeigen.
Jedenfalls erhalten wir mit der bernoullischen Ungleichung
[mm] \left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n\ge 1+\frac{1}{n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
und damit unsere untere Schranke.
Trotzdem brauchen wir diesen "Aufwand" hier nicht. Es gilt:
[mm] $\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n\ge 1^n=1$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] (Wieso?).
Jetzt denk noch einmal über eine Abschätzung nach oben nach.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:58 Di 18.11.2014 | | Autor: | abbudeh |
wenn ich [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] als obere Schranke abschätze, dann der Hinweis dient dazu, dass diese Folge kleiner gleich 3 ist.
und wenn ich limes von der Folge berechne, kommt e raus.
muss aber 1 rauskommen damit ich Sandwich Lemma benutzen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:23 Di 18.11.2014 | | Autor: | abbudeh |
hat sich erledigt ohne binomischen Lehrsatz
[mm] 1\le (1+\bruch{1}{(n^2)})^n^2 \le [/mm] 3
dann nehme ich die n-Wurzel davon
[mm] \wurzel[n]{1} \le (1+\bruch{1}{(n^2)})^n \le \wurzel[n]{3}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:26 Di 18.11.2014 | | Autor: | abbudeh |
was hat binomischer Lehrsatz damit zu tun verstehe ich bisher nicht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:29 Di 18.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
> was hat binomischer Lehrsatz damit zu tun verstehe ich bisher nicht!
Es war ein Vorschlag, den ich dir hier probiert habe zu erklären.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:32 Di 18.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Passt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Di 18.11.2014 | | Autor: | YuSul |
Das ist natürlich bedeutend einfacher.
Da war mein "Tipp" wohl etwas zu umständlich. Sorry.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:27 Di 18.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Wir wissen
[mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\le [/mm] 3$ für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Mit [mm] $n=:m^2\$ [/mm] erhalten wir
[mm] $\left(1+\frac{1}{m^2}\right)^{m^2}\le [/mm] 3$ für alle [mm] m\in\IN.
[/mm]
Jetzt wieder du!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Di 18.11.2014 | | Autor: | abbudeh |
Ja...
Vielen Dank für die Hilfe Yusul und DieAcht
Wenn einen Lösung mit dem binomischen Lehrsatz nochmal erklärt wird, wäre gut.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Mo 17.11.2014 | | Autor: | abbudeh |
meinen Sie, ich muss zwei Folgen wählen.
eine kleinere Folge mit an^(n-1) und eine größere mit an^(n+1) ?
wie berechne ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n-1}\vektor{n-1 \\ k}1^{n-k} \bruch{1}{n^2}^k
[/mm]
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Hi,
es ist $ 1 [mm] \leq (1+\frac{1}{n^2})^{n^2} \leq [/mm] 3$ (warum?)
Daraus folgt:
$ 1 [mm] \leq (1+\frac{1}{n^2})^{n^2} \leq 3^{1/n}$ [/mm] (warum?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Di 18.11.2014 | | Autor: | fred97 |
Es geht also um
$ [mm] \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac1{n^2}\right)^n [/mm] $.
Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge und [mm] a_n \ge [/mm] 0 für alle n.
Nimm mal an, Dir ist bekannt, dass die Folge [mm] (a_n^n) [/mm] konvergiert und nimm weiter an, dass Dir ihr Limes a>0 bekannt sei.
Dann haben wir:
[mm] $\bruch{a}{2} \le a_n^n \le [/mm] 2a$ für fast alle n.
Folglich gilt
[mm] \wurzel[n]{\bruch{a}{2}} \le a_n \le \wurzel[n]{2a} [/mm] für fast alle n.
Nun solltest Du sehen, dass [mm] (a_n) [/mm] gegen 1 konvergiert.
Bei Dir ist [mm] a_n= \left(1+\frac1{n^2}\right)^n
[/mm]
FRED
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