Sankt Petersburg Paradoxon < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Fr 29.06.2018 | | Autor: | sonyach |
| Aufgabe | In einem St. Petersburger Casino wird folgendes Spiel angeboten: Eine faire Münze wird so lange geworfen bis zum ersten Mal Wappen fällt. Ist dies im ersten Wurf der Fall bekommt man 1 Euro ausbezahlt, beim zweiten Wurf 2 Euro, beim dritten 4Euro, beim vierten Wurf 8 Euro usw.
a) In einem Casino in Moskau wird folgende Spielvariante angeboten: Wenn nach 10 Versuchen kein Wappen gefallen ist, ist das Spiel verloren, es gibt also keine Auszahlung. Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?
b)In einem anderen Casino beträgt der Einsatz 20 Euro. Nach wie vielen Versuchen muss das Spiel als verloren gelten, damit das Casino gerade noch einen Gewinn macht?
c) Wie viel Geld würdest du für das Petersburger Spiel einsetzen? Erläutere deine Antwort. |
Hallo zusammen,
ich wollte kurz fragen, ob ich hier richtig rechne:
a) Erwartungswert für 10 Spiele ist 5 Euro
[mm] E=\bruch{1}{2}*1+\bruch{1}{4}*2+\bruch{1}{8}*4+\bruch{1}{16}*8+\bruch{1}{16}*8 [/mm] usw =5
Dann muss der Einsatz 5 Euro betragen, damit der Erwartungswert Null beträgt. Stimmt das so?
b)Ein Gewinn von 20 Euro wird nach dem 5 Versuch erreicht :
[mm] 2^{5}=32
[/mm]
Gewinn für den Betreiber bedeutet negativen Erwartungswert. Hier komme ich etwas durcheinander. Ist das richtig überhaupt?
c) Da hier der Erwartungswert undendlich groß ist [mm] 2^{i-1}, [/mm] aber die Wahrscheinlichkeit dann [mm] \bruch{1}{2}{i-1} [/mm] ist, würde ich hier nicht viel Geld riskieren.
Hätte ich viel Geld, könnte ich auch größeren Einsatz riskieren, aber wenn ich viel Geld hätte ist die Frage, waruzm ich dann überhaupt spielen sollte.
Reicht das als Begründung?
Bin dankbar für jede Antwort.
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Hiho,
> In einem St. Petersburger Casino wird folgendes Spiel
> angeboten: Eine faire Münze wird so lange geworfen bis zum
> ersten Mal Wappen fällt. Ist dies im ersten Wurf der Fall
> bekommt man 1 Euro ausbezahlt, beim zweiten Wurf 2 Euro,
> beim dritten 4Euro, beim vierten Wurf 8 Euro usw.
>
> a) In einem Casino in Moskau wird folgende Spielvariante
> angeboten: Wenn nach 10 Versuchen kein Wappen gefallen ist,
> ist das Spiel verloren, es gibt also keine Auszahlung. Bei
> welchem Einsatz ist das Spiel fair?
>
> b)In einem anderen Casino beträgt der Einsatz 20 Euro.
> Nach wie vielen Versuchen muss das Spiel als verloren
> gelten, damit das Casino gerade noch einen Gewinn macht?
>
> c) Wie viel Geld würdest du für das Petersburger Spiel
> einsetzen? Erläutere deine Antwort.
> Hallo zusammen,
>
> ich wollte kurz fragen, ob ich hier richtig rechne:
>
> a) Erwartungswert für 10 Spiele ist 5 Euro
>
> [mm]E=\bruch{1}{2}*1+\bruch{1}{4}*2+\bruch{1}{8}*4+\bruch{1}{16}*8+\bruch{1}{16}*8[/mm]
Du hast hier [mm] $\bruch{1}{16}*8$ [/mm] doppelt…
> usw =5
Anstatt "usw" solltest du hier lieber mathematisch sauber aufschreiben, wie die Summe aussieht, nämlich:
[mm] $\summe_{k=0}^{9} \frac{2^k}{2^{k+1}} [/mm] = 10 * [mm] \frac{1}{2} [/mm] = 5$
> Dann muss der Einsatz 5 Euro betragen, damit der
> Erwartungswert Null beträgt. Stimmt das so?
Ja
> b)Ein Gewinn von 20 Euro wird nach dem 5 Versuch erreicht
> :
> [mm]2^{5}=32[/mm]
> Gewinn für den Betreiber bedeutet negativen
> Erwartungswert. Hier komme ich etwas durcheinander. Ist das
> richtig überhaupt?
Es geht nicht darum, dass ein Gewinn von 20 Euro gemacht wird, sondern: Dass das Casino im Schnitt immer noch Gewinn macht.
Also anders formuliert: Wie viele Spiele darf das Kasino machen, damit es bei einem Einsatz von 20€ gerade so im Schnitt noch einen erwarteten Gewinn hat, d.h. der Erwartungswert der Auszahlung unter 20€ liegt.
> c) Da hier der Erwartungswert undendlich groß ist [mm]2^{i-1},[/mm]
Was sollen denn [mm] $2^{i-1}$ [/mm] Euro sein?
> aber die Wahrscheinlichkeit dann [mm]\bruch{1}{2}{i-1}[/mm] ist,
> würde ich hier nicht viel Geld riskieren.
> Hätte ich viel Geld, könnte ich auch größeren Einsatz
> riskieren, aber wenn ich viel Geld hätte ist die Frage,
> waruzm ich dann überhaupt spielen sollte.
>
> Reicht das als Begründung?
Nein, die Frage nach dem "richtigen" Einsatz ist gar nicht trivial zu beantworten und hängt von deiner Einschätzung der Wertigkeit eines hohen Gewinns ab.
Ich empfehle da mal den Wiki-Artikel zum ![[]](/images/popup.gif) Sankt-Petersburg-Paradoxon zu lesen, insbesondere den Abschnitt Lösungen des Paradoxons.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Fr 29.06.2018 | | Autor: | sonyach |
Hallo,
danke für die schnelle Antwort.
Zu b) habe ich folgende Frage: Habe ich das so richtig verstanden, dass wenn der Erwartungswert der Auszahlung unter 20€ liegt, E <20 für 39 Versuche ist?
$ [mm] \summe_{k=0}^{38} \frac{2^k}{2^{k+1}} [/mm] = 39 [mm] \cdot{} \frac{1}{2} [/mm] = 19.5 $
Zu c) Ich hatte mir die Lösungen des Parodoxons durchgelesen, schon bevor ich die Fragen hier gestellt habe.
> Was sollen denn [mm]2^{i-1}[/mm] Euro sein?
Damit ist der mögliche Gewinn gemeint, also unendlich viel
>
> Nein, die Frage nach dem "richtigen" Einsatz ist gar nicht
> trivial zu beantworten und hängt von deiner Einschätzung
> der Wertigkeit eines hohen Gewinns ab.
Also wenn für mich 50 Euro viel Geld sind, reicht es dass ich das so angebe, also ich würde nicht mehr als 50 Euro Einsatz riskieren?
Irgendwie habe ich da Schwierigkeiten durchzublicken...
Danke
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Hiho,
> Zu b) habe ich folgende Frage: Habe ich das so richtig
> verstanden, dass wenn der Erwartungswert der Auszahlung
> unter 20€ liegt, E <20 für 39 Versuche ist?
> [mm]\summe_{k=0}^{38} \frac{2^k}{2^{k+1}} = 39 \cdot{} \frac{1}{2} = 19.5[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zu c) Ich hatte mir die Lösungen des Parodoxons
> durchgelesen, schon bevor ich die Fragen hier gestellt
> habe.
>
> > Was sollen denn [mm]2^{i-1}[/mm] Euro sein?
> Damit ist der mögliche Gewinn gemeint, also unendlich
> viel
> >
>
> > Nein, die Frage nach dem "richtigen" Einsatz ist gar nicht
> > trivial zu beantworten und hängt von deiner Einschätzung
> > der Wertigkeit eines hohen Gewinns ab.
> Also wenn für mich 50 Euro viel Geld sind, reicht es dass
> ich das so angebe, also ich würde nicht mehr als 50 Euro
> Einsatz riskieren?
> Irgendwie habe ich da Schwierigkeiten durchzublicken...
Das Thema ist, wie schon geschrieben, auch nicht wirklich "trivial" zu verstehen… obwohl es nicht schwer ist, wenn man es verstanden hat.
Eine kurze Erklärung zum Thema "Nutzenfunktion":
Beim normalen Erwartungswert wird jeder Gewinn gleich gewichtet, d.h. das 10€ zehn mal so viel wert sind wie 1€.
D.h. wenn ich dir ein Spiel anbiete, wo du mir 1€ gibst und du eine 10% Chance hast 10€ zu gewinnen, würdest du das vermutlich machen, und wenn du 1€ verlierst, sagst du "scheiß drauf" und wenn du die 10€ gewinnst, freust du dich. Das Spiel wäre "fair".
Genauso sind beim normalen Erwartungswert aber eben 10 Millionen Euro zehn mal so viel wert wie 1 Million Euro.
Wenn du nun 1 Million im Lotto gewinnst, würdest du mir die dann auch geben, wenn ich dir eine 10% Chance anbieten würde, daraus 10 Millionen Euro zu machen? Vermutlich eher nicht, weil für dich "1 Million Euro haben" vs. "nichts haben" eben nicht dasselbe ist wie "1 Euro haben" vs. "nichts haben".
Aus Sicht des normalen Erwartungswert sind aber beide Spiele identisch, weil der Erwartungswert Null ist für "erwarteter Gewinn minus Einsatz".
Um dem Rechnung zu tragen, dass höhere Verluste mehr "weh tun" als "große Gewinne" das kompensieren können, führt man eine Art Gewichtung ein über sogenannte "Nutzenfunktionen".
Das können alle Funktionen sein, die irgendwie konkav, also rechtsgekrümmt, sind. Das führt dann nämlich dazu, dass große Gewinne immer weniger "wert" sind, d.h. aus Sicht des Spielers ist es eigentlich egal, ob er 10 Millionen oder 100 Millionen für einen kleinen Einsatz gewinnt… über beides würde er sich fast gleich den Arsch abfreuen 
Das erkennt man auch am Graphen der Funktion, wenn wir beispielsweise mal den im Wiki-Artikel vorgeschlagenen Logarithmus [mm] $\log(x)$ [/mm] nehmen => Klick mal hier
Und nach den Rechenregeln des Logarithmus erhält man sofort, dass ein 10-facher Gewinn eben nicht mehr das 10-fache wert ist, denn [mm] $\log(10x) [/mm] = [mm] \log(10) [/mm] + [mm] \log(x) \not= 10*\log(x) [/mm] = [mm] \log(x^{10}) [/mm] = [mm] \log(x^9*x)$
[/mm]
D.h. um die 10-fache Wertigkeit zu erreichen muss bei einer logarithmischen Nutzenfunktion der Gewinn um den Faktor [mm] $x^9$ [/mm] anwachsen!
Aber denke jetzt nicht, dass der Logarithmus DIE Nutzenfunktion ist… jeder Mensch kann da seine eigene haben, je nach persönlicher Präferenz.
Bis hierhin erstmal…
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Fr 29.06.2018 | | Autor: | sonyach |
Hallo,
danke für die Hilfe. Damit hat sich meine Frage erledigt.
Grüße Sonya
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 So 19.08.2018 | | Autor: | donp |
> In einem St. Petersburger Casino wird folgendes Spiel
> angeboten: Eine faire Münze wird so lange geworfen bis zum
> ersten Mal Wappen fällt. Ist dies im ersten Wurf der Fall
> bekommt man 1 Euro ausbezahlt, beim zweiten Wurf 2 Euro,
> beim dritten 4Euro, beim vierten Wurf 8 Euro usw. [...]
> c) Wie viel Geld würdest du für das Petersburger Spiel
> einsetzen? Erläutere deine Antwort.
Hier würde ich konstant jeweils [mm] \bruch1{100} [/mm] meines anfänglichen Barvermögens einsetzen, das also mindestens 100€ betragen muss. Damit würde ich mit Sicherheit steinreich werden, auch bei kleinem Vermögen zu Beginn, denn das Ereignis, dass die Münze öfter als 10-mal geworfen wird bevor der sichere Gewinn eintritt, ist weiter als 3 Standardabweichungen vom Erwartungswert entfernt, also recht selten.
Falls es doch mal passiert – im Schitt einmal pro [mm] $2^{10}=1024$ [/mm] Spiele – hätte ich erst [mm] \bruch1{10} [/mm] meines Vermögens verloren, inzwischen aber durchschnittlich 1023-mal fett gewonnen.
Erst nachdem es 10-mal passiert ist, wäre mein Vermögen theoretisch weg, aber nicht wirklich, weil es ja so selten vorkommt, dass bis dahin auch entsprechend vieeeeeele hohe Gewinne angefallen wären, deren Höhe ja mit der Anzahl Würfe exponentiell steigt, während der mögliche Verlust durch meinen konstanten Einsatz nur linear steigt.
Um möglichst schnell zu gigantischem Reichtum zu kommen, würde ich mit dem konstanten Einsatz schrittweise progressieren, z.B. den Einsatz jeweils verdoppeln, nachdem sich auch mein Barvermögen verdoppelt hat.
Gruß, Don
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