Sattel-, Wende-, Flachpkt. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Sa 20.02.2010 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Hallo an alle Mathe-Freaks hier im Forum!
Einen schönen guten Samstag Abend,
Es geht um dreierlei:
a) Ich möchte ich etw. Stoff hier wiedergeben, bzw. wiederholen (von dem ich mir nicht sicher bin, ob ich da nicht etw. verwechsel oder ob Fehler drin sind. Ich bitte dann um Korrektur.
b) Hätte ich gern 2 Funktionen als Beispiele genannt, die einen Flachpunkt haben. Die kann ich dann in Plotter geben u. mal gucken.
c) Kann jmd. die genaue mathemat. Definition von einem Flachpkt. angeben? |
zu Wunsch a)
Um herauszufinden, ob die Fkt. Extrema hat macht man f´(x) = 0
(Grund: Bei Min. u. Max. ist die Steig. null, Ableitg. gibt die Steig. an, desweg. 1.Ableitg. = 0 setzen).
Dann bekomme ich x-Werte raus (sind es immer 2 x-Werte?).
Diese x-Werte müssen nun einer weiteren Prüfg. unterzog. werden.
Dazu bildet man die 2.Ableitg. u. setzt diese x-Werte da ein. (das kann ich jetzt aber nicht mehr begründen - kann man das erklären?)
Nun gibt es 3 Mögl.keiten
y > 0 ---- dann Min.
y < 0 ---- dann Max.
y = 0 ---- dann Sattelpkt.
Ein Wendepkt. liegt immer genau in der Mitte zwisch. Min. u. Max.
Ein Sattelpkt. ist ein spezieller Wendepunkt. D.h. die Strecke (Kurve/Graph)
zwisch. Min. u. Max. ist so gering, dass Min. u. Max. gleich ineinander übergehen. (Hier geht es mir jetzt nicht um mathemat. korrekte saubere Fomulierung, sondern nur darum, ob ich richtige Vorstellungen habe).
Wie sind jetzt aber die Bedingungen für einen Wendepkt.?
f'''(x) = 0
?
Hier verlassen sie mich.
Und es folgt die Überleitg. zu Flachpkt.
zu Wunsch b)
Ist da jmd., der oder die mir 1 oder 2 Funktionen nennen kann (fürn Plotter zum Gucken), die einen Flachpkt. haben?
zu Wunsch c)
Wie ist ein Flachpkt. mathemat. definiert?
Herzlichen DANK an alle antwortende Mathe-Fans!
Bis morgen
Gruß Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Sa 20.02.2010 | | Autor: | chrisno |
Hallo Sabine,
> Um herauszufinden, ob die Fkt. Extrema hat macht man
> f´(x) = 0
> (Grund: Bei Min. u. Max. ist die Steig. null, Ableitg.
> gibt die Steig. an, desweg. 1.Ableitg. = 0 setzen).
Im Wesentlichen richtig. Es gibt Situationen, bei denen Du so ein Extremum verpasst. Die lassen wir aber weg.
> Dann bekomme ich x-Werte raus (sind es immer 2 x-Werte?).
Nein. Es kann vorkommen, dass es kein Extremum gibt. Dann hat die Gleichung $f'(x) = 0$ keine Lösung. Es kann auch eine Lösung (ein x-Wert) herauskommen, oder mehrere.
> Diese x-Werte müssen nun einer weiteren Prüfg. unterzog.
> werden.
So ist es.
> Dazu bildet man die 2.Ableitg. u. setzt diese x-Werte da
> ein. (das kann ich jetzt aber nicht mehr begründen - kann
> man das erklären?)
Die zweite Ableitung gibt an, wie herum der Funktionsgraph gekrümmt ist. Wenn Du ihn in Richtung größer werdender x-Werte abfährst und $f''(x) > 0$ dann heißt dass, dass die Steigung immer größer wird. Du fährst also eine Linkskurve.
Rechtskurve entsprechend bei $f''(x) < 0$.
> Nun gibt es 3 Mögl.keiten
> y > 0 ---- dann Min.
> y < 0 ---- dann Max.
> y = 0 ---- dann Sattelpkt.
1. Es muss immer statt Y heißen [mm] $f''(x_e)$
[/mm]
2. Bei [mm] $f''(x_e) [/mm] = 0$ ist die Lage noch ziemlich offen. Es kann noch alles herauskommen.
> Ein Wendepkt. liegt immer genau in der Mitte zwisch. Min.
> u. Max.
Nicht genau in der Mitte, sondern irgendwo dazwischen. Es sei denn, die Funktion macht etwas gemeines zwischendurch. Diesen Fall hast Du wahrscheinlich aber nicht.
Weiterhin kann eine Funktion einen Wnedepunkt haben, aber kein Extremum.
> Ein Sattelpkt. ist ein spezieller Wendepunkt. D.h. die
> Strecke (Kurve/Graph)
> zwisch. Min. u. Max. ist so gering, dass Min. u. Max.
> gleich ineinander übergehen. (Hier geht es mir jetzt nicht
> um mathemat. korrekte saubere Fomulierung, sondern nur
> darum, ob ich richtige Vorstellungen habe).
Die Beschreibung ist aber falsch. Beim Wendepunkt hast Du den Wechsel von Rechstkurve zu Linkskurve oder umgekehrt.
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, bei dem der Übergang zwischen den beiden Krümmungen gerade eine waagerechte Tangente hat. Dort könnte man also sitzen, ohne herunter zu rutschen.
> Wie sind jetzt aber die Bedingungen für einen Wendepkt.?
> f'''(x) = 0
Nein. Weder Rechts- noch Linkskurve, also [mm] $f''(x_w) [/mm] = 0$.
Damit vorher und nachher eine Kurve da ist: [mm] f'''(x_w) \ne [/mm] 0$
> ?
> Hier verlassen sie mich.
> Und es folgt die Überleitg. zu Flachpkt.
>
> zu Wunsch b)
> Ist da jmd., der oder die mir 1 oder 2 Funktionen nennen
> kann (fürn Plotter zum Gucken), die einen Flachpkt.
> haben?
$f(x) = [mm] x^4$
[/mm]
$f(x) = [mm] x^5$
[/mm]
>
> zu Wunsch c)
> Wie ist ein Flachpkt. mathemat. definiert?
Ich halte den Begriff für überflüssig. Wenn ich im Netz nachsehe, dann läuft es auf [mm] $f''(x_f) [/mm] = 0$ heraus.Dann ist aber jeder Wendepunkt ein Flachpunkt. Es kommen noch Extrema hinzu, bei denen [mm] $f''(x_f) [/mm] = 0$ gilt. Das ist der Fall, in dem das oben genannte Schema dir nicht das Extremum liefert, obwohl es da ist.
Richtig flach wird es mit zusätzlich [mm] $f'''(x_f) [/mm] = 0$.
Vielleicht meldet sich noch jemand, der das genauer weiß.
>
> Herzlichen DANK an alle antwortende Mathe-Fans!
Bitteschön.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 Sa 20.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Flachpunkt heisst meiner Meinung nach jeder Punkt, an dem die Tangente waagerecht ist, also f'(x)=0 wenn man also noch nicht weiss obs ein Extremwert oder ein Sattelpunkt ist.
nachprüfen, ob bei f'(x)=0 ein Max oder ein Min (oder Sattelpunkt) vorliegt. f''(x) gibt die Steigung von f'(x) an. wenn f'(x) steigt an der Stelle, wo es 0 ist hesst das es ist erst negativ, dann positiv. wenn eine Kurve aber erst fällt und dann steigt ist da ein minimum.
f''(x) negativ, heisst f'(x) fällt geht also von positiv nach negativ, also geht die Kurve vom steigen in fallen. also ein max.
dass f'' die Krümmung angibt, heisst nichts anderes, als dass es angibt, wie sich die Steigung ändert. wenn f''(x)=0 ist ändert sich an der Stelle die Steigung von f' nicht, d.h. die Kurve bleibt fallend oder steigend, kein max oder min.
Gruss leduart
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